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第9讲 牛顿运动定律瞬时模型
模型01.瞬时加速度的求解模型
模型构建 轻绳、轻杆、接触面、外力、滑动摩擦力：微小形变，弹力瞬时突变；撤去 / 剪断瞬间弹力直接变为 0。 轻弹簧、橡皮绳（两端连物体）：明显弹性形变，形变来不及变化，弹力瞬间不变；只有弹簧剪断、分离时弹力才突变为 0。
模型剖析 加速度的两种求解方法（合力的求解方法） 1．矢量合成法（适用2力作用） 先利用平行四边形定则求合力，再根据牛顿第二定律求出物体加速度。 2.正交分解法（适用多力作用） 若物体受到三个或三个以上的力作用，先用正交分解法求物体受到的合外力．再结合牛顿第二定律求加速度。 1.正交分解建立坐标系的两种思路： ①.分解力 通常以a方向为x轴正方向，建立坐标系，列二向式 ②.分解加速度 3.求解加速度的几种常见情况
【例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期末）（多选）如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=30°，下列判断正确的是（ ）
A．剪断d瞬间P的加速度大小为g B．剪断d瞬间P的加速度大小为
C．剪断e前c的拉力大小为 D．剪断e瞬间c的拉力大小为
【变式1-1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）如图甲、乙所示，细绳拴着一个质量为的小球，小球分别用固定在墙上的轻质铰链杆和轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角均为，轻杆和轻弹簧均水平。已知重力加速度为，，。下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙两种情境中，小球静止时，细绳的拉力大小均为
B．甲图所示的情境中，小球静止时，轻杆上的力的大小为
C．甲图所示的情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为
D．乙图所示的情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为
【变式1-2】（25-26高一下·湖南湘潭·期末）（多选）如图所示，A、B两物块由一根轻质弹簧连接，由细线悬挂于倾角为的固定光滑斜面顶端O静止不动，两物块质量，重力加速度为g。如果突然剪断细线，在细线剪断后的瞬间，则（ ）
A．A物块的加速度大小为0 B．A物块的加速度大小为2g
C．B物块的加速度大小为0 D．B物块的加速度大小为0.5g
模型02.瞬时性突变问题
模型构建 1. 弹力瞬间突变（形变极小，瞬间恢复原长） 轻绳、细线、轻铰链杆、接触面支持力、刚性杆 特点：剪断 / 撤去外力瞬间，弹力立刻变为 0 或瞬间改变大小。 2. 弹力瞬间不变（形变很大，瞬间来不及改变） 轻弹簧、橡皮绳（未松弛） 特点：瞬间形变量x不变，由，弹力保持原来平衡时大小不变。 特例：弹簧自身剪断、橡皮绳完全松弛 → 弹力突变为 0。
模型剖析 1.主动力与被动力的理解 2.求解瞬时加速度的一般思路 →→ → 3.模型举例 示例1 示例2
【例2】（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，三个木块A、B、C质量分别为m 、m、，木块A、C通过轻弹簧相连，B放置在C上面、C放置在木板D上面，整个系统处于静止状态，重力加速度为g ，突然水平抽出木板D的瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．A的加速度大小为 B．B的加速度为零
C．C的加速度大小为 D．B、C间的弹力大小为
【变式2-1】（25-26高一下·云南昭通·期末）如图所示，水平面上放置一个质量的小球，小球右端与固定于墙上的水平轻弹簧相连，左端与一条固定于天花板上的不可伸长的轻绳相连。已知轻绳与竖直方向夹角为45°，小球与水平面间的动摩擦因数。小球静止于水平面上，且对水平面的弹力恰好为零，取，则下列说法正确的是（ ）
A．若仅剪断弹簧左端，则剪断瞬间小球与地面间的弹力仍为0
B．若仅剪断弹簧左端，则剪断瞬间小球加速度大小为0
C．若仅剪断轻绳，则剪断瞬间小球受到的弹簧弹力为0
D．若仅剪断轻绳，则剪断瞬间小球加速度的大小
【变式2-2】如图所示，在一箱子内放有、两个物体，、之间用轻弹簧相连，整个系统用绳系于天花板上，处于静止状态，其中，，。在剪断绳子的瞬间，忽略空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．的加速度大小为 B．的加速度大小为
C．对C的压力大小为 D．对C的压力大小为
模型03.两类动力学基本问题
模型构建 核心桥梁：加速度 a 连接受力与运动；运动学公式描述运动。
模型剖析 1. 动力学的两类基本问题 ①.已知物体受力情况，分析运动情况。 ②.已知物体运动情况，分析受力情况。 两类基本问题的解决思路: 以加速度为“桥梁”，由运动学公式和牛顿第二定律求解，具体如下： 2.两类动力问题的解题步骤 3.多过程问题分析思路
【例3】（25-26高一下·北京石景山·期末）如图所示，质量的物体静止在光滑水平地面上，从时起，受到水平力作用，力与时间的关系如图乙所示，取向右为正方向，重力加速度。求：
(1)物体在前内运动的加速度大小；
(2)物体在前内运动的位移大小；
(3)在图丙中绘制出物体在内的图像，并将末的速度值标注在图像上。
【变式3-1】（25-26高一下·浙江台州·期末）如图所示，有一企鹅在倾角为的倾斜冰面上，先以加速度从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前滑行，最后退滑到出发点，完成一次游戏（企鹅在滑动过程中姿势保持不变）。已知企鹅肚皮与冰面间的动摩擦因数。求：
(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小；
(2)企鹅在冰面向前滑动的加速度大小；
(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。（结果可用根式表示）
【变式3-2】（25-26高二下·内蒙古·期末）如图所示，在倾角为37°足够长的斜面上有一个质量为1 kg的物体，物块与斜面之间的动摩擦因数为0.5，t＝0时物块在拉力F＝15 N的作用下由静止开始沿斜面向上运动，t＝2 s时撤去拉力F。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)上滑过程中，撤去外力前后，物块加速度的大小分别为多少？
(2)物块上滑的最大位移为多少？
(3)物块在斜面上运动的总时间是多少？
如图所示，一足够长的斜面倾角，斜面BC与水平面AB平滑连接，一质量的物块（可视为质点）静止于水平面上的M点，M点与B点之间的距离，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为，现给物块施加一水平向右的恒力，当物块运动至B点时撤去该力，不计空气阻力，物块经过B点时速度大小不变。求：（，，重力加速度）
(1)物块在恒力F作用下运动时加速度的大小；
(2)物块到达B点时的速度大小；
(3)物块过B点后经多长时间在斜面上滑行的距离最远？
【基础夯实】
（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）如图甲所示，物块的质量，初速度，在一水平向左的恒力作用下从点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻后恒力突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的图像如图乙所示，。下列说法中正确的是（ ）
A．内物块加速度大小为
B．在时刻恒力反向
C．恒力大小为
D．物块与水平面的动摩擦因数为
（2026·湖南株洲·三模）如图所示，倾角为θ的光滑斜面上固定一轻弹簧，轻弹簧下端连接一质量为m的小球，小球静止在斜面上，现对小球施加一水平拉力，此时小球仍处于静止状态且恰好与斜面没有作用力。已知重力加速度为g，斜面始终静止在水平地面上，弹簧在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．此时水平拉力的大小为
B．此时斜面受到水平地面的摩擦力大小为
C．若撤去水平拉力，则撤去拉力的瞬间，小球受到斜面的支持力大小为
D．若撤去水平拉力，则撤去拉力的瞬间，小球的加速度大小为
（25-26高二下·广西柳州·期中）（多选）如图所示，A球质量为B球质量的2倍，光滑固定斜面的倾角为θ，图甲中，A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻质杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度为g，则在突然撤去挡板后的瞬间有（　　）
A．图甲中A球的加速度为零
B．图甲中B球的加速度为2gsinθ
C．图乙中A球的加速度为gsinθ
D．图乙中轻杆对A球的弹力为零
（25-26高二上·湖南长沙·学业考试模拟）如图，劲度系数为的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为的物体接触未连接，弹簧水平且无形变。用水平力缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了，此时物体静止。撤去后，物体开始向左运动，运动的最大距离为物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为则（　　）
A．撤去后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．撤去后，物体刚运动时的加速度大小为
C．物体向左运动到弹簧原长位置时，加速度为零
D．物体向左运动到弹簧原长位置时，速度达到最大
（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，一个质量为的小球通过水平弹簧和细线悬挂保持静止，弹簧的劲度系数为，此时弹簧伸长了，细线与竖直方向成角，当细线剪断瞬间，下列说法正确的是（　　）
A．小球的加速度大小为，方向竖直向下
B．小球的加速度大小为，方向水平向左
C．小球的加速度大小为，方向沿原细线方向指向左下方
D．不能确定小球的加速度
（25-26高二上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，固定在水平面上一个光滑的半圆弧轨道，点为半圆弧的圆心，一根轻绳跨过半圆弧的点、等高，不计处摩擦，轻绳一端系在竖直杆上的点，另一端连接质量为的小球。现将另一个小球用光滑轻质挂钩挂在轻绳上的之间，已知整个装置处于静止状态时，，，重力加速度为，则（　　）
A．小球的质量为
B．半圆弧轨道对小球的支持力为
C．点缓慢向上移动微小距离，绳子拉力减小
D．静止时剪断处轻绳的瞬间，小球的加速度为
（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）将小球分别用细线和橡皮筋系住悬吊在天花板上的两点，如图所示，当小球静止不动时，与等长，且与天花板间的夹角均为。已知小球可视为质点，细线不可伸长，当地重力加速度为，据此可知（　　）
A．剪断细线的瞬间，橡皮筋的弹力将发生突变 B．剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为
C．剪断橡皮筋的瞬间，小球的加速度大小为 D．剪断橡皮筋的瞬间，小球的加速度大小为
（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示，质量分别为m、2m的两个小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳、固定，处于静止状态，水平，与竖直方向的夹角为60°，重力加速度大小为g。则（　　）
A．的拉力大小为2mg
B．剪断瞬间，小球乙的加速度为g
C．剪断瞬间，小球甲的加速度为3g
D．同时剪断和的瞬间，小球甲和乙的加速度都为g
（25-26高一上·浙江杭州·期末）小球 A、B 用不同的连接方式悬挂，系统处于静止。如图甲A与天花板用轻弹簧连接，A、B用细绳连接：如图乙，A与天花板用细绳连接，A、B用轻弹簧连接。mA=m，mB=2m重力加速度大小为 g，取竖直向下为正方向，则剪断甲、乙图中细绳瞬间，甲、乙图中A的加速度分别为（　　）
A．-g g B．-2g 3g C．-g 3g D．-2g g
（2026·河南漯河·模拟预测）（多选）如图所示，两个质量均为2kg的小球A和B之间用轻弹簧连接，然后用细绳悬挂起来，此时弹簧伸长了4cm，取g为，下列说法正确的是（　　）
A．细绳的拉力大小为20N
B．弹簧的劲度系数大小
C．剪断细绳的瞬间小球A的加速度为
D．剪断细绳的瞬间小球B的加速度为0
【培优拔高】
（25-26高一下·广东深圳·期末）暑期研学是中学生感受传统民俗魅力，体悟劳动艰辛与丰收喜悦的重要途径，如图所示为深圳中学高一暑期研学农家项目“打糍粑”的情景。某次“打糍粑”动作过程简化为木槌始终在竖直方向做直线运动，分析如下：某同学握持质量的木槌，槌头初始竖直保持静止，底端位于糍粑正上方处，随后该同学对木槌施加一竖直向上的恒力，施力持续时间，停止施力后木槌仅在重力作用下继续运动，当槌头下落至接触糍粑打击后木槌静止，已知重力加速度，求：
(1)停止施力时木槌的速度大小；
(2)木槌上升的最大高度；
(3)木槌打击糍粑的作用力大小。
（25-26高一下·浙江·阶段检测）图示为室内滑雪场设置的初级滑雪道。该雪道可简化为倾角，长度的固定倾斜雪道与水平停止区两部分，两部分间平滑连接，其中水平停止区又分为两段：前段为长度的普通雪面，后段为标配的高摩擦减速雪毯。已知滑雪者与倾斜雪道和水平普通雪面间的动摩擦因数分别为和，不计空气阻力，，。一滑雪者从倾斜雪道顶端由静止开始下滑，
(1)求滑雪者沿倾斜雪道下滑的加速度大小；
(2)求滑雪者在普通水平雪面上滑行的时间t；
(3)若要求在减速雪毯上的滑行距离不超过2m，则滑雪者与减速雪毯间的动摩擦因数的最小值。
（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）SpaceX太空探索技术公司的“星舰”火箭第一、二级成功分离，第一级“超级重型”火箭助推器成功着陆于火箭发射塔，第二级“星舰”飞船也按计划在发射约一小时后成功落入印度洋。如图所示，起飞后6分46秒，在4台中心发动机反推控制下，第一级火箭助推器以30m/s的速度进入发射塔架的中间，尾部离地高度米；经过10s后，第一级火箭助推器悬停于“筷子”机械臂之间并被其轻轻夹住。若将此过程看成匀变速直线运动，不计空气阻力，取。求：
(1)该过程中，第一级火箭助推器的加速度大小；
(2)该过程中，第一级火箭助推器悬停时尾部的离地高度；
(3)若第一级火箭助推器减速时质量为，则此时每台发动机对火箭的作用力大小；
（25-26高一下·浙江·期中）某主题公园的高空坠落体验项目，能让游客感受强烈的超重与失重效果。座舱被提升至距地面的高处后由静止开始自由下落，下落到距地面时制动系统启动，座舱开始做匀减速运动，到达地面时速度恰好为零。游客质量。重力加速度取，空气阻力不计。求：
(1)座舱开始制动时的速度大小；
(2)座舱匀减速运动的时间；
(3)匀减速阶段，游客对座舱的压力。
（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图甲，黄山风景区西海大峡谷网红小火车沿倾角的轨道上行，轨道全长880m。小火车车厢内部地板设计为水平台阶，乘客站在台阶上与小火车能保持相对静止，示意图如图乙所示。小火车搭载乘客由静止开始从站台出发，先匀加速上行，达到最大速度v=8m/s后匀速运动，然后匀减速到达峡谷顶端时速度恰好为零，匀加速与匀减速阶段的加速度大小均为a=0.4m/s2。已知小火车总质量（包含乘客）M=1800kg，运行中小火车受到的总阻力恒为f=2000 N，重力加速度g=10m/s2，，。求：
(1)小火车上行一趟的总时间为多少？
(2)匀加速阶段小火车牵引力大小F为多少？
(3)若某乘客质量m=60kg，则匀减速阶段该乘客受到台阶对他的支持力大小和静摩擦力大小和方向各为多少？
（25-26高二下·广东广州·期末）图甲、乙分别表示直升机水平向右直线飞行时的两种姿态。图中机身轴线与水平方向夹角分别为和。已知直升机质量为，运动过程中它所受阻力恒为重力的倍，方向与运动方向相反，旋翼产生的升力与机身轴线垂直，重力加速度为。
(1)画出图甲中直升机的受力示意图，并求其所受合力的大小；
(2)求乙图中直升机的加速度大小，并判断其做加速运动还是减速运动。
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第9讲 牛顿运动定律瞬时模型
模型01.瞬时加速度的求解模型
模型构建 轻绳、轻杆、接触面、外力、滑动摩擦力：微小形变，弹力瞬时突变；撤去 / 剪断瞬间弹力直接变为 0。 轻弹簧、橡皮绳（两端连物体）：明显弹性形变，形变来不及变化，弹力瞬间不变；只有弹簧剪断、分离时弹力才突变为 0。
模型剖析 加速度的两种求解方法（合力的求解方法） 1．矢量合成法（适用2力作用） 先利用平行四边形定则求合力，再根据牛顿第二定律求出物体加速度。 2.正交分解法（适用多力作用） 若物体受到三个或三个以上的力作用，先用正交分解法求物体受到的合外力．再结合牛顿第二定律求加速度。 1.正交分解建立坐标系的两种思路： ①.分解力 通常以a方向为x轴正方向，建立坐标系，列二向式 ②.分解加速度 3.求解加速度的几种常见情况
【例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期末）（多选）如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=30°，下列判断正确的是（ ）
A．剪断d瞬间P的加速度大小为g B．剪断d瞬间P的加速度大小为
C．剪断e前c的拉力大小为 D．剪断e瞬间c的拉力大小为
【答案】BD
【详解】ABC．剪断细线、前，小球、受力相同，都受到竖直向下的重力、沿弹簧或细线与竖直方向夹角为斜向右上方的拉力和水平向左的拉力，三力平衡，由平衡条件解得，，由于弹簧弹力不能突变，剪断瞬间，受到的合力与的拉力等大反向，故加速度大小为，剪断前的拉力大小为，故AC错误、B正确；
D．细线的拉力可以突变，剪断后瞬间，小球受的拉力和竖直向下的重力，小球将要做圆周运动，但此刻速度为零，故沿细线方向合力为零，则有，故D正确。
故选BD。
【变式1-1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）如图甲、乙所示，细绳拴着一个质量为的小球，小球分别用固定在墙上的轻质铰链杆和轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角均为，轻杆和轻弹簧均水平。已知重力加速度为，，。下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙两种情境中，小球静止时，细绳的拉力大小均为
B．甲图所示的情境中，小球静止时，轻杆上的力的大小为
C．甲图所示的情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为
D．乙图所示的情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为
【答案】AD
【详解】A．甲、乙两种情境中，小球静止时，轻杆对小球与轻弹簧对小球的作用力都是水平向右，如图所示
由平衡条件得细绳的拉力大小都为，故A正确；
B．甲图所示的情境中，小球静止时，轻杆上的力的大小，故B错误；
C．甲图所示情境中，细绳烧断瞬间，小球即将做圆周运动，所以小球的加速度大小为，故C错误；
D．乙图所示情境中，细绳烧断瞬间弹簧的弹力不变，则小球所受的合力与烧断前细绳拉力的大小相等、方向相反，则此瞬间小球的加速度大小为，故D正确。
故选AD。
【变式1-2】（25-26高一下·湖南湘潭·期末）（多选）如图所示，A、B两物块由一根轻质弹簧连接，由细线悬挂于倾角为的固定光滑斜面顶端O静止不动，两物块质量，重力加速度为g。如果突然剪断细线，在细线剪断后的瞬间，则（ ）
A．A物块的加速度大小为0 B．A物块的加速度大小为2g
C．B物块的加速度大小为0 D．B物块的加速度大小为0.5g
【答案】BC
【详解】AB．设，由题意得。系统原来静止时，先对沿斜面方向受力分析，平衡条件得：弹簧弹力
剪断细线瞬间，的合力
由牛顿第二定律得，故A错误，B正确；
CD．剪断细线瞬间，弹簧弹力不变，的受力与剪断前相同，合力仍为，因此，故C正确，D错误。
故选BC。
模型02.瞬时性突变问题
模型构建 1. 弹力瞬间突变（形变极小，瞬间恢复原长） 轻绳、细线、轻铰链杆、接触面支持力、刚性杆 特点：剪断 / 撤去外力瞬间，弹力立刻变为 0 或瞬间改变大小。 2. 弹力瞬间不变（形变很大，瞬间来不及改变） 轻弹簧、橡皮绳（未松弛） 特点：瞬间形变量x不变，由，弹力保持原来平衡时大小不变。 特例：弹簧自身剪断、橡皮绳完全松弛 → 弹力突变为 0。
模型剖析 1.主动力与被动力的理解 2.求解瞬时加速度的一般思路 →→ → 3.模型举例 示例1 示例2
【例2】（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，三个木块A、B、C质量分别为m 、m、，木块A、C通过轻弹簧相连，B放置在C上面、C放置在木板D上面，整个系统处于静止状态，重力加速度为g ，突然水平抽出木板D的瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．A的加速度大小为 B．B的加速度为零
C．C的加速度大小为 D．B、C间的弹力大小为
【答案】C
【详解】A．A原来受重力 和向上的弹簧弹力 ，系统处于平衡状态，合力为零，，抽出木板D瞬间，弹簧形变来不及改变，弹力大小保持不变，因此A加速度为 ，故A错误；
BD．若假设B、C一起加速，对B、C整体，总向下合力为
可得加速度 ，则与实际情况不符，因B最大加速度为 ，因此B、C会分离，B、C间弹力为 ，B只受重力，加速度为 ，故BD错误；
C．对C受力分析：向下的重力，向下的弹簧弹力为 ，总合力为，因此加速度 ，故C正确。
故选C。
【变式2-1】（25-26高一下·云南昭通·期末）如图所示，水平面上放置一个质量的小球，小球右端与固定于墙上的水平轻弹簧相连，左端与一条固定于天花板上的不可伸长的轻绳相连。已知轻绳与竖直方向夹角为45°，小球与水平面间的动摩擦因数。小球静止于水平面上，且对水平面的弹力恰好为零，取，则下列说法正确的是（ ）
A．若仅剪断弹簧左端，则剪断瞬间小球与地面间的弹力仍为0
B．若仅剪断弹簧左端，则剪断瞬间小球加速度大小为0
C．若仅剪断轻绳，则剪断瞬间小球受到的弹簧弹力为0
D．若仅剪断轻绳，则剪断瞬间小球加速度的大小
【答案】B
【详解】A．如图所示
未剪断细绳和弹簧前，对小球进行受力分析，设细绳拉力为，弹簧拉力为，根据平衡条件分别有，
联立代入数据解得
若仅剪断弹簧左端，弹簧向右的拉力瞬间消失，此时小球若向左摆动，其圆弧轨迹需进入水平面下方，受地面阻挡小球无法运动，细绳瞬间松弛，拉力变为零，小球在竖直方向上受力平衡，地面对小球的弹力大小等于重力大小，即，不为，故A错误；
B．由对A选项的分析可知，剪断弹簧左端瞬间，小球只受重力和地面的支持力，所受合外力为零，加速度大小为，故B正确；
C．若仅剪断轻绳，轻绳的拉力瞬间变为零，而弹簧的形变量在瞬间来不及发生改变，剪断瞬间小球受到的弹簧弹力不变，大小仍为，不为，故C错误；
D．由对C选项的分析可知，仅剪断轻绳瞬间，受力如下
小球在竖直方向上受力平衡，设地面对小球的支持力为，根据平衡条件有
在水平方向上，小球受到弹簧向右的拉力和地面向左的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有
联立代入数据解得
可见小球加速度大小不等于，故D错误。
故选B。
【变式2-2】如图所示，在一箱子内放有、两个物体，、之间用轻弹簧相连，整个系统用绳系于天花板上，处于静止状态，其中，，。在剪断绳子的瞬间，忽略空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．的加速度大小为 B．的加速度大小为
C．对C的压力大小为 D．对C的压力大小为
【答案】D
【详解】A．在剪断绳子的瞬间，弹簧的弹力不变，仍然等于A的重力，故A的合力仍然为零，故A的加速度大小为0，故A错误；
BC．假设物体B和C一起运动，根据牛顿第二定律有
解得
故假设成立，故B错误；
D．对C，根据牛顿第二定律有
解得，故C错误，D正确。
故选D。
模型03.两类动力学基本问题
模型构建 核心桥梁：加速度 a 连接受力与运动；运动学公式描述运动。
模型剖析 1. 动力学的两类基本问题 ①.已知物体受力情况，分析运动情况。 ②.已知物体运动情况，分析受力情况。 两类基本问题的解决思路: 以加速度为“桥梁”，由运动学公式和牛顿第二定律求解，具体如下： 2.两类动力问题的解题步骤 3.多过程问题分析思路
【例3】（25-26高一下·北京石景山·期末）如图所示，质量的物体静止在光滑水平地面上，从时起，受到水平力作用，力与时间的关系如图乙所示，取向右为正方向，重力加速度。求：
(1)物体在前内运动的加速度大小；
(2)物体在前内运动的位移大小；
(3)在图丙中绘制出物体在内的图像，并将末的速度值标注在图像上。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）内，物体合外力等于水平力，水平面光滑无摩擦力，根据牛顿第二定律
解得
（2）物体从静止开始做匀加速直线运动，由匀变速位移公式
（3）2s末速度
2~4s内加速度
4s末速度
【变式3-1】（25-26高一下·浙江台州·期末）如图所示，有一企鹅在倾角为的倾斜冰面上，先以加速度从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前滑行，最后退滑到出发点，完成一次游戏（企鹅在滑动过程中姿势保持不变）。已知企鹅肚皮与冰面间的动摩擦因数。求：
(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小；
(2)企鹅在冰面向前滑动的加速度大小；
(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。（结果可用根式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可得
解得
（2）企鹅在冰面向前滑动过程，由牛顿第二定律得
解得
（3）根据题意可得时，企鹅速度大小
向前滑动过程，由运动学公式得
从最高点向下滑行时，由牛顿第二定律得
解得
从最高点到出发点的总位移为
由运动学公式
解得
【变式3-2】（25-26高二下·内蒙古·期末）如图所示，在倾角为37°足够长的斜面上有一个质量为1 kg的物体，物块与斜面之间的动摩擦因数为0.5，t＝0时物块在拉力F＝15 N的作用下由静止开始沿斜面向上运动，t＝2 s时撤去拉力F。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)上滑过程中，撤去外力前后，物块加速度的大小分别为多少？
(2)物块上滑的最大位移为多少？
(3)物块在斜面上运动的总时间是多少？
【答案】(1)5m/s2，10m/s2
(2)15m
(3)
【详解】（1）撤去外力前根据牛顿第二定律得
解得
撤去外力后根据牛顿第二定律得
解得
（2）撤去外力前位移
此时物块速度为
接下来向上匀减速的位移为
物块上滑的最大位移为
（3）物块匀减速向上运动的时间为
物块速度减为0后下滑的加速度为
则下滑过程中有
解得
所以物块在斜面上运动的总时间为
如图所示，一足够长的斜面倾角，斜面BC与水平面AB平滑连接，一质量的物块（可视为质点）静止于水平面上的M点，M点与B点之间的距离，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为，现给物块施加一水平向右的恒力，当物块运动至B点时撤去该力，不计空气阻力，物块经过B点时速度大小不变。求：（，，重力加速度）
(1)物块在恒力F作用下运动时加速度的大小；
(2)物块到达B点时的速度大小；
(3)物块过B点后经多长时间在斜面上滑行的距离最远？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）物块从运动至，根据牛顿第二定律
水平方向，有
竖直方向，有
得
（2）物块从运动至，根据匀变速直线运动速度与位移关系式，有
得
（3）撤去恒力后，物块冲上斜面做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律
沿斜面方向，有
垂直斜面方向，有
得
当物块的速度减为时，物块在斜面上滑行距离最远，根据匀变速直线运动速度与时间关系式，有
得
【基础夯实】
（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）如图甲所示，物块的质量，初速度，在一水平向左的恒力作用下从点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻后恒力突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的图像如图乙所示，。下列说法中正确的是（ ）
A．内物块加速度大小为
B．在时刻恒力反向
C．恒力大小为
D．物块与水平面的动摩擦因数为
【答案】C
【详解】A．对内的图线进行分析，有运动学公式
解得加速度
初速度为
则这段位移的运动时间
对的图线进行分析，同理可得，
故A错误；
B．根据上述分析可知，在时恒力反向。故B错误；
CD．根据牛顿第二定律可知开始运动时恒力与摩擦力同向，即
恒力反向后与摩擦力反向，即
联立解得，，
故C正确，D错误。
故选C。
（2026·湖南株洲·三模）如图所示，倾角为θ的光滑斜面上固定一轻弹簧，轻弹簧下端连接一质量为m的小球，小球静止在斜面上，现对小球施加一水平拉力，此时小球仍处于静止状态且恰好与斜面没有作用力。已知重力加速度为g，斜面始终静止在水平地面上，弹簧在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．此时水平拉力的大小为
B．此时斜面受到水平地面的摩擦力大小为
C．若撤去水平拉力，则撤去拉力的瞬间，小球受到斜面的支持力大小为
D．若撤去水平拉力，则撤去拉力的瞬间，小球的加速度大小为
【答案】C
【详解】AB．根据题目条件，对小球，受力分析如图甲所示，小球受到重力、水平拉力和弹簧的弹力，根据平衡条件可知，水平拉力大小
弹簧的弹力大小
对小球、斜面和弹簧组成的整体，受力分析如图乙所示，整体受到重力、水平拉力、地面的支持力和摩擦力，根据平衡条件可知，斜面受到水平地面的摩擦力水平向左，大小为，AB错误；
C．若撤去水平拉力，则撤去拉力的瞬间，弹簧的弹力不变，对小球，受力分析如图丙所示，小球受到重力、斜面的支持力和弹簧的弹力，可知此时小球受到斜面的支持力大小为，C正确；
D．根据牛顿第二定律可知，撤去拉力的瞬间，小球所受的合力
解得小球的加速度，D错误。
故选C。
（25-26高二下·广西柳州·期中）（多选）如图所示，A球质量为B球质量的2倍，光滑固定斜面的倾角为θ，图甲中，A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻质杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度为g，则在突然撤去挡板后的瞬间有（　　）
A．图甲中A球的加速度为零
B．图甲中B球的加速度为2gsinθ
C．图乙中A球的加速度为gsinθ
D．图乙中轻杆对A球的弹力为零
【答案】ACD
【详解】AB．设B球质量为m，A球的质量为2m，撤去挡板前，对整体分析可知，挡板对B球的弹力大小为
对A球弹簧弹力大小为
因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间，图甲中A球所受的合力为零，加速度为零，B球所受合力为，根据牛顿第二定律可知加速度为
，故A正确，B错误；
CD．图乙中，撤去挡板的瞬间，AB两球整体的合力为，AB两球的加速度均为
则每个球的合力等于重力沿斜面向下的分力，轻杆的作用力为零，故CD正确。
故选ACD。
（25-26高二上·湖南长沙·学业考试模拟）如图，劲度系数为的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为的物体接触未连接，弹簧水平且无形变。用水平力缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了，此时物体静止。撤去后，物体开始向左运动，运动的最大距离为物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为则（　　）
A．撤去后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．撤去后，物体刚运动时的加速度大小为
C．物体向左运动到弹簧原长位置时，加速度为零
D．物体向左运动到弹簧原长位置时，速度达到最大
【答案】B
【详解】A．撤去后，物体水平方向上受到弹簧的弹力和滑动摩擦力，滑动摩擦力不变，而弹簧的弹力随着压缩量的减小而减小，弹力先大于滑动摩擦力，后小于滑动摩擦力，则物体向左先做加速运动后做减速运动，随着弹力的减小，合外力先减小后增大，则加速度先减小后增大，故物体先做变加速运动，再做变减速运动，最后物体离开弹簧后做匀减速运动，故A错误；
B．撤去后，根据牛顿第二定律得物体刚运动时的加速度大小为 ，故B正确；
C．物体向左运动到弹簧原长位置时，弹簧的弹力为零，由于受滑动摩擦力，所以加速度不为零，故C错误；
D．物体向左运动到弹力与滑动摩擦力平衡时，物体的速度最大，此时弹簧处于压缩状态，故D错误。
故选B。
（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，一个质量为的小球通过水平弹簧和细线悬挂保持静止，弹簧的劲度系数为，此时弹簧伸长了，细线与竖直方向成角，当细线剪断瞬间，下列说法正确的是（　　）
A．小球的加速度大小为，方向竖直向下
B．小球的加速度大小为，方向水平向左
C．小球的加速度大小为，方向沿原细线方向指向左下方
D．不能确定小球的加速度
【答案】C
【详解】小球静止时受力平衡，受三个力：竖直向下的重力、水平向左的弹簧弹力、沿细线向上的拉力，三力合力为零；
因此剪断细线后，弹簧弹力大小、方向都不变，重力也不变，细线拉力消失，此时小球的合力等于重力与弹簧弹力的合力；
合力大小为
由牛顿第二定律得加速度，方向沿原细线方向指向左下方。
故选C。
（25-26高二上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，固定在水平面上一个光滑的半圆弧轨道，点为半圆弧的圆心，一根轻绳跨过半圆弧的点、等高，不计处摩擦，轻绳一端系在竖直杆上的点，另一端连接质量为的小球。现将另一个小球用光滑轻质挂钩挂在轻绳上的之间，已知整个装置处于静止状态时，，，重力加速度为，则（　　）
A．小球的质量为
B．半圆弧轨道对小球的支持力为
C．点缓慢向上移动微小距离，绳子拉力减小
D．静止时剪断处轻绳的瞬间，小球的加速度为
【答案】D
【详解】AB．由于，则根据几何关系可得为等边三角形。分别对两个小球做受力分析，如图所示。
因为是活结，所以绳子的张力大小都相同，设为。对根据平衡条件可得，
对根据平衡条件可得
联立解得半圆弧轨道对小球的支持力为，，故AB错误；
C．绳子端向上移动一小段距离，根据受力分析可知球没有发生位移，绳长不会变化，角度不会发生变化，即绳子的张力也不会变化，故C错误；
D．剪断处细绳，拉力突变为零，小球所受合力为重力沿圆弧切线方向的分力，根据牛顿第二定律可得小球的加速度为，故D正确。
故选D。
（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）将小球分别用细线和橡皮筋系住悬吊在天花板上的两点，如图所示，当小球静止不动时，与等长，且与天花板间的夹角均为。已知小球可视为质点，细线不可伸长，当地重力加速度为，据此可知（　　）
A．剪断细线的瞬间，橡皮筋的弹力将发生突变 B．剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为
C．剪断橡皮筋的瞬间，小球的加速度大小为 D．剪断橡皮筋的瞬间，小球的加速度大小为
【答案】B
【详解】小球静止时受重力mg、细线拉力T、橡皮筋拉力F，由对称性得T=F，竖直方向合力为零，则有
解得
A．橡皮筋的形变不能在瞬间改变，因此剪断细线瞬间，橡皮筋的弹力不变，不会突变，故A错误；
B．剪断细线后，橡皮筋弹力不变，根据牛顿第二定律有
解得，故B正确；
CD．剪断橡皮筋瞬间，橡皮筋弹力消失，细线不可伸长，弹力会瞬间突变，小球将绕P点做圆周运动，瞬间速度为0，沿细线方向合力为零，加速度由重力垂直细线方向的分力产生。 则有
解得，故CD错误；
故选B。
（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示，质量分别为m、2m的两个小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳、固定，处于静止状态，水平，与竖直方向的夹角为60°，重力加速度大小为g。则（　　）
A．的拉力大小为2mg
B．剪断瞬间，小球乙的加速度为g
C．剪断瞬间，小球甲的加速度为3g
D．同时剪断和的瞬间，小球甲和乙的加速度都为g
【答案】C
【详解】A．对甲、乙整体受力分析可知，的拉力大小为，故A错误；
B．剪断瞬间，弹簧的形变恢复需要时间，故弹簧的弹力不发生突变，小球乙的加速度为零，故B错误；
C．剪断瞬间，轻绳的力可以发生突变，由运动状态考虑，小球甲的加速度应竖直向下，故轻绳的力突变为0，则小球甲受重力和弹簧向下的拉力作用，由牛顿第二定律
解得，故C正确；
D．同时剪断和的瞬间，弹簧的力不发生突变，小球乙的加速度为0，故D错误。
故选C。
（25-26高一上·浙江杭州·期末）小球 A、B 用不同的连接方式悬挂，系统处于静止。如图甲A与天花板用轻弹簧连接，A、B用细绳连接：如图乙，A与天花板用细绳连接，A、B用轻弹簧连接。mA=m，mB=2m重力加速度大小为 g，取竖直向下为正方向，则剪断甲、乙图中细绳瞬间，甲、乙图中A的加速度分别为（　　）
A．-g g B．-2g 3g C．-g 3g D．-2g g
【答案】B
【详解】分析甲图静止时，对A、B整体受力平衡，弹簧弹力向上，大小等于总重力
剪断AB间细绳瞬间，弹簧弹力不变，对A受力分析（取竖直向下为正方向）： A的重力向下（正），弹簧弹力向上（负），合力
由牛顿第二定律，得
分析乙图静止时，对B受力平衡，弹簧弹力向上，大小等于B的重力
根据作用力反作用力，弹簧对A的拉力向下，大小为。 剪断天花板与A间的细绳瞬间，弹簧弹力不变，细绳拉力消失，对A受力分析： A的重力向下，弹簧拉力向下，合力
由牛顿第二定律得
故选B。
（2026·河南漯河·模拟预测）（多选）如图所示，两个质量均为2kg的小球A和B之间用轻弹簧连接，然后用细绳悬挂起来，此时弹簧伸长了4cm，取g为，下列说法正确的是（　　）
A．细绳的拉力大小为20N
B．弹簧的劲度系数大小
C．剪断细绳的瞬间小球A的加速度为
D．剪断细绳的瞬间小球B的加速度为0
【答案】CD
【详解】AB．对小球B进行受力分析，由牛顿第二定律可知
解得
由胡克定律
解得
对小球A进行受力分析，由牛顿第二定律可知
解得，故AB错误；
CD．剪断细绳的瞬间，弹簧弹力不突变，对小球B进行受力分析，小球B受力不变，故小球B的加速度为0。对小球A进行受力分析，由牛顿第二定律可知
解得，故CD正确。
故选CD。
【培优拔高】
（25-26高一下·广东深圳·期末）暑期研学是中学生感受传统民俗魅力，体悟劳动艰辛与丰收喜悦的重要途径，如图所示为深圳中学高一暑期研学农家项目“打糍粑”的情景。某次“打糍粑”动作过程简化为木槌始终在竖直方向做直线运动，分析如下：某同学握持质量的木槌，槌头初始竖直保持静止，底端位于糍粑正上方处，随后该同学对木槌施加一竖直向上的恒力，施力持续时间，停止施力后木槌仅在重力作用下继续运动，当槌头下落至接触糍粑打击后木槌静止，已知重力加速度，求：
(1)停止施力时木槌的速度大小；
(2)木槌上升的最大高度；
(3)木槌打击糍粑的作用力大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）取竖直向上为正方向，施力阶段由牛顿第二定律得
解得==
木槌初速度为零，由速度公式得
（2）施力阶段木槌上升的高度为==
停止施力后，木槌仅受重力作用继续上升，由速度与位移关系得
解得==
所以木槌上升的最大高度为
（3）木槌从最高点下落至接触糍粑的距离为
由速度与位移关系得
解得
木槌与糍粑接触后速度在内减为零，平均加速度方向竖直向上，大小为==
由牛顿第三定律，糍粑对木槌的平均作用力大小也为。对木槌由牛顿第二定律得
解得
（25-26高一下·浙江·阶段检测）图示为室内滑雪场设置的初级滑雪道。该雪道可简化为倾角，长度的固定倾斜雪道与水平停止区两部分，两部分间平滑连接，其中水平停止区又分为两段：前段为长度的普通雪面，后段为标配的高摩擦减速雪毯。已知滑雪者与倾斜雪道和水平普通雪面间的动摩擦因数分别为和，不计空气阻力，，。一滑雪者从倾斜雪道顶端由静止开始下滑，
(1)求滑雪者沿倾斜雪道下滑的加速度大小；
(2)求滑雪者在普通水平雪面上滑行的时间t；
(3)若要求在减速雪毯上的滑行距离不超过2m，则滑雪者与减速雪毯间的动摩擦因数的最小值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据牛顿第二定律有
得滑雪者沿倾斜雪道下滑的加速度大小
（2）滑雪者滑到斜面底端的速度有
得
滑雪者在普通水平雪面滑行时的加速度大小
假设滑雪者在水平雪面一直减速到0，则减速时间
滑行距离
由
代入数据得（舍去）
可得滑雪者在普通水平雪面上滑行的时间为
（3）滑雪者在普通水平雪面滑行21m后，由
解得
滑雪者在减速雪毯上滑行时的加速度大小
滑雪者恰好滑行后速度减为0，由
得滑雪者与减速雪毯间的动摩擦因数的最小值
（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）SpaceX太空探索技术公司的“星舰”火箭第一、二级成功分离，第一级“超级重型”火箭助推器成功着陆于火箭发射塔，第二级“星舰”飞船也按计划在发射约一小时后成功落入印度洋。如图所示，起飞后6分46秒，在4台中心发动机反推控制下，第一级火箭助推器以30m/s的速度进入发射塔架的中间，尾部离地高度米；经过10s后，第一级火箭助推器悬停于“筷子”机械臂之间并被其轻轻夹住。若将此过程看成匀变速直线运动，不计空气阻力，取。求：
(1)该过程中，第一级火箭助推器的加速度大小；
(2)该过程中，第一级火箭助推器悬停时尾部的离地高度；
(3)若第一级火箭助推器减速时质量为，则此时每台发动机对火箭的作用力大小；
【答案】(1)
(2)100m
(3)
【详解】（1）由题意可知， 第一级火箭助推器以30m/s的速度进入发射塔架的中间后，经过10s速度减为0，则根据运动学公式有
解得第一级火箭助推器的加速度大小为
（2）由运动学公式可知，第一级火箭助推器匀减速过程下降的距离为
所以第一级火箭助推器悬停时尾部的离地高度为
（3）对第一级火箭助推器减速过程进行受力分析，则根据牛顿第二定律有
解得每台发动机对火箭的作用力大小为
（25-26高一下·浙江·期中）某主题公园的高空坠落体验项目，能让游客感受强烈的超重与失重效果。座舱被提升至距地面的高处后由静止开始自由下落，下落到距地面时制动系统启动，座舱开始做匀减速运动，到达地面时速度恰好为零。游客质量。重力加速度取，空气阻力不计。求：
(1)座舱开始制动时的速度大小；
(2)座舱匀减速运动的时间；
(3)匀减速阶段，游客对座舱的压力。
【答案】(1)
(2)
(3)，方向竖直向下
【详解】（1）自由下落高度
根据
解得
（2）平均速度
运动时间
（3）匀减速阶段加速度大小
根据牛顿定律
解得
根据牛顿第三定律
方向竖直向下。
（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图甲，黄山风景区西海大峡谷网红小火车沿倾角的轨道上行，轨道全长880m。小火车车厢内部地板设计为水平台阶，乘客站在台阶上与小火车能保持相对静止，示意图如图乙所示。小火车搭载乘客由静止开始从站台出发，先匀加速上行，达到最大速度v=8m/s后匀速运动，然后匀减速到达峡谷顶端时速度恰好为零，匀加速与匀减速阶段的加速度大小均为a=0.4m/s2。已知小火车总质量（包含乘客）M=1800kg，运行中小火车受到的总阻力恒为f=2000 N，重力加速度g=10m/s2，，。求：
(1)小火车上行一趟的总时间为多少？
(2)匀加速阶段小火车牵引力大小F为多少？
(3)若某乘客质量m=60kg，则匀减速阶段该乘客受到台阶对他的支持力大小和静摩擦力大小和方向各为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，方向竖直向上；，水平向右。
【详解】（1）匀加速阶段和匀减速阶段
解得
匀加速阶段和匀减速阶段
匀速阶段
解得
总时间
（2）以整体为研究对象，由牛顿第二定律可得
解得
（3）将a分解到水平和竖直方向，竖直方向
解得， 方向竖直向上。
水平方向
解得， 方向水平向右。
（25-26高二下·广东广州·期末）图甲、乙分别表示直升机水平向右直线飞行时的两种姿态。图中机身轴线与水平方向夹角分别为和。已知直升机质量为，运动过程中它所受阻力恒为重力的倍，方向与运动方向相反，旋翼产生的升力与机身轴线垂直，重力加速度为。
(1)画出图甲中直升机的受力示意图，并求其所受合力的大小；
(2)求乙图中直升机的加速度大小，并判断其做加速运动还是减速运动。
【答案】(1)受力示意图如图所示。
合力大小为
(2)，加速运动
【详解】（1）图甲中直升机的受力示意图如图所示。
旋翼产生的升力为，受到的阻力，设三个力的合力为
竖直方向受力平衡得
水平方向有
联立得
（2）乙图中直升机的受力示意图如图所示。
竖直方向受力平衡得
水平方向，根据牛顿第二定律得
联立得
由于
所以
直升机向右做加速运动。
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