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2.1.3　两角和与差的正切公式
学习目标 1.能从两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
知识点　两角和与差的正切公式
1.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的关系
和角公式：将求两角和α＋β的正弦、余弦、正切公式称为和角公式.
差角公式：将求两角差α－β的正弦、余弦、正切公式称为差角公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的联系：
[点拨]　公式的结构特征及符号特征如下：
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
(3)重要变形：
tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β).
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.(　　)
(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(　　)
(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2.计算等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：原式＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
3.已知tan α＝2，tan β＝5，则tan(α＋β)等于(　　)
A.7 B.
C.－ D.
答案：C
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
4.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝　　　　.
答案：
解析：因为tan α＝，tan(α＋β)＝，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
学生用书 第54页
探究点一　给角求值问题
化简求值：
(1)；
(2)tan ＋tan ＋tan tan ；
(3)(tan 10°－)·.
解：(1)＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－.
(2)tan ＋tan ＋tan tan
＝tan＋tan tan
＝＋tan tan ＝.
(3)方法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)·
＝·
＝·
＝－
＝－2.
方法二：原式＝·
＝·
＝
＝
＝－2.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
1.分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
对点练1.等于(　　)
A.－1 B.1
C. D.－
答案：B
解析：原式＝＝＝1.故选B.
对点练2.tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是(　　)
A. B.
C.0 D.1
答案：D
解析：tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°
＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝tan(11°＋19°)(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝tan 30°(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝1.
故选D.
探究点二　给值求值问题
已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；
(2)tan(α＋β)的值.
解：(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
给值求值问题的两种变换
1.式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值.
2.角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
对点练3.已知tan(α＋)＝，且－＜α＜0，则＝　　　　 .
答案：－
解析：因为tan(α＋)＝，
所以＝，
所以tan α＝－，
又－＜α＜0，
可令α终边上一点为P(3，－1)，OP＝，
则sin α＝－，
故＝＝2sin α＝－＝－.
学生用书 第55页
对点练4.如图，AB是一半圆的直径，C，D为半圆周上的两个点，且AB＝5，BC＝3，BD＝2AD，则tan∠CAD的值为　　　　.
答案：
解析：由题意可知，△ADB，△ACB均为直角三角形，AB＝5，BC＝3，
则AC＝4，故tan∠CAB＝.
因为BD＝2AD，则tan∠DAB＝2，
因为∠CAD＝∠DAB－∠CAB，
则tan∠CAD＝tan(∠DAB－∠CAB)
＝＝.
探究点三　给值求角问题
已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为(　　)
A. B.－
C.或－ D.－或
答案：B
解析：由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，
所以tan α＜0，tan β＜0.
所以tan(α＋β)＝＝＝.
又因为－＜α＜，－＜β＜，
且tan α＜0，tan β＜0，
所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－.
给值求角问题的解题策略
1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内.
2.选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦、余弦、正切函数均可；若角的取值范围是，则可选正弦、正切函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.
对点练5.已知tan α＝－2，tan β＝，α，β∈(0，π)，则α＋β＝　　　　.
答案：
解析：tan(α＋β)＝＝＝－1.
由tan α＝－2，α∈(0，π)，得α∈(，π)，
由tan β＝，β∈(0，π)，得β∈(0，)，
所以α＋β∈(，)，
所以α＋β＝.
1.若tan＝2，则tan α的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
答案：A
解析：tan＝＝2，解得tan α＝.故选A.
2.设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，那么△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均有可能
答案：A
解析：因为tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，
由根与系数的关系可得到：tan A＋tan B＝与tan Atan B＝＞0，
又因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－＝－＜0，
故C为钝角，即三角形为钝角三角形.
故选A.
3.已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan(θ－)＝　　　　.
答案：－
解析：因为θ是第四象限角，
所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，
则－＋2kπ＜θ＋＜＋2kπ，k∈Z，
又sin(θ＋)＝，
所以cos(θ＋)＝
＝＝.
所以cos(－θ)＝sin(θ＋)＝，
sin(－θ)＝cos(θ＋)＝.
则tan(θ－)＝－＝－＝－.
4.在①角α的终边经过点P(1，2)，②α∈(0，)，sin α＝，③α∈(0，)，sin α＋2cos α＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知　　　　　　，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值.
解：若选①：角α的终边经过点P(1，2)，则tan α＝2，
则tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.
若选②：α∈(0，)，sin α＝，则cos α＝＝＝，则tan α＝，
则tan β＝tan(α＋β－α)＝
＝＝.
若选③：α∈(0，)，由sin α＋2cos α＝得sin α＝－2cos α＞0，
则0＜cos α＜ ，代入sin2α＋cos2α＝1，
得5cos2α－2cos α＋＝0，
即10cos2α－4cos α＋3＝0，
得cos α＝＝＝＝(舍去)或cos α＝＝，
当cos α＝时，sin α＝，
则tan α＝3，
则tan β＝tan(α＋β－α)＝
＝＝.
课时分层评价15　两角和与差的正切公式
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：B
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
2.等于(　　)
A. B.1
C. D.－1
答案：B
解析：原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.故选B.
3.已知α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝(　　)
A. B.
C.3 D.
答案：A
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，
所以cos α＝＝，tan α＝＝，
则tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝，故选A.
4.△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则tan∠BAC＝(　　)
A. B.－
C.2 D.－2
答案：D
解析：△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，
如图所示，
设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x，
所以AB＝x，AC＝x，
所以tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝3，
所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝＝－2.
故选D.
5.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为(　　)
A. B.1
C.－1 D.－
答案：A
解析：因为α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝＝tan ＝－，
整理可得tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β).
所以tan αtan β－tan α－tan β
＝tan αtan β－(tan α＋tan β)
＝tan αtan β＋－tan αtan β＝.
6.＝　　　　.
答案：
解析：原式＝
＝＝.
7.已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为　　　　.
答案：－
解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
8.已知－＜α＜β＜，且αβ≠0，1－4tan αtan β＝，则tan(α＋β)的最大值是　　　　.
答案：
解析：因为1－4tan αtan β＝＝＝1＋tan2β，
所以tan β＝－4tan α.
又－＜α＜β＜，αβ≠0，
所以－＜α＜0＜β＜，且tan α＜0，
所以tan(α＋β)＝＝
＝
≤＝，
当且仅当tan α＝－时取等号，
故tan(α＋β)的最大值是.
9.(15分)已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求：
(1)sin(α－β)的值；
(2)tan(α－β)的值.
解：(1)因为α，β都是锐角，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
(2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α－β)＝＝＝.
10.(15分)如图，在平面直角坐标系xOy上，点A(1，0)，点B在单位圆上，∠AOB＝θ(0＜θ＜π).
(1)若点B(－，)，求tan(θ＋)的值；
(2)若＋＝，·＝，求cos(－θ).
解：(1)由点B(－，)，∠AOB＝θ(0＜θ＜π)，得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝－，
所以tan(θ＋)＝＝＝－.
(2)因为＋＝，＝(1，0)，
＝(cos θ，sin θ)，
所以＝(1＋cos θ，sin θ)，
又因为·＝，
所以·＝cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝cos θ＋1＝，
解得cos θ＝，
因为0＜θ＜π，
所以sin θ＝＝.
所以cos(－θ)＝coscos θ＋sinsin θ
＝×＋×＝.
(11、12每小题5分，共10分)
11.(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A.tan(A＋B)＝－ B.tan A＝tan B
C.cos B＝sin A D.tan A·tan B＝
答案：BCD
解析：因为∠C＝120°，所以∠A＋∠B＝60°，
所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝，所以A错；
因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
所以tan A·tan B＝①，所以D正确；
又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得
tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故BC正确.故选BCD.
12.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米)(　　)
A.8米 B.9米
C.10米 D.11米
答案：C
解析：设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
则tan∠PMQ＝tan(β－α)＝＝＝≤＝，
当且仅当x＝，即BM＝x＝4≈10时取等号.
故选C.(共53张PPT)
2.1.3　两角和与差的正切公式
　
第2章　2.1　两角和与差的三角函数
1.能从两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系， 提升逻辑推理核心素养.
2.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求.
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
学习目标
新知形成
知识点　两角和与差的正切公式
1.两角和与差的正切公式
知识梳理
名称 简记符号 公式 适用条件
两角和的
正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝______________
两角差的
正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝______________
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的关系
和角公式：将求两角和α＋β的正弦、余弦、正切公式称为和角公式.
差角公式：将求两角差α－β的正弦、余弦、正切公式称为差角公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的联系：
点拨　公式的结构特征及符号特征如下：
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
(3)重要变形：
tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β).
自主检测
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合作探究
典例
1
规律方法
√
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典例
2
给值求值问题的两种变换
1.式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值.
2.角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
规律方法
对点练4.如图，AB是一半圆的直径，C，D为半圆周上的两个点，且AB＝5，BC＝3，BD＝2AD，则tan∠CAD的值为______.
典例
3
√
规律方法
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随堂评价
√
2.设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，那么△ABC是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均有可能
√
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课时分层
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7.已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为_______.
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12.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米)
A.8米
B.9米
C.10米
D.11米
√
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