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章末综合提升
学生用书 第65页
素养一　逻辑推理
　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是我们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，主要表现在公式变形运用中.
题型一　公式变形运用
(1)求值：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝　　　　.
答案：1
解析：因为tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)，
又tan 30°＝tan(10°＋20°)＝＝，
所以3(tan 10°＋tan 20°)＝(1－tan 10°tan 20°)，
所以(tan 10°＋tan 20°)＝1－tan 10°tan 20°，
所以(tan 10°＋tan 20°)＋tan 10°tan 20°＝1，
所以tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状.
解：因为tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
所以(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
所以＝－，
所以tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，所以A＋B＝，所以C＝.
因为tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
所以tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
所以B＝，所以A＝，所以△ABC为等腰钝角三角形.
素养二　数学建模
　　数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中体现在三角函数在实际问题中的应用.
题型二　三角函数在实际问题中的应用
某公司的职工活动室全天对职工开放，机动工作人员经过长期统计得到的时间t(0≤t≤24)(h)与到活动室活动人数y(人)的关系如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 100 150 100 50 100 150 100 50 100
(1)选用一个三角函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系；
(2)若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理，则机动工作人员每天在活动室需要工作多长时间(sin≈)？
解：(1)以时间t为横坐标，活动人数y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示.
根据图象，可考虑用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h描述人数与时间之间的函数关系.
由图象和数据，可知A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0.
由T＝＝12，得ω＝.
所以这个活动室的活动人数y与时间t之间的函数关系式为y＝50sin＋100，t∈[0，24].
(2)由y≥140，即y＝50sin＋100≥140，得sin≥，
若sin＝，在[0，24]内可得t1＝1.8，t2＝6－1.8＝4.2，t3＝12＋1.8＝13.8，t4＝18－1.8＝16.2，
所以机动工作人员每天在活动室需要工作的时间为t2－t1＋t4－t3＝4.8(h).
学生用书 第66页
素养三　数学运算
　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在三角函数求值中.
题型三　三角函数求值
已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值.
解：因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，
所以－＜α－β＜，
因为sin(α－β)＝－＜0，
所以cos(α－β)＝，
因为cos α＝，所以sin α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝.
素养四　直观想象
　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在由图象求函数的解析式中.
题型四　由图象求函数的解析式
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，且图象如图所示，求其解析式.
解：方法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以
ω＝2，又过点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)得－×2＋φ＝0，即φ＝，所以f(x)＝3sin.
方法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为｜φ｜＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
方法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则(　　)
A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1
答案：C
解析：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C.
(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：B
解析：因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B.
(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
答案：A
解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A.
溯源：(人教A必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值.
点评：高考试题和教材习题都涉及cos(α＋β)，cos(α－β)，tan αtan β三个量，是知二求一问题，是较为经典的源于教材的题目.
学生用书 第67页
(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.
答案：－
解析：由题知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－.
(2024·全国甲卷) 已知＝，则tan(α＋)＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案：B
解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋)＝＝＝2－1.故选B.
溯源：(湘教必修第二册P73例7)已知tan α＝，分别求下列各式的值.
(1)tan(α＋)；(2)tan(α－).
点评：高考题中的条件＝化简结果为tan α＝1－，所以高考题与教材习题的考查角度完全一致，只是换了一个数值而已.
(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，
所以sin＝＝＝＝.故选D.
溯源：(湘教必修第二册P85练习T1)已知cos α＝，且＜α＜2π，求sin，cos 和tan的值.
点评：高考题及教材习题均考查正弦的半角公式，只是角的取值范围不同.
(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
解：(1)因为＝＝＝，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝.
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，
所以＜C＜π，0＜B＜.
而sin B＝－cos C＝sin，
所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈，C∈，
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5.
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.
(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
解：(1)法一：(辅助角公式)
由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin(A＋)＝1，
由于A∈(0，π) A＋∈(，)，故A＋＝，解得A＝.
法二：(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得到，
4cos2A－4cos A＋3＝0 ＝0，解得cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题意得bsin C＝csin 2B sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，
于是C＝π－A－B＝，
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理可得＝＝，
即＝＝，解得b＝2，c＝＋，
故△ABC的周长为2＋＋3.
单元检测卷(二)　三角恒等变换
(时间：120分钟　满分：150分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：C
解析：因为sin α＝，cos β＝，且α，β均为锐角，
所以cos α＝＝，sin β＝＝.
因为sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜，
所以－＜α－β＜0.
又sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以α－β＝－.故选C.
2.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于(　　 )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为θ∈，所以2θ∈，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－.又因为cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sin θ＝.故选D.
3.已知x∈(0，π)，cos＝－，则cos(x－)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为x∈(0，π)，cos ＝－.
所以sin＝＝.
则cos＝cos
＝coscos ＋sin sin
＝(－)×＋×＝.
4.若tan θ＝2，则＝(　　)
A.－ B.
C. D.
答案：B
解析：＝
＝＝cos θ(sin θ－cos θ)
＝＝＝＝.
故选B.
5.化简： (3π＜α＜4π)的结果为(　　)
A.2sin B.－2sin
C.2cos D.－2cos
答案：C
解析：因为3π＜α＜4π，所以＜＜2π，
＜＜π，＜＜，所以cos ＞0，
cos ＜0，cos ＞0.
所以＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝2cos ，故选C.
6.已知sin－2sin 3xcos＝，则cos＝(　　)
A. B.－ C. D.－
答案：B
解析：因为sin＝sin
＝sin 3xcos＋cos 3xsin，
所以sin－2sin 3xcos
＝－sin 3xcos＋cos 3xsin＝，
整理得－sin＝，即sin＝－，
所以cos＝cos
＝－cos＝2sin2－1＝－，故选B.
7.已知－＜α－β＜，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝，
两式平方相加可得sin2α＋cos2α＋4sin2β＋4cos2β＋4cos βsin α－4sin βcos α＝3，
所以5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－.
因为－＜α－β＜，
所以α－β＝－，将α＝β－代入sin α＋2cos β＝1可得sin(β－)＋2cos β＝1，所以sin β＋cos β＝1，sin(β＋)＝1，则sin(β＋)＝，故选A.
8.若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，S3，…，S100中，正数的个数是(　　)
A.86 B.72
C.16 D.100
答案：A
解析：因为f(x)＝sin 的最小正周期为T＝14，又sin ＞0，sin ＞0，…，sin ＞0，sin ＝0，所以在S1，S2，…，S14中有12个是正数，故在S1，S2，…，S100中有7×12＋2＝86个正数，故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9.已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有(　　)
A.｜b｜＝1 B.若a∥b，则tan α＝
C.a·b的最大值为2 D.｜a－b｜的最大值为3
答案：AC
解析：对于A，｜b｜＝＝1，A正确；
对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，所以tan α＝，B错误；
对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，最大值为2，C正确；
对于D，｜a－b｜＝
＝＝，
因为α∈，所以α＋∈，
则sin ∈，则｜a－b｜max＝＝，D错误，故选AC.
10.若sin α＋cos α＝，则(　　)
A.cos(α＋)＝
B.3tan2α＋8tan α＝－11
C.sin(α＋)＝－
D.3tan2α＋8tan α＝－12
答案：BC
解析：因为sin α＋cos α＝2sin(α＋)＝2cos(α－)＝，
所以sin(α＋)＝cos(α－)＝，
则cos(α＋π)＝－cos(α－)＝－，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－，故A错，C正确；
因为sin α＋cos α＝，即有(sin α＋cos α)2＝，
所以4sin2α＋12cos2α＋8sin αcos α＝1＝sin2α＋cos2α，
则3sin2α＋11cos2α＋8sin αcos α＝0，
所以
＝＝0，
故3tan2α＋8tan α＝－11，所以B正确，D错.故选BC.
11.已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，下列命题正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间上为增函数
C.直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
答案：BC
解析：f(x)＝sin 2x－＝sin(2x－)－，显然A错；当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin的图象，故D错.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)
12.已知sin α＋cos α＝，则sin(2α＋)＝　　　　.
答案：－
解析：因为sin α＋cos α＝，
故可得sin(α＋)＝，
则sin＝sin
＝－cos
＝2sin2－1＝2×－1
＝－.
13.已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝　　　　.
答案：－
解析：sin＝sin＝cos(2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×＝－.
14.已知sin＝，α∈，则tan＝　　　　.
答案：－7
解析：因为α∈，所以α＋∈，
所以cos＝－＝－，
则tan＝＝－，
tan＝tan
＝＝＝－7.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos 2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值；
(3)若θ为锐角，f＝，求cos θ的值.
解：(1)由f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)－cos 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－).
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的减区间为，k∈Z.
(2)由－≤x≤，得－≤2x－≤，
所以－1≤sin≤，－2≤f(x)≤1.
故函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－2.
(3)由f＝2sin＝，可得sin(θ－)＝.
由0＜θ＜，可得－＜θ－＜，
又由sin＞0，可得0＜θ－＜，
则cos(θ－)＝＝.
所以cos θ＝cos
＝［cos－sin］
＝×＝.
16.(本小题满分15分)已知α∈(0，)，β∈(0，)，且cos(α－β)－cos(α＋β)＝，tan＋＝.
(1)求cos 2β的值；
(2)求tan(α＋β)的值.
解：(1)cos(α－β)－cos(α＋β)＝2sin αsin β＝，
所以sin αsin β＝，
tan＋＝＋＝＝＝，所以sin α＝，则sin β＝，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝－.
(2)因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以cos α＝＝，tan α＝，cos β＝＝，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝.
17.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值.
解：(1)依题意知 A＝1，又图象经过点M，
所以f＝sin＝，
再由＜＋φ＜＋φ＝，即φ＝，
因此f＝sin＝cos x.
(2)因为f＝cos α＝，f＝cos β＝，
且α，β∈.
所以sin α＝，sin β＝.
则f＝cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
18.(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2cos x·sin(x＋)－sin2x＋sin x·cos x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间.
解：(1)f(x)＝2cos x·(sin x＋cos x)－sin2x＋sin x·cos x＋1
＝2sin x·cos x＋(cos2x－sin2x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为－1≤sin(2x＋)≤1，
所以－1≤2sin(2x＋)＋1≤3，
所以当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值3，
所以当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值－1.
(3)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］(k∈Z).
19.(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2cos xsin(x＋)－2cos2x＋，x∈R.
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为h(x).若关于x的方程2[h(x)]2＋mh(x)＋1＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.
解：(1)因为f＝2cos x·(sin x＋cos x)－2cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，
又因为x∈，
所以f(x)的单调递增区间为.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位后，
得h(x)＝sin 2x，
又因为x∈，则2x∈，
h(x)＝sin 2x的函数值从0递增到1，又从1递减到0.
令t＝h(x)，则t∈[0，1]，
依题意得2t2＋mt＋1＝0在t∈[0，1)上仅有一个实根.
令H(t)＝2t2＋mt＋1，因为H(0)＝1＞0，
则需H(1)＝2＋m＋1＜0或
解得m＜－3或m＝－2.
所以实数m的取值范围为{m｜m＜－3，或m＝－2}.(共60张PPT)
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第2章　三角恒等变换
体系构建
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分层探究
素养一　逻辑推理
　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是我们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，主要表现在公式变形运用中.
题型一　公式变形运用
(1)求值：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝___.
典例
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1
素养二　数学建模
　　数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中体现在三角函数在实际问题中的应用.
题型二　三角函数在实际问题中的应用
某公司的职工活动室全天对职工开放，机动工作人员经过长期统计得到的时间t(0≤t≤24)(h)与到活动室活动人数y(人)的关系如下表：
(1)选用一个三角函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系；
典例
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t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 100 150 100 50 100 150 100 50 100
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 100 150 100 50 100 150 100 50 100
素养三　数学运算
　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在三角函数求值中.
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素养四　直观想象
　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在由图象求函数的解析式中.
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