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(共51张PPT)
2.1.1　两角和与差的余弦公式
　
第2章　2.1　两角和与差的三角函数
1.经历推导两角差的余弦公式的过程， 知道两角差余弦公式的意义， 提升数学抽象与逻辑推理核心素养.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系， 合理地运用两角和与差的余弦公式进行运算， 解决实际问题， 培养数学运算核心素养.
学习目标
新知形成
知识点　两角和与差的正弦、余弦公式
知识梳理
名称 简记符号 公式 适用条件
两角差的
余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝
__________________________ α，β∈R
两角和的
余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝
__________________________ α，β∈R
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°. (　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立. (　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立. (　　)
(4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1. (　　)
自主检测
×
×
√
×
√
3.cos 20°＝
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
√
因为cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B.
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合作探究
典例
1
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
1.把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解.
2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值.
规律方法
对点练1.cos 105°＝__________.
典例
2
解决三角函数的求值问题的关键点
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时通常有两种思路：
(1)着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
(2)考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
规律方法
√
√
典例
3
已知三角函数值求角的解题步骤
1.确定角的范围：根据条件确定所求角的范围.
2.求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限.
3.求角：结合三角函数值及角的范围求角.
规律方法
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随堂评价
√
√
返回
课时分层
1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为
A.sin 2x B.cos 2x
C.－cos 2x D.－cos 2y
√
原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D.
√
√
√
√
7.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是_______.
8.在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是____.
√
12.无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，试根据该图写出此三角恒等式______________________________.
cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y
返回2.1　两角和与差的三角函数
2.1.1　两角和与差的余弦公式
学习目标 1.经历推导两角差的余弦公式的过程， 知道两角差余弦公式的意义， 提升数学抽象与逻辑推理核心素养. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系， 合理地运用两角和与差的余弦公式进行运算， 解决实际问题， 培养数学运算核心素养.
知识点　两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
[点拨]　(1)公式的结构特征：
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”.
(3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则cos(A＋B)＝－cos C，cos(A＋C)＝－cos B，
cos(B＋C)＝－cos A；
cos()＝sin，cos()＝sin，cos()＝sin.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立.(　　)
(4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　)
A.0 B.
C. D.cos 40°
答案：B
解析：原式＝cos (50°＋10°)＝cos 60°＝.
3.cos 20°＝(　　)
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
答案：B
解析：因为cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B.
4.设α∈，若sin α＝，则cos等于　　　　.
答案：
解析：因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝＝.
所以cos＝
＝cos α＋sin α＝＋＝.
学生用书 第48页
探究点一　给角求值问题
求值(1)cos(－15°)；
(2)coscos＋cossin.
解：(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
(2)coscos＋cossin
＝coscos＋sinsin
＝cos＝cos＝.
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
1.把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解.
2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值.
对点练1.cos 105°＝　　　　.
答案：
解析：原式＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
＝×－×
＝.
对点练2.求下列各式的值：
(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
(2)sin 100°·sin(－160°)＋cos 200°·cos(－280°).
解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°
＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)
＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°
＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)
＝－cos(20°－80°)＝－cos 60°＝－.
探究点二　给值求值问题
(1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值.
(2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
又β∈，cos β＝－，
所以sin β＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
(2)因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝.
又因为cos α＝，所以sin α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
解决三角函数的求值问题的关键点
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时通常有两种思路：
(1)着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
(2)考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
对点练3.若α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案：B
解析：因为α是锐角，且sin α＝，
所以cos α＝＝，
因为α，β都是锐角，且cos(α＋β)＝，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.故选B.
对点练4.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为cos B＝－＜0，
所以B为钝角，从而A为锐角，
所以cos A＝＝，
sin B＝＝.
cos C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×(－)＋×＝.故选C.
学生用书 第49页
探究点三　给值求角问题
已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值.
解：因为α，β均为锐角，
所以cos α＝，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又因为sin α＞sin β，所以0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜.
故α－β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
1.确定角的范围：根据条件确定所求角的范围.
2.求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限.
3.求角：结合三角函数值及角的范围求角.
对点练5.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝　　　　.
答案：
解析：因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π).
因为cos α＝，cos (α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－)×＋×
＝.
因为0＜β＜，所以β＝.
对点练6.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β的值.
解：因为cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α＜β，所以α－β∈，2α∈(0，π)，
所以sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
1.α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，
所以sin(α＋β)＝＝.
又sin α＝，
所以cos α＝＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.故选B.
2.已知cos(α－)＋sin α＝，α∈，则cos(α＋)＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：A
解析：因为cos(α－)＋sin α＝，
所以cos α·cos＋sin α·sin＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝，
所以cos(α－)＝，
所以cos(α－π＋)＝，
所以cos＝，
所以cos(α＋)＝－.故选A.
3.已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos ＝　　　　.
答案：－
解析：因为α，β∈，
所以α＋β∈，β－∈.
又因为sin(α＋β)＝－，sin＝，
所以cos(α＋β)＝＝，
cos＝－＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
4.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－).
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.
解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－，－).
所以x＝－，y＝－，
r＝｜OP｜＝＝1，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝－＝.
(2)由x＝－，y＝－，r＝｜OP｜＝1，
得sin α＝－，cos α＝－，
又由sin(α＋β)＝，
得cos(α＋β)＝±
＝± ＝±，
则cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×(－)＋×(－)＝－，
或cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×(－)＋×(－)＝.
所以cos β的值为－.
课时分层评价13　两角和与差的余弦公式
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A.sin 2x B.cos 2x
C.－cos 2x D.－cos 2y
答案：D
解析：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D.
2.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案：A
解析：因为 α∈，则sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×(－)＝－.
3.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案：B
解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B.
4.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：A
解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝＝.
所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－)×＋×
＝＝.故选A.
5.若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，
cos＝，则cos＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：C
解析：根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin(－)＝.
所以cos＝cos＝cos(＋α)cos＋sinsin(－)＝×＋×＝.
6.已知sin(α＋)＝，且＜α＜，则cos α的值为　　　　　.
答案：－
解析：因为＜α＜，
所以α＋∈(，π)，
又sin(α＋)＝，
所以cos(α＋)＝－＝－，
所以cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝(－)×＋×＝－.
7.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是　　　　　.
答案：－
解析：由
由①、②得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 cos(α－β)＝－.
8.在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是　　　　.
答案：
解析：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，∠A＞∠B，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝，
所以sin(A－B)＝ ＝.
9.(15分)若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos＝，求cos的值.
解：由cos α＝，0＜α＜，所以sin α＝.
由cos＝，－＜＜0，所以sin＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝－.
10.(15分)已知α，β为锐角且
＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值.
解：(1)因为＝，
所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
所以cos(α－β)＝.
(2)因为cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
所以sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝；
当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
因为β为锐角，所以cos β＝.
(11、12每小题5分，共10分)
11.设角A，B，C∈(0，)，且cos A＋cos B＝cos C，sin A－sin B＝sin C，则C－A＝(　　)
A.－ B.－
C. D.或－
答案：B
解析：由cos A＋cos B＝cos C，得cos B＝cos C－cos A，所以cos2C－2cos Ccos A＋cos2A＝cos2B　①，同理可得sin2C－2sin Csin A＋sin2A＝sin2B　②，由①②可得，1－2(cos Acos C＋sin Asin C)＝0，即cos(C－A)＝.因为C，A∈，所以C－A∈(－，)，所以C－A＝±.易知sin B＞0，所以根据sin A＝sin B＋sin C，得sin A＞sin C，又C，A∈(0，)，所以C＜A，故C－A＝－，故选B.
12.无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，试根据该图写出此三角恒等式　　　　　　　　　　　　.
答案：cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y
解析：如题图左边的三角形的面积a·bsin［－(x－y)］，设为S1＝a·bsin［－(x－y)］，
中间三角形的面积S2＝acos x·bcos y，右边三角形的面积S3＝asin x·bsin y，
因为S1＝S2＋S3，所以a·bsin
＝acos x·bcos y＋asin x·bsin y
即sin＝cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y.

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