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(共61张PPT)
2.2　二倍角的三角函数
　
第2章　三角恒等变换
1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 并了解它们之间的内在联系， 提升逻辑推理核心素养.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算， 并能灵活地将公式变形运用， 达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平要求.
学习目标
新知形成
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角公式
知识梳理
记法 公式 推导
S(2α) sin 2α＝_______________ S(α＋β) S(2α)
C(2α) cos 2α＝________________ C(α＋β) C(2α)
cos 2α＝____________
cos 2α＝____________ 利用___________________
消去sin2α或cos2α
T(2α) T(α＋β) T(2α)
2sin αcos α
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2cos2α－1
cos2α＋sin2α＝1
β = α
β = α
β = α
2.二倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α
＝(sin α±cos α)2.
自主检测
√
×
√
√
√
返回
合作探究
典例
1
规律方法
√
典例
2
解决给值求值问题的方法
1.给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的转换和角之间的二倍关系.
规律方法
规律方法
√
典例
3
三角函数式的化简与证明
1.化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；
(2)降幂或升幂；
(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
2.证明三角恒等式的方法
(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；
(2)比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；
(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
规律方法
√
典例
4
返回
随堂评价
√
√
√
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返回
课时分层
√
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所以2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，
所以cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
所以cos(B－C)＝1.
又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°.
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形.
1
√
返回2.2　二倍角的三角函数
学习目标 1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 并了解它们之间的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算， 并能灵活地将公式变形运用， 达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平要求.
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角公式
记法 公式 推导
S(2α) sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S(2α)
C(2α) cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C(2α)
cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α
T(2α) tan 2α＝ T(α＋β)T(2α)
2.二倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α
＝(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换
cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)，
sin αcos α＝sin 2α.
[点拨]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个角之间的倍数关系.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角.(　　)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(3) α，使得sin 2α＝2sin α成立.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2.cos2－cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：cos2－cos2
＝cos2－cos2
＝cos2－sin2
＝cos＝.
故选D.
3.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos＝，则cos(B＋C)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：A
解析：因为cos＝，且A＋B＋C＝π，
则cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A
＝－(2cos2－1)＝－(2×－1)＝－.
故选A.
4.已知tan α＝－，则＝　　　　.
答案：－
解析：原式＝＝
＝tan α－＝－－＝－.
学生用书 第57页
探究点一　给角求值问题
求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3)tan 15°＋；
(4)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解：(1)原式＝cos2－sin2
＝cos (2×)＝cos
＝.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＋＝
＝＝＝4.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝.
应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法
1.注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式.
2.结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
3.切弦同时存在时，应注意用tan α＝公式“切化弦”.
4.注意sin αcos α＝sin 2α，sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)的应用.
对点练1.coscos＝(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案：D
解析：coscos＝cossin ＝sin ＝，故选D.
对点练2.求值＝　　　　　　　.
答案：
解析：原式＝＝·
＝·tan 45°＝.
探究点二　给值求值问题
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈(，π)，β＝，且点A的坐标为A(－1，m).
(1)若tan 2α＝－，求实数m的值；
(2)若tan∠AOB＝－，求sin 2α的值.
解：(1)由题意可得tan 2α＝＝－，
所以tan α＝－或tan α＝2.
因为α∈(，π)，所以tan α＝－，即＝－，所以m＝.
(2)因为tan∠AOB＝tan(α－β)＝tan(α－)＝＝－，
又sin2(α－)＋cos2(α－)＝1，α－∈(，)，
所以sin(α－)＝，cos(α－)＝－，
所以sin(2α－)＝2sin(α－)cos(α－)＝－，
cos(2α－)＝2cos2(α－)－1＝，
所以sin 2α＝sin＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝.
学生用书 第58页
解决给值求值问题的方法
1.给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的转换和角之间的二倍关系.
2.注意几种公式的灵活应用，如：
(1)sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos 2x＝sin＝sin
＝2sin cos.
对点练3.已知sin＝，则cos 的值是(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：D
解析：因为sin＝，
所以cos＝cos
＝1－2sin2＝1－2×()2＝，
所以cos＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
对点练4.已知sin－2cos＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值.
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
所以tan＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知，tan x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×＝×＝×＝.
探究点三　简单的化简证明
(1)化简：－；
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
解：(1)原式＝
＝
＝tan 2θ.
(2)证明：左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边.
所以原等式成立.
三角函数式的化简与证明
1.化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；
(2)降幂或升幂；
(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
2.证明三角恒等式的方法
(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；
(2)比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；
(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
对点练5.化简·等于(　　)
A.2cos α B.2sin α
C. D.cos α
答案：A
解析：原式＝·＝2cos α.
对点练6.求证：＝sin 4α.
证明：
＝2cos2α·(－cos 2α)·
＝cos2αcos 2αtan α
＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α
＝sin 4α，
所以原等式成立.
学生用书 第59页
探究点四　三角函数综合问题
阅读下面材料：sin 3θ＝sin＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos2θ＋sin θ＝2sin θ＋(sin θ＝3sin θ－4sin3θ.
解答下列问题：
(1) 证明：cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ；
(2) 若函数f＝＋msin－5在x∈上有零点，求实数m的取值范围.
解：(1)cos 3θ＝cos
＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ
＝cos θ－2sin2θcos θ
＝2cos3θ－cos θ－2cos θ
＝4cos3θ－3cos θ，
即cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.
(2)因为f＝＋m(sin xcos＋cos xsin)－5
＝＋m(sin x＋cos x)－5
＝＋m(sin x＋cos x)－5
＝4(1－cos xsin x)－3＋m(sin x＋cos x)－5
＝m－4sin xcos x－4.
令t＝sin x＋cos x＝sin，因为x∈，所以x＋∈，
所以sin∈，所以t∈(1，].
又(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，
所以sin xcos x＝，所以令g＝mt－2(t2－1)－4＝－2t2＋mt－2，t∈(1，].
令g＝0得m＝＋2t，因为y＝＋2t在(1，]上单调递增.
所以＋2t∈(4，3]，m∈(4，3]，
所以m∈(4，6].
对点练7.已知函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－，x∈R.
(1)求f在区间上的最大值和最小值；
(2)若f＝，求sin 2α的值.
解：(1) 函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－
＝＋sin－
＝cos 2x＋sin 2x·＋cos 2x
＝sin.
在区间上，2x＋∈，
故当2x＋＝－即x＝－时，函数取得最小值为×＝－；
当2x＋＝即x＝时，函数取得最大值为.
(2)因为f＝sin
＝sin＝，
所以sin＝，
所以sin 2α＝－cos 2＝2sin2－1＝.
1.若α∈，且sin 2α＝－，则tan 4α等于(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：D
解析：因为α∈，所以2α∈.
又sin 2α＝－＜0，所以2α∈，
所以cos 2α＝＝，
所以tan 2α＝－，
所以tan 4α＝＝－.故选D.
2.(多选)下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法正确的是(　　)
A.最小正周期为π
B.最大值为1，最小值为－1
C.函数图象关于直线x＝0对称
D.函数图象关于点对称
答案：ABD
解析：f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，所以最小正周期为π，最大值为1，最小值为－1，故A，B正确；
由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函数图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故C不正确；
由2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，
函数图象关于点(k∈Z)对称，故D正确.故选ABD.
3.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　　　，cos 2θ＝　　　　.
答案：　
解析：因为sin ＋cos ＝，
所以＝，
即1＋2sin cos ＝，
所以sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
4.已知θ≠kπ(k∈Z)，求证：tan＝，并利用该公式解决如下问题：若sin θ＝，求tan(－)的值.
解：因为θ≠kπ，k∈Z，所以≠，k∈Z，
所以tan＝＝＝.
因为sin θ＝，所以cos θ＝±，
当sin θ＝，cos θ＝时，tan＝＝，
tan(－)＝＝－；
当sin θ＝，cos θ＝－时，tan＝＝2，
tan(－)＝＝.
综上，tan(－)＝±.
课时分层评价16　二倍角的三角函数
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：B
解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.
2.化简·cos 28°的结果为(　　)
A.sin 28° B.sin 28°
C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°
答案：A
解析：原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A.
3.化简＝(　　)
A.1 B.2
C. D.－1
答案：B
解析：＝＝＝2.
4.已知α∈，sin(π－2α)＝－，则sin α－cos α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：D
解析：由已知得sin 2α＝－，即2sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.又α∈，所以sin α＜cos α，所以sin α－cos α＝－，故选D.
5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案：B
解析：由sin Bsin C＝cos2得
sin Bsin C＝，
所以2sin Bsin C＝1＋cos A，
所以2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]
＝1－cos(B＋C)，
所以2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，
所以cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
所以cos(B－C)＝1.
又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°.
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形.
6.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是　　　　　　　.
答案：
解析：因为sin 2α＝2sin αcos α，而sin 2α＝－sin α，α∈，
故cos α＝－，则α＝，
所以tan 2α＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝.
7.sin 50°(1＋tan 10°)的值　　　　.
答案：1
解析： sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°×
＝
＝＝
＝＝＝
＝1.
8.已知α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则tan α＝　　　　，β＝　　　　.
答案：　
解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α)
＝sin αcos α，
即2sin2α＝sin αcos α.
因为α为锐角，所以sin α≠0，
所以2sin α＝cos α，即tan α＝.
方法一：由tan(β－α)＝＝＝，得tan β＝1.
因为β为锐角，所以β＝.
方法二：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝
＝＝1.
因为β为锐角，所以β＝.
9.(10分)已知α，β均为锐角，sin α＝，sin β＝，求下列各式的值：
(1)sin 2α＋cos2；
(2)α＋β.
解：(1)因为α，β均为锐角，sin α＝，
所以cos α＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos β＝ ＝，
则cos2＝＝，
所以sin 2α＋cos2＝＋＝.
(2)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝，
又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
10.(10分)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)；
cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°).
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－(1－cos 30°)
＝1＋－×＝.
(2)推广：当α＋β＝30°时，
cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明：因为α＋β＝30°，所以β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α)
＝cos2α＋(cos α＋sin α)2－sin α·(cos α－sin α)
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
11.(5分)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin 234°＝(　　)
A. B.－
C.－ D.－
答案：C
解析：由图可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝，
所以cos 144°＝2cos272°－1＝2×()2－1＝－，
则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－.
故选C.
12.(15分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
方法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
方法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
学生用书 第60页

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