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3.2　复数的四则运算
学习目标 1.掌握复数的加减乘除运算的运算法则， 并能熟练、准确地运用运算法则解决相关问题， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求. 2.能进行复数代数形式的加减运算， 了解复数代数形式的加减运算的几何意义， 提升数学运算核心素养. 3.通过复数集内一元二次方程的解，体会实际需要是推动数系不断扩充的根本原因， 感受运算法则的合理性， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
知识点一　复数的加减法
1.复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
[点拨]　把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可.
知识点二　复数的乘法与乘方
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n有
zm·zn＝zm＋n，
(zm)n＝zmn，
(z1·z2)n＝·.
[点拨]　in(n∈N*)：因为i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，所以in(n∈N*)以4为周期的式子.
知识点三　复数的除法
　对任意两个复数a＋bi，c＋di，有＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
[点拨]　对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数.(　　)
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　)
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(　　)
(4)两个复数的积与商一定是虚数.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－i
答案：C
解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故复数z的虚部为－1.
3.若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
答案：D
解析：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
4.＝　　　　.
答案：＋i
解析：＝＝＝＝＋i.
学生用书 第72页
探究点一　复数的加减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－ (3＋4i)；
(2)设z1 ＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2 ＝5－6i，求z1－z2.
解：(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i.
所以所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
复数加、减运算的法则
1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.
2.复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
对点练1.－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝　　　　　　　.
答案：－10i
解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
对点练2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝　　　　.
答案：3
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，所以
解得a＝3.
探究点二　复数的乘法运算
(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝(　　)
A.1＋i B.－1＋i
C.＋i D.－＋i
(2)已知复数(a＋3i)(1＋2i) 是纯虚数，则实数a的值为　　　　.
答案：(1)B　(2)6
解析：(1)(1－i)(1＋i)＝(1－i)·
(1＋i)·＝(1－i2)
＝2＝－1＋i.
(2)因为(a＋3i)(1＋2i)＝a－6＋3i＋2ai
＝(a－6)＋(3＋2a)i为纯虚数.
所以解得a＝6.
两个复数代数形式的乘法运算步骤
1.首先按多项式的乘法展开；
2.再将i2换成－1；
3.然后再进行复数的加、减运算，并化简为复数的代数形式.
对点练3.i表示虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2 023 ＝　　　　.
答案：0
解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以1＋i＋i2＋i3＝0，
所以1＋i＋i2＋…＋i2 023＝506×0＝0.
对点练4.已知复数ω＝－＋i(i是虚数单位)，则ω3－2＝　　　　.
答案：－1
解析：因为ω＝－＋i，
所以ω3－2＝－2＝＋3××i＋3××＋－2＝－＋i＋－i－2＝－1.
探究点三　复数的除法运算
(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)
A.＋i B.－i
C.－＋i D.－－i
(2)若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为(　　)
A.－2 B.2 C.1 D.－1
答案：(1)B　(2)B
解析：(1)由于＝i，所以z＋i＝zi，
则z＝＝＝
＝－i.
(2)因为＝
＝为纯虚数，
所以解得a＝2.
两个复数代数形式的除法运算步骤
1.首先将除式写为分式；
2.再将分子、分母同乘以c±di；
3.然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
学生用书 第73页
对点练5.复数z＝(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
答案：A
解析：因为复数z＝＝＝为纯虚数，所以所以m＝－1.
对点练6.i是虚数单位，＋＝　　　　　　　.
答案：0
解析：()2 024＋()6
＝＋
＝＋i6＝(i2)506＋(i2)3＝(－1)506＋(－1)3＝1＋(－1)＝0.
探究点四　复数范围内方程根的问题
在复数范围内解下列方程.
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i.
(2)方法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2.
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
方法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根.
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±，
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
复数范围内实系数一元二次方程的解法
1.求根公式法
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ＜0时，x＝.
2.利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
对点练7.已知x＝i－1是方程x2＋ax＋b＝0的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解：(1)把x＝i－1代入x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以a＝2，b＝2.
(2)设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，
所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程，得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0，
故x2＝－1－i是方程的另一个根.
1.在复数范围内，方程2x2－3x＋2＝0的解是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由求根公式，得x＝.
2.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i.若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为　　　　.
答案：－2
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得 a＝－2.
3.已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋2i，则复数z＝　　　　.
答案：－＋i
解析：因为＝1＋2i，
所以z＝＝＝
＝－＋i.
4.(1)求＋的值；
(2)若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根是1＋i，其中m，n∈R，i是虚数单位，求m－n的值.
解：(1)()6＋
＝＋＝i6＋
＝－1＋i.
(2)由题意得＋m＋n＝－1＋m＋n＋2i＋mi＝0，
因为m，n∈R，
所以，解得，
所以m－n＝－5.
课时分层评价19　复数的四则运算
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.复数＝(　　)
A.－1 B.－i
C.－i D.－i
答案：B
解析：根据复数的运算法则，可得＝＝＝＝－i.故选B.
2.设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
答案：D
解析：因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i是纯虚数，所以a－3＝0，解得a＝3.故选D.
3.已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，其中i为虚数单位，若z1z2为实数，则的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：B
解析：因为复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，所以z1z2＝2a－3b＋(2b＋3a)i为实数，所以2b＋3a＝0，所以＝－.故选B.
4.设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝－是纯虚数”是“a＝1”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：因为复数z＝－＝－＝－－i是纯虚数，则a2＝1，a＝±1，
因为a＝±1是a＝1的必要而不充分条件，
所以“复数z＝－是纯虚数”是“a＝1”的必要而不充分条件，故选B.
5.方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则z＝(　　)
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
答案：A
解析：方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)可以变形为x2＋4x＋4＋(x＋a)i＝0，
由复数相等的充要条件得
解得x＝－2，a＝2.
因为方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，故b＝－2，所以复数z＝2－2i，故选A.
6.(1－i)2－＋4i2 021＝　　　　.
答案：0
解析：原式＝－2i－＋4i＝－2i－i＋4i＝0.
7.定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，则复数z＝　　　　.
答案：2－i
解析：由＝1＋i，得zi－i＝1＋i，得z＝＝2－i.
8.若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q等于　　　　.
答案：1
解析：因为1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，
所以1＋i是此方程的另一个解.
根据根与系数的关系可得，解得，
所以p＋q＝－1＋2＝1.
9.(15分)已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
解：(1)z＝＝
＝＝1＋i.
(2)将z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以，解得.
10.(15分)已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是该方程的一个根.
解：(1)因为1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根，所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，
所以所以b，c的值分别为－2，2.
(2)由(1)知原方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，右边＝0，左边＝右边，显然方程成立，因此1－i也是该方程的一个根.
(11、12每小题5分，共10分)
11.已知集合M {x｜x＝in＋i－n，n∈N}(其中i为虚数单位)，则满足条件的集合M的个数为(　　)
A.3 B.4
C.8 D.16
答案：C
解析：由题意，当n＝0时，x＝i0＋i－0＝2；
当n＝1时，x＝i＋i－1＝0；
当n＝2时，x＝i2＋i－2＝－2；
当n＝3时，x＝i3＋i－3＝－i＋i＝0；
当n＝4时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2；
……
运用复数i运算的周期性，可得：
集合{x｜x＝in＋i－n，n∈N}＝{2，0，－2}，
因为集合M {x｜x＝in＋i－n，n∈N}，
所以满足条件的集合M的个数为23＝8.
故选C.
12.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0
C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0
答案：D
解析：因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.(共52张PPT)
3.2　复数的四则运算
　
第3章　复数
1.掌握复数的加减乘除运算的运算法则， 并能熟练、准确地运用运算法则解决相关问题， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求.
2.能进行复数代数形式的加减运算， 了解复数代数形式的加减运算的几何意义， 提升数学运算核心素养.
3.通过复数集内一元二次方程的解，体会实际需要是推动数系不断扩充的根本原因， 感受运算法则的合理性， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求.
学习目标
新知形成
知识点一　复数的加减法
1.复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝_________________，z1－z2＝_________________.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝______________.
点拨　把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可.
知识梳理
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
知识点二　复数的乘法与乘方
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____________________.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3，有
交换律 z1·z2＝________
结合律 (z1·z2)·z3＝______________
分配律 z1(z2＋z3)＝____________
(ac－bd)＋(bc＋ad)i
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数. (　　)
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2. (　　)
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部. (　　)
(4)两个复数的积与商一定是虚数. (　　)
自主检测
√
×
√
×
√
z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故复数z的虚部为－1.
3.若z(1＋i)＝2i，则z＝
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
√
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合作探究
探究点一　复数的加减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－ (3＋4i)；
解：原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
典例
1
复数加、减运算的法则
1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.
2.复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
规律方法
对点练1.－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝___________.
－10i
－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
对点练2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝_______.
3
典例
2
√
(2)已知复数(a＋3i)(1＋2i) 是纯虚数，则实数a的值为______.
6
两个复数代数形式的乘法运算步骤
1.首先按多项式的乘法展开；
2.再将i2换成－1；
3.然后再进行复数的加、减运算，并化简为复数的代数形式.
规律方法
对点练3.i表示虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2 023 ＝_______.
0
因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以1＋i＋i2＋i3＝0，
所以1＋i＋i2＋…＋i2 023＝506×0＝0.
－1
典例
3
√
√
两个复数代数形式的除法运算步骤
1.首先将除式写为分式；
2.再将分子、分母同乘以c±di；
3.然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数 形式.
规律方法
√
0
典例
4
规律方法
对点练7.已知x＝i－1是方程x2＋ax＋b＝0的一个根.
(1)求实数a，b的值；
解：把x＝i－1代入x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以a＝2，b＝2.
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解：设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，
所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程，得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0，
故x2＝－1－i是方程的另一个根.
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随堂评价
√
2.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i.若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为_______.
－2
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课时分层
√
√
√
√
5.方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则z＝
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
√
0
2－i
8.若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q等于______.
1
(2)试说明1－i也是该方程的一个根.
解：由(1)知原方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，右边＝0，左边＝右边，显然方程成立，因此1－i也是该方程的一个根.
11.已知集合M {x｜x＝in＋i－n，n∈N}(其中i为虚数单位)，则满足条件的集合M的个数为
A.3 B.4
C.8 D.16
√
由题意，当n＝0时，x＝i0＋i－0＝2；
当n＝1时，x＝i＋i－1＝0；
当n＝2时，x＝i2＋i－2＝－2；
当n＝3时，x＝i3＋i－3＝－i＋i＝0；
当n＝4时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2；
……
运用复数i运算的周期性，可得：
集合{x｜x＝in＋i－n，n∈N}＝{2，0，－2}，
因为集合M {x｜x＝in＋i－n，n∈N}，
所以满足条件的集合M的个数为23＝8.
故选C.
√
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