资源简介

章末综合提升
素养一　数学抽象
　　数学抽象是数学的基本思路，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中.
题型一　复数的概念
(1)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
(2)i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝(　　)
A.或 B.2或5
C. D.5
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)因为a＋＝a＋
＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，
所以a－2＝0，即a＝2.故选C.
(2)因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i
＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，
所以解得a＝－2.
所以z＝－2＋i，故｜z｜＝＝.
故选C.
素养二　数学运算
　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在复数的四则运算中.
题型二　复数的四则运算
(1)已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则z2＋＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
(2)复数＝(　　)
A.－i B.－1
C.－i D.－i
答案：(1)A　(2)A
解析：(1)因为z＝1＋i，
所以z2＋＝(1＋i)2＋＝2i＋＝1＋i.故选A.
(2)＝＝＝＝－i，故选A.
素养三　直观想象
　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在复数z、复平面上的点Z及向量之间的相互联系中.
题型三　复数的几何意义
(1)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝1＋i＋(2i)2，则复数z对应的点位于(　　)
学生用书 第81页
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A.1＋i B.－1＋i
C.－1－i D.－1±i
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)由已知得(1－i)z＝－3＋i，则z＝＝＝＝－2－i，
所以复数z对应的点为(－2，－1)，位于第三象限，故选C.
(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b).
根据题意可画图形如图所示.
因为｜z｜＝2，且与x轴正方向的夹角为120°，
所以a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－).
所以z＝－1＋i或－1－i.
(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
答案：C
解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
溯源：(湘教必修第二册P109习题3.2T6)根据下列条件，求z.
(1)z(1＋i)＝2；(2)z－1＋zi＝－4＋4i.
点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的运算，解题方法完全相同.
(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则＝(　　)
A.0 B.1
C. D.2
答案：C
解析：若z＝－1－i，则＝＝.故选C.
溯源：(湘教必修第二册P114习题3.3T4)已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i.(2)求各复数的模；
点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的模的计算，解题方法完全相同.
(2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　)
A.10i B.2i
C.10 D.2
答案：A
解析：由z＝5＋i ＝5－i，z＋＝10，则i＝10i.故选A.
(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A.－i B.i
C.0 D.1
答案：A
解析：因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A.
溯源：(湘教必修第二册P114练习T3)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，求－在复平面内对应的点位于第几象限.
点评：以上两道高考试题都是考查共轭复数的概念性质与复数运算的，与教材练习题基本一致，比教材练习题考查面更全面.
(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：A
解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A.
(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：C
解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C.
溯源：(湘教必修第二册P107例2)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1 000.
点评：以上两道高考题和教材例题考查的角度基本一致，都是简单的复数乘法运算.
单元检测卷(三)　复　数
(时间：120分钟　满分：150分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z＝为实数，则实数m＝(　　)
A.－ B.－
C.－2 D.－
答案：C
解析：z＝＝，因为z是实数，则－＝0，所以m＝－2.故选C.
2.设z＝，f(x)＝x2＋x＋1，则f(z)＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－i D.i
答案：C
解析：因为z＝＝＝＝＝－i，所以f(z)＝f(－i)＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i，故选C.
3.已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则复数z＝＝(　　)
A.－2＋i B.－i
C.i D.1
答案：C
解析：因为a＋i＝－2＋bi且a，b∈R，则a＝－2，b＝，所以z＝＝＝＝i，故选C.
4.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i，t∈R，则下列命题中一定正确的是(　　)
A.z的对应点Z在第一象限
B.z的对应点Z在第四象限
C.z不是纯虚数
D.z是虚数
答案：D
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝2t2＋5t－3＝2(t＋)2－≥－，b＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≥1＞0，则z的对应点Z可能在第一象限、第二象限或在虚轴上，z是虚数，有可能是纯虚数，故选D.
5.已知z是复数，为z的共轭复数.若命题p：｜z｜＝，命题q：｜z·－1｜＝1，则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由｜z｜＝可得z·＝2，所以｜z·－1｜＝1，由｜z·－1｜＝1，设｜z｜＝m(m≥0)，得｜m2－1｜＝1，所以m＝0或m＝，即｜z｜＝0或｜z｜＝，所以p是q成立的充分不必要条件，故选A.
6.若z＝(m＋1)＋(m－1)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，1) D.(－1，＋∞)
答案：C
解析：z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，因为对应的点位于第四象限，得解得－1＜m＜1.故选C.
7.设复数z满足(3＋2i)＝i2 023，则复数z＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：＝＝＝＝，所以z＝，故选A.
8.已知z1，z2均为复数，下列四个命题中为真命题的是(　　)
A.｜z1｜＝｜｜＝
B.若｜z2｜＝2，则z2的取值集合为{－2，2，－2i，2i}(i是虚数单位)
C.若＋＝0，则z1＝0或z2＝0
D.z1＋z2一定是实数
答案：D
解析：对A，例如取z1＝i，则≠1，故A错误；对B，｜z2｜＝2，取z2＝2(cos θ＋isin θ)，θ∈[0，2π)，故B错误；对C，例如取z1＝i，z2＝－1，满足条件，故C错误；对D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1＋z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝ac＋bd＋(bc－ad)i＋ac＋bd＋(ad－bc)i＝2ac＋2bd，所以z1＋z2是实数，故D正确.故选D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b∈R，(a－1)i－b＝3－2i，z＝(1＋i)a－b，则(　　)
A.z的虚部是2i
B.｜z｜＝2
C.＝－2i
D.z对应的点在第二象限
答案：BC
解析：由复数相等可得，解得，所以z＝(1＋i)a－b＝(1＋i)2＝2i，
z的虚部是2，所以A选项错，
｜z｜＝｜2i｜＝2，所以B选项对，
＝－2i，所以C选项对，
z对应的点在虚轴上，所以D选项错，故选BC.
10.已知z1与z2是共轭复数，且z1，z2是虚数，以下四个命题一定正确的是(　　)
A.＜｜z2｜2 B.z1·z2＝｜z2｜2
C.z1＋z2∈R D.∈R
答案：BC
解析：由题意，复数z1与z2是共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，a，b∈R且b≠0，
则＝a2－b2＋2abi，当a≠0时，由于虚数不能比较大小，所以A选项不一定正确，
又由z1·z2＝a2＋b2，｜z2｜2＝a2＋b2，
所以z1·z2＝｜z2｜2，所以B选项一定正确；
由z1＋z2＝2a∈R，所以C选项一定正确，
由＝＝＝＋i不一定是实数，所以D选项不一定正确，故选BC.
11.设x1，x2是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈C)的两根，下列命题正确的是(　　)
A.x1＋x2＝－a
B.若x1，x2∈R，则a，b∈R
C.a2－4b≥0
D.若a2－4b＜0，则x1，x2是共轭复数
答案：AB
解析：A选项，由根与系数关系知x1＋x2＝－a，对，
B选项，x1，x2∈R，又x1＋x2＝－a，x1·x2＝b，即a，b∈R，对，
C选项，仅当x1，x2∈R，才有Δ＝a2－4b≥0，而方程的根不一定为实数，错，
D选项，由于a∈C，而x1＝，x2＝，
仅当a∈R时x1，x2是共轭复数，错，故选AB.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)
12.设i为虚数单位，若复数(1－i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a是实数，则｜1－a＋i｜＝　　　　.
答案：
解析：设z＝(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai＋1＝(1＋a)＋(1－a)i，因为复数z的实部与虚部相等，
所以1＋a＝1－a，又a∈R，则a＝0，
所以｜1－a＋i｜＝｜1＋i｜＝＝.
13.已知i是虚数单位，则｜()2 022＋()2 022｜＝　　　　.
答案：
解析：原式＝
＝｜i4×252＋3＋i4×505＋2｜＝｜i3＋i2｜＝｜－i－1｜
＝｜－1－i｜＝.
14.设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝　　　　.
答案：4
解析：由＋＝知，(1＋i)＋(1＋2i)＝(1＋3i)，
即(5x＋2y－5)＋(5x＋4y－15)i＝0，
故，解得，故x＋y＝4.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)(1)在①z＋＝4，②z为纯虚数，③z为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2－5m＋6)i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若　　　　，求实数m的值；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分)
(2)在复数范围内解关于x的方程：x2＋2x＋2＝0.
解：(1)选①：因为＝(m2－3m＋2)－(m2－5m＋6)i，z＋＝4，
所以2(m2－3m＋2)＝4，即m2－3m＝0，解得m＝0或m＝3.
选②：因为z为纯虚数，
所以解得m＝1.
选③：因为z为实数，所以m2－5m＋6＝0，解得m＝2，m＝3.
(2)因为(x＋1)2＝－1＝i2，所以x1＝－1＋i，x2＝－1－i.
16.(本小题满分15分)已知z是复数，z＋2i和均为实数，且复数(z＋ai)2对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，所以z＋2i＝x＋(2＋y)i，
又z＋2i为实数，所以2＋y＝0，解得y＝－2，
所以z＝x－2i，所以＝＝＝＝(x＋1)＋(x－4)i，
又为实数，所以x－4＝0，解得x＝4，
所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据已知条件有，解得2＜a＜6，
所以实数a的取值范围是a∈(2，6).
17.(本小题满分15分)设z是虚数，且w＝z＋满足－1＜w＜2.
(1)求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u为纯虚数；
(3)求w－u2的最小值.
解：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，
则w＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i，
因为－1＜w＜2，所以w是实数，又b≠0，所以a2＋b2＝1，即｜z｜＝1，
所以w＝2a，因为－1＜w＝2a＜2，所以－＜a＜1，所以z的实部的取值范围是(－，1).
(2)证明：u＝＝＝＝－i，
因为a∈(－，1)，b≠0，所以u为纯虚数.
(3)w－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2[(a＋1)＋]－3，
因为a∈(－，1)，所以a＋1＞0，
故w－u2≥2×2－3＝4－3＝1，
当a＋1＝，即a＝0时，w－u2取得最小值1.
18.(本小题满分17分)已知θ为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数z＝cos θ＋isin θ，且z2＋z在复平面上对应的点在实轴上.
(1)求θ；
(2)设2z，zi，1＋z＋z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
解：因为z2＋z在复平面上对应的点在实轴上，
所以sin 2θ＋sin θ＝2sin θcos θ＋sin θ＝0，
θ∈(0，π)，所以cos θ＝－，故θ＝.
(2)由(1)知：sin θ＝，2z＝－1＋i，
所以zi＝i＝－－i，z2＝－－i＝－－i，
所以1＋z＋z2＝1－＋i－－i＝0.
在复平面上对应的点分别为A(－1，)，B(－，－)，C(0，0)，
所以AC＝2，BC＝1，·＝(－1，)·＝0，
所以，⊥，所以，S△ABC＝×2×1＝1.
19.(本小题满分17分)设复数z1，z2满足z1·z2＋2iz1－2iz2＋1＝0.
(1)若z1，z2满足－z1＝2i，求z1，z2；
(2)若｜z1｜＝，则是否存在常数k，使得等式｜z2－4i｜＝k恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)由－z1＝2i可得：z2＝－2i，代入已知方程得z1·(－2i)＋2iz1－2i(－2i)＋1＝0，
即｜z1｜2－2i－3＝0，
令z1＝a＋bi(a，b∈R)，所以a2＋b2－2i(a－bi)－3＝0，即(a2＋b2－2b－3)－2ai＝0，
所以，解得，
所以z1＝－i，z2＝－i或z1＝3i，z2＝－5i.
(2)由已知得z1＝，又｜z1｜＝，
所以｜｜＝，所以｜2iz2－1｜2＝3｜z2＋2i｜2，
所以(2iz2－1)(－2i－1)＝3(z2＋2i)(－2i)，
整理得(z2－4i)(＋4i)＝27，所以｜z2－4i｜2＝27，
即｜z2－4i｜＝3，所以存在常数k＝3，使得等式｜z2－4i｜＝k恒成立.(共51张PPT)
章末综合提升
　
第3章　复数
体系构建
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分层探究
素养一　数学抽象
　　数学抽象是数学的基本思路，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中.
典例
1
√
√
典例
2
√
√
题型三　复数的几何意义
(1)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝1＋i＋(2i)2，则复数z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
典例
3
√
√
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考教衔接
真题
1
√
溯源：(湘教必修第二册P109习题3.2T6)根据下列条件，求z.
(1)z(1＋i)＝2；(2)z－1＋zi＝－4＋4i.
点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的运算，解题方法完全相同.
真题
2
√
真题
3
√
真题
4
√
(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
真题
5
√
因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A.
(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝
A.－2 B.－1
C.1 D.2
真题
6
√
溯源：(湘教必修第二册P107例2)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1 000.
点评：以上两道高考题和教材例题考查的角度基本一致，都是简单的复数乘法运算.
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单元检测卷
√
√
√
4.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i，t∈R，则下列命题中一定正确的是
A.z的对应点Z在第一象限 B.z的对应点Z在第四象限
C.z不是纯虚数 D.z是虚数
√
√
6.若z＝(m＋1)＋(m－1)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，1) D.(－1，＋∞)
√
√
√
√
√
√
√
11.设x1，x2是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈C)的两根，下列命题正确的是
A.x1＋x2＝－a
B.若x1，x2∈R，则a，b∈R
C.a2－4b≥0
D.若a2－4b＜0，则x1，x2是共轭复数
√
√
12.设i为虚数单位，若复数(1－i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a是实数，则｜1－a＋i｜＝_______.
4
(2)在复数范围内解关于x的方程：x2＋2x＋2＝0.
解：因为(x＋1)2＝－1＝i2，所以x1＝－1＋i，x2＝－1－i.
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