资源简介

2.3　简单的三角恒等变换
学习目标 1.了解半角公式及其推导过程，掌握并理解辅助角公式，能灵活运用公式进行相关的化简、计算、证明，提升逻辑推理与数学运算核心素养. 2.通过运用公式进行简单的恒等变换， 进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性， 体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用， 达到数学运算、逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
知识点一　半角公式和万能公式
1.半角公式
2.万能公式(化切表示，齐次分式)
sin α＝，
cos α＝，
tan α＝.
角α(α≠2kπ＋π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，称为“万能公式”.
[点拨]　有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值.
知识点二　积化和差、和差化积公式
1.积化和差公式
(1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
(2)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
(3)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
(4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].
2.和差化积公式
(1)cos α＋cos β＝2coscos，
(2)cos α－cos β＝－2sinsin，
(3)sin α＋sin β＝2sincos，
(4)sin α－sin β＝2cossin.
知识点三　辅助角公式
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y＝Asin(ωx＋φ)＋B形式，即asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝或者asin x＋bcos x＝cos(x－θ)，其中tan θ＝.
[点拨]　推导过程：asin x＋bcos x
＝sin x＋cos x)
＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝；
asin x＋bcos x
＝sin x＋cos x)
＝(cos xcos θ＋sin xsin θ)
＝cos(x－θ)，其中tan θ＝，一定要注意｜φ｜，｜θ｜为锐角，辅助角应用时满足“同角，异名，一次”.
学生用书 第61页
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos ＝ .(　　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan ＝ .(　　)
(5)sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)].(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A. B.－
C.± D.±
答案：A
解析：因为cos α＝，α∈(0，π)，
所以∈.
所以cos ＝ ＝ ＝.
3.若＜θ＜π，且cos ＝，则sin 等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为＜θ＜π且cos ＝.
所以＜＜且sin ＝ ＝ ＝.
4.已知sin θ＝，θ∈，则tan 等于　　　　.
答案：
解析：因为sin θ＝，θ∈，
所以∈且cos θ＝.
所以tan ＝ ＝＝.
探究点一　应用半角公式求值
已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，求sin ，cos ，tan .
解：因为sin －cos ＝－，
所以＝.
所以1－sin α＝，
所以sin α＝.
因为450°＜α＜540°，
所以225°＜＜270°，
所以cos α＝－.
所以sin ＝－ ＝－ ＝－，
cos ＝ － ＝－ ＝－.
tan ＝＝2.
利用半角公式求值的思路
1.看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
2.明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
[提醒]　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.
对点练1.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，由半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝，
cos θ＝－＝－ ＝－，
所以tan ＝＝＝.
探究点二　三角函数式的化简
化简：(0＜α＜π).
解：因为tan ＝，
所以(1＋cos α)tan ＝sin α.
又cos＝－sin α，1－cos α＝2sin2，
所以原式＝＝
＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin ＞0.
所以原式＝－2cos .
学生用书 第62页
化简问题中的“三变”
1.变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
2.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
3.变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
对点练2.化简：.
解：原式＝＝＝＝tan 2α.
探究点三　三角函数式的证明
已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.
证明：由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，(1)
cos A＋cos B＝－cos C.(2)
两式和差化积，得2sincos＝－sin C，(3)
2coscos＝－cos C. (4)
因为当cos＝0时，sin C＝cos C＝0不成立，
所以cos≠0.
(3)÷(4)，得tan＝tan C.所以cos＝＝＝cos 2C.
＋，得2＋2cos＝1，
即cos＝－，
所以cos2A＋cos2B＋cos2C
＝
＝＋
＝＋＝.
　　这类问题的特点是反复利用和差化积与积化和差公式变换凑出特殊角， 得到相约的项或者相消的项， 从而达到求值解题证明的目的.
对点练3.求证：＝.
证明：原式左边＝＝
＝＝＝右边，所以原式成立.
探究点四　三角恒等变换与三角函数综合
已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值.
解：(1)由已知得f(x)＝cos2－sin cos －
＝(1＋cos x)－sin x－
＝cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
学生用书 第63页
对点练4.设函数f(x)＝cos x·cos(x－)＋sin2x－.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.
解：(1)f(x)＝cos x·cos(x－)＋sin2x－
＝cos x(cos x＋sin x)＋(1－cos2x)－
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－)，
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
此时sin(2x－)∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)的最大值为，最小值为－.
探究点五　三角恒等变换的实际应用问题
在半径为R，圆心角为的扇形AOB土地作如下两种方案的规划：
方案一：如图1，C为弧AB的中点，在扇形AOB弧上任取一点P(异于点C)，过点P作扇形的内接矩形PNMQ，使得P，Q关于OC对称，点M，N分别在OA，OB上；
方案二：如图2，在扇形AOB弧上任取一点P，过点P作扇形的内接平行四边形PNMQ，使得点Q在OA上，点M，N在OB上.
记土地利用率l＝(说明：方案一中(SPNMQ)max表示扇形的内接矩形PNMQ面积的最大值，方案二中(SPNMQ)max表示扇形的内接平行四边形PNMQ面积的最大值).
问：采取哪种方案的规划才能使土地利用率较大，并结合运算说明理由.
解：对于方案一：记OC与MN，PQ的交点为E，F.
如图所示：
设∠POC＝α，α∈，
则PF＝Rsin α，OF＝Rcos α，
又OE＝＝＝Rsin α，
EF＝OF－OE＝Rcos α－Rsin α，
MN＝2PF＝2Rsin α，
SPNMQ＝EF×MN＝2Rsin α(Rcos α－Rsin α)
＝R2sin 2α－R2(1－cos 2α)
＝2R2sin(2α＋)－R2，
因为α∈，
所以当2α＋＝，即α＝时，sin取得最大值1，
即∠BOP＝－α＝，(SPNMQ)max＝(2－)R2，
l1＝＝＝.
对于方案二：
分别作QH⊥OB，PL⊥OB交OB于H，L两点，
如图所示：
设∠BOP＝θ，θ∈，
则PL＝Rsin θ，OL＝Rcos θ，
OH＝＝＝，
MN＝OL－OH＝Rcos θ－，
SPNMQ＝PL×MN＝Rsin θ
＝R2sin 2θ－×
＝R2sin－R2
因为θ∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即∠BOP＝，
(SPNMQ)max＝R2－R2＝R2，
l2＝＝＝.
因为l1＜l2，所以采用方案二土地利用率较大.
　　解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当地表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
对点练5.如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
(1)设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
(2)设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值.
解：(1)因为QM＝PN＝x，
所以MN＝ON－OM＝－，
所以y＝MN·PN
＝x·－x2(0＜x＜).
(2)当∠POB＝θ时，QM＝PN＝sin θ，
则OM＝＝sin θ，
又ON＝cos θ，
所以MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ，
所以y＝MN·PN＝3sin θcos θ－sin2θ(0＜θ＜)，
即y＝－·＝sin(2θ＋)－，
因为θ∈，所以2θ＋∈，
故当2θ＋＝，即θ＝时，y取得最大值为.
学生用书 第64页
1.函数f(x)＝1＋cos2x的最小正周期是(　　)
A.π B.2π
C. D.
答案：A
解析：f(x)＝1＋cos2x＝1＋
＝＋cos 2x的最小正周期为T＝π.
2.已知f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋在上的最大值是1，则m的最小值是(　　)
A. B.
C.－ D.
答案：A
解析：因为f(x)＝sin x(cos x－sin x)＋，
所以f(x)＝sin xcos x－sin2 x＋
＝sin 2x－×＋
＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，
因为－≤x≤m，
所以－≤2x≤2m，
所以－≤2x＋≤2m＋，
因为f(x)在上的最大值是1，所以2m＋≥，解得m≥，所以m的最小值为.故选A.
3.已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)在△ABC中，若f()＝2，≤B≤，求cos B＋cos C的取值范围.
解：(1)函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，
所以f(x)的最小正周期为＝π.
(2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
可得f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)因为f()＝2，所以sin(A＋)＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＋∈(，)，
所以A＋＝，可得A＝，
所以cos B＋cos C＝cos B＋cos(π－－B)
＝cos B＋cos(－B)
＝cos B＋sin B＝sin(B＋)，
因为≤B≤，所以≤B＋≤，
所以≤sin(B＋)≤1，
即cos B＋cos C的取值范围是.
课时分层评价17　简单的三角恒等变换
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)
A.3 B.2
C. D.
答案：C
解析：因为α∈(0，π)，所以 ∈.
因为sin α＋2cos α＝2，所以cos α＝1－sin α.
所以tan ＝＝＝.
2.函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为(　　)
A. B.
C.π D.2π
答案：C
解析：函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，则该函数的最小正周期为＝π，故选C.
3.若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：D
解析：因为α，β∈(0，π)，所以sin α＋sin β＞0，
所以cos β－cos α＞0，
所以cos β＞cos α.
因为在(0，π)上，y＝cos x是减函数，所以β＜α，所以0＜α－β＜π.由原式可知，
2sin cos ＝(－2sin sin )，
所以tan ＝，所以＝，所以α－β＝.
4.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　　)
A.a＞b＞c B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a
答案：B
解析：a＝cos 6°－sin 6° ＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝＝tan(2×22.5°)＝tan 45°＝＝sin 30°，
c＝＝cos 25°＝sin 75°，
所以a＜b＜c.
故选B.
5.函数y＝＋2cos2 x－1(x∈)的值域为(　　)
A.[－，1] B.[－1，]
C.[－，] D.[－1，1]
答案：B
解析：y＝＋2cos2 x－1
＝＋cos 2x
＝＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x
＝sin(2x＋).
又x∈，则(2x＋)∈，
所以sin(2x＋)∈，
所以所求函数的值域为.
故选B.
6.化简：＝　　　　.
答案：2cos α
解析：原式＝＝2cos α.
7.设α为第四象限角，且＝，且tan 2α＝　　　　.
答案：－
解析：＝
＝＝cos 2α＋2cos2α
＝cos 2α＋1＋cos 2α＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－＝－，tan 2α＝－.
8.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α，若｜BC｜＝1，则cos2－sin·cos－的值为　　　　.
答案：
解析：因为点B的坐标为(，－)，
所以OB＝OC＝1，设∠AOB＝θ，
所以sin(2π－θ)＝－，cos(2π－θ)＝，
即sin θ＝，cos θ＝，
因为∠AOC＝α，BC＝1，
所以θ＋α＝，
则α＝－θ，
所以cos2－sincos －
＝cos α－sin α＝cos(α＋)
＝cos(－θ)＝sin θ＝.
9.(15分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值.
解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋.
因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知，g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1，
所以1≤g(x)≤.
故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1.
10.(15分)已知函数f(x)＝sin2x－sin xcos x＋，g(x)＝mcos(x＋)－m＋2.
(1)若对任意x1，x2∈[0，π]，均有f(x1)≥g(x2)，求m的取值范围；
(2)若对任意x∈[0，π]，均有f(x)≥g(x)，求m的取值范围.
解：(1)f(x)＝sin2x－sin xcos x＋＝－sin 2x＋＝1－sin(2x＋)，
由x1∈[0，π]，f(x1)∈[0，2]，
又x2∈[0，π]，当m＝0时，g(x2)＝2，f(x1)≤g(x2)，不满足题意，当m＞0时，g(x2)∈［－2m＋2，－m＋2］，
要使f(x1)≥g(x2)恒成立，只需0≥－m＋2，
解得m≥4，
当m＜0时，g(x2)∈，
要使f(x1)≥g(x2)恒成立，只需0≥－2m＋2，解得m≥1，与m＜0矛盾，
综上，m的取值范围是[4，＋∞).
(2)由(1)得，f(x)＝1－sin(2x＋)
＝1＋cos(2x＋)＝2cos2(x＋)，
要使f(x)≥g(x)恒成立，只需2cos2(x＋)≥mcos(x＋)－m＋2，
则m≤2，
因为x∈[0，π]，所以cos(x＋)∈，
所以只需m≥2恒成立，即m≥3，
则所求m的取值范围为[3，＋∞).
(11、12每小题5分，共10分)
11.已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(a＞0且ω＞0)，周期T＜2π，f()＝，且f(x)在x＝处取得最大值，则ω的最小值为(　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
答案：C
解析：f(x)＝sin ωx＋acos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中tan φ＝a，
因为f(x)在x＝处取得最大值，
所以ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ－ω，k∈Z，
所以tan φ＝tan(＋2kπ－ω)＝tan(－ω)＝＝a，(k∈Z)，①
因为f()＝sin(ω＋φ)
＝sin(ω＋＋2kπ－ω)
＝cosω＝，k∈Z，
所以cosω＝，②
②÷①得sinω＝·，
所以sin2＋cos2＝＋＝1，
即a4－2a2－3＝0，解得a＝，a＝－(舍去)，
由①得tan＝＝tan(＋kπ)，k∈Z，
因为cos＞0，
所以在第一象限，
所以取＝tan(＋2kπ)，k∈Z，
由T＝＜2π，即ω＞1，
所以＝＋2kπ，k∈Z，
所以ω＝12k＋1，k∈Z，
要使ω最小，则k＝1，
即ωmin＝13，故选C.
12.已知函数f(x)＝log2(＋x)－＋2，x∈R，若 θ∈使关于θ的不等式f(2sin θ·cos θ)＋f(4－2sin θ－2cos θ－m)＜2成立，则实数m的范围为　　　　.
答案：(2，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－1＝log2(＋x)－＋1，
则g(－x)＝f(－x)－1＝log2(－x)－＋1，
而g(x)＋g(－x)＝log21＋2－－＝0，
所以g(x)是奇函数，而y＝log2(＋x)在R上单调递增，y＝－＋1在R上单调递增，
所以g(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，
而f(2sin θ·cos θ)＋f(4－2sin θ－2cos θ－m)＜2可变形成f(2sin θ·cos θ)－1＜1－f(4－2sin θ－2cos θ－m)，
即g(2sin θ·cos θ)＜－g(4－2sin θ－2cos θ－m)＝g(2sin θ＋2cos θ＋m－4)，
由g(x)是R上的单调递增函数，则 θ∈使关于θ的不等式2sin θ·cos θ＜2sin θ＋2cos θ＋m－4成立，
即－m＜2(sin θ＋cos θ)－2sin θ·cos θ－4，
设t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)，θ∈，
则t∈[1，]，2sin θ·cos θ＝t2－1，
令h(t)＝2t－(t2－1)－4＝－t2＋2t－3＝－(t－1)2－2，t∈[1，]，则h(t)的最大值为－2，
所以－m＜－2，即m＞2.
综上所述：实数m的范围为m＞2.(共66张PPT)
2.3　简单的三角恒等变换
　
第2章　三角恒等变换
1.了解半角公式及其推导过程，掌握并理解辅助角公式，能灵活运用公式进行相关的化简、计算、证明，提升逻辑推理与数学运算核心素养.
2.通过运用公式进行简单的恒等变换， 进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性， 体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用， 达到数学运算、逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
学习目标
新知形成
知识点一　半角公式和万能公式
1.半角公式
知识梳理
1－2sin α
2cos α－1
知识点二　积化和差、和差化积公式
1.积化和差公式
(1)sin αcos β＝______________________________，
(2)cos αcos β＝______________________________，
(3)cos αsin β＝______________________________，
(4)sin αsin β＝________________________________.
2.和差化积公式
(1)cos α＋cos β＝________________，
(2)cos α－cos β＝________________，
(3)sin α＋sin β＝_________________，
(4)sin α－sin β＝_________________.
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合作探究
典例
1
规律方法
典例
2
化简问题中的“三变”
1.变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
2.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
3.变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
规律方法
典例
3
　　这类问题的特点是反复利用和差化积与积化和差公式变换凑出特殊角， 得到相约的项或者相消的项， 从而达到求值解题证明的目的.
规律方法
典例
4
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
规律方法
典例
5
　　解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当地表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
规律方法
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