资源简介

(共48张PPT)
*3.4　复数的三角表示
　
第3章　复数
学习目标
1.掌握复数的三角表示式及相关概念， 掌握复数的三角形式与代数形式的互化， 提升数学抽象、直观想象和数学运算核心素养.
2.掌握复数三角形式的乘除运算法则， 并能正确运算， 掌握复数三角形式的乘除运算的几何意义，提升数学运算和数学直观想象核心素养.
新知形成
知识点一　i2＝－1的几何意义
虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转90°.
知识点二　旋转任意角
用cos α＋isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转角α.
知识梳理
r(cos θ＋isin θ)
r(cos θ＋isin θ)
知识点四　复数三角形式的运算
1.乘法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝______________
________________.即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘____，乘积的辐角等于它们的辐角之乘____.
z1·z2·…·zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin (θ1＋θ2＋…＋θn)]，其中n∈N＋.
如果r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ.
则有[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中n∈N＋.这个式子称为棣莫弗公式.
r1r2[cos(θ1＋θ2)
＋isin(θ1＋θ2)]
积
和
商
差
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的. (　　)
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式. (　　)
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式. (　　)
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. (　　)
自主检测
×
×
×
√
√
√
6i
返回
合作探究
典例
1
复数的代数形式化成三角形式的步骤
1.求复数的模；
2.确定辐角所在的象限；
3.根据象限求出辐角；
4.求出复数的三角形式.
规律方法
探究点二　复数三角形式的乘除运算
(1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°)＝_________
(用代数形式表示).
典例
2
(2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)]＝____________.
1.乘法法则：模相乘，辐角相加.
2.除法法则：模相除，辐角相减.
3.复数的n次幂的模等于模的n次幂，它的辐角等于辐角的n倍，n∈N＋.
规律方法
√
√
9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝3[cos(3π－2π)＋isin(3π－2π)]＝3(cos π＋isin π)＝－3.
典例
3
规律方法
返回
随堂评价
√
√
3.复数9(cos π＋isin π)的模是_____.
9
因为cos π＝－1，sin π＝0，
所以9(cos π＋isin π)＝－9，
所以复数9(cos π＋isin π)的模为｜－9｜＝9.
返回
课时分层
√
√
√
√
√
3
1
√
√
12.已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－4－3i｜的最大值为
A.4 B.5
C.6 D.7
√
返回*3.4　复数的三角表示
学习目标 1.掌握复数的三角表示式及相关概念， 掌握复数的三角形式与代数形式的互化， 提升数学抽象、直观想象和数学运算核心素养. 2.掌握复数三角形式的乘除运算法则， 并能正确运算， 掌握复数三角形式的乘除运算的几何意义，提升数学运算和数学直观想象核心素养.
知识点一　i2＝－1的几何意义
虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转90°.
知识点二　旋转任意角
用cos α＋isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转角α.
知识点三　复数的三角表示
1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的正半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫作复数z＝a＋bi的辐角.r(cos θ＋isin θ)叫作复数z＝a＋bi的三角形式.
2.辐角：辐角记作arg z＝θ，当0≤θ＜2π时，称其为复数z的辐角主值.若θ是z的辐角主值，则z的全部辐角arg z＝θ＋2kπ(k∈Z).
知识点四　复数三角形式的运算
1.乘法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之乘和.
z1·z2·…·zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin (θ1＋θ2＋…＋θn)]，其中n∈N＋.
如果r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ.
则有[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中n∈N＋.这个式子称为棣莫弗公式.
学生用书 第78页
2.除法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].即：两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差.
[点拨]　复数三角形式的特征
(1)r≥0；
(2)辐角不唯一；
(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的.(　　)
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式.(　　)
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式.(　　)
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.×＝(　　)
A.1 B.－1
C.i D.－i
答案：C
解析：原式＝cos ＋isin ＝cos ＋isin ＝i.故选C.
3.4(cos π＋isin π)÷＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
答案：C
解析：原式＝2
＝2＝－1＋i.
4.复数6的代数形式为　　　　.
答案：6i
解析：原式＝6cos ＋6isin ＝6i.
探究点一　复数的代数形式与三角形式的互化
(1)把复数3－i的代数形式化成三角形式；
(2)把复数4的三角形式化成代数形式.
解：(1)r＝＝2，cos θ＝，
因为3－i对应的点在第四象限，所以arg(3－i)＝，所以3－i＝2.
(2)4
＝4cos ＋i
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
复数的代数形式化成三角形式的步骤
1.求复数的模；
2.确定辐角所在的象限；
3.根据象限求出辐角；
4.求出复数的三角形式.
对点练1.将复数－i的代数形式化成三角形式.
解：r＝ ＝2，cos θ＝.
因为－i对应的点在第四象限，
所以arg(－i)＝，
所以－i＝2.
对点练2.将复数3的三角形式化成代数形式.
解：3
＝3cos ＋i
＝3×＋3×i
＝－－i.
学生用书 第79页
探究点二　复数三角形式的乘除运算
(1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°)＝　　　　　(用代数形式表示).
(2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)]＝　　　　.
答案：(1)5－5i　(2)－－i
解析：(1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°)
＝10(cos 210°＋isin 210°)×(cos 120°＋isin 120°)
＝10[cos (210°＋120°)＋isin(210°＋120°)]
＝10(cos 330°＋isin 330°)
＝10
＝5－5i.
(2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)]
＝6(cos 0°＋isin 0°)÷[3(cos 135°＋isin 135°)]
＝2[cos(0°－135°)＋isin(0°－135°)]
＝2[cos(－135°)＋isin(－135°)]＝2(－－i)
＝－－i.
1.乘法法则：模相乘，辐角相加.
2.除法法则：模相除，辐角相减.
3.复数的n次幂的模等于模的n次幂，它的辐角等于辐角的n倍，n∈N＋.
对点练3.×3＝(　　)
A.＋i B.－i
C.－＋i D.－－i
答案：C
解析：×3
＝3
＝3
＝－＋i.
对点练4.9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝(　　)
A.3 B.－3
C.i D.－i
答案：B
解析：9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝3[cos(3π－2π)＋isin(3π－2π)]＝3(cos π＋isin π)＝－3.
探究点三　复数三角形式乘除运算的几何意义
在复平面内，把与复数－i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z，求复数z(用代数形式表示).
解：方法一：由题意得
z＝(cos 45°＋isin 45°)×(－i)
＝(cos 45°＋isin 45°)×(cos 270°＋isin 270°)
＝cos(45°＋270°)＋isin(45°＋270°)
＝cos 315°＋isin 315°
＝－i.
方法二：由题意得
z＝(cos 45°＋isin 45°)×(－i)
＝×(－i)
＝－i.
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
对点练5.在复平面内，把与复数4＋4i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转15°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示).
解：与所求向量对应的复数为
(4＋4i)÷(cos 15°＋isin 15°)
＝8(cos 60°＋isin 60)÷(cos 15°＋isin 15°)
＝8[cos(60°－15°)＋isin(60°－15°)]
＝8(cos 45°＋isin 45°)
＝8
＝4＋4i.
1.复数z＝－i的三角形式为(　　)
A.2 B.2
C.2 D.2
答案：D
解析：因为r＝2，cos θ＝，所以与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，故z＝－i＝2.
2.复数z＝化为代数形式为(　　)
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
答案：D
解析：z＝
＝sin ＋icos
＝×＋i×＝－i.
3.复数9(cos π＋isin π)的模是　　　　.
答案：9
解析：因为cos π＝－1，sin π＝0，
所以9(cos π＋isin π)＝－9，
所以复数9(cos π＋isin π)的模为｜－9｜＝9.
4.已知z1＝，z2＝2(cos ＋isin )，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
解：z1z2＝×2(cos ＋isin )
＝×2
＝3
＝3i.
首先分别作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为(如图).向量即为积z1z2＝3i所对应的向量.
课时分层评价21　*复数的三角表示
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.将复数4化成代数形式，正确的是(　　)
A.4 B.－4
C.4i D.－4i
答案：D
解析：4＝4[0＋i(－1)]＝－4i.故选D.
2.复数z＝cos ＋isin 的一个辐角是(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：B
解析：由辐角的定义，知复数z＝cos ＋isin .故选B.
3.(cos ＋isin )×4(cos ＋isin )＝(　　)
A.4 B.－4
C.4i D.－4i
答案：C
解析：×4
＝4
＝4＝4i，故选C.
4.在复平面内点P对应的复数z1＝2＋i，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数z2的虚部为(　　)
A.－ B.＋1
C.i D.(＋1)i
答案：B
解析：设P点对应的向量为，向量绕坐标原点O逆时针旋转，对应的复数为(2＋i)·＝(2＋i)＝＋i，所以点Q对应的复数z2的虚部为＋1.故选B.
5.设复数z的共轭复数是，且｜z｜＝1.又复数z对应的点为Z，A(－1，0)与B(0，1)为定点，则函数f(z)＝｜(z＋1)(－i)｜取最大值时在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案：D
解析：因为｜z｜＝1，所以设z＝cos θ＋isin θ(θ为辐角)，
所以(z＋1)(－i)＝(cos θ＋1＋isin θ)(cos θ－isin θ－i)
＝cos2θ－isin θcos θ－icos θ＋cos θ－isin θ－i＋isin θcos θ＋sin2θ＋sin θ
＝(cos θ＋sin θ＋1)－i(cos θ＋sin θ＋1).
所以f(z)＝
＝ .
当sin＝1时，f(z)取最大值，故当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(z)取最大值，此时z＝＋i，＝－i，则Z，.
所以｜A｜2＝＋＝2＋，
所以｜B｜2＝＋＝2＋，｜AB｜2＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2，
所以｜A｜＝｜B｜，且｜A｜2＋｜B｜2≠｜AB｜2，
所以该图形为等腰三角形.故选D.
6.复数z＝3的模是　　　　.
答案：3
解析：复数z＝3是三角形式，故z的模是3.
7.复数z＝－＋i化成三角形式为　　　　　　　.
答案：2
解析：如图，r＝2，cos θ＝－，θ＝，－＋i＝2.
8.欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则｜z｜等于　　　　；等于　　　　.
答案：1　－i
解析：由欧拉公式eix＝cos x＋isin x，
可得＝cos π＋isin π＝－－i，
所以｜z｜＝＝1，＝＝－i.
9.(15分)计算4÷［2(cos ＋isin )］.
解：4÷
＝2
＝2＝2i.
10.(15分)已知复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1·z2的值.
解：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.则(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i.
由题意得方程组
此方法运算量非常大，涉及四次方的计算并且不易求解.如果利用复数的三角形式的向量表示就可以快速解决.
方法二：设在复平面上，z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，.由向量的平行四边形法则得 OA1AA2.
因为z1＋z2＝＋i＝cos ＋isin ，｜z1｜＝｜z2｜，
所以∠A1OA＝∠AOA2＝，复数z1或z2应与x轴正半轴重合，则另一个辐角为π.
设z1＝1，则z2＝cos π＋isin π＝－＋i，则z1·z2＝－＋i.
(11、12每小题5分，共10分)
11.(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A.｜z2｜＝｜z｜2
B.当r＝1，θ＝时，z3＝1
C.当r＝1，θ＝时，＝－i
D.当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
答案：AC
解析：对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，可得｜z2｜＝｜r2(cos 2θ＋isin 2θ)｜＝r2，｜z｜2＝｜r(cos θ＋isin θ)｜2＝r2，A选项正确；对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误.故选AC.
12.已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－4－3i｜的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：由｜z｜＝1可设：z＝cos θ＋isin θ，
所以z－4－3i＝(cos θ－4)＋(sin θ－3)i，
所以｜z－4－3i｜＝
＝
＝(其中tan φ＝)，
所以当sin (θ＋φ)＝－1时，｜z－4－3i｜max＝＝6.故选C.

展开更多......

收起↑