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第10讲 牛顿运动定律的综合应用
模型01.等时圆模型
模型构建 从圆的最高点沿任意光滑弦下滑到圆周上任意一点，时间相等； 从圆周上任意光滑弦滑到圆最低点，时间也相等。 下滑总时间只和圆直径、重力加速度有关，与弦的倾角、长度无关。
模型剖析 主要用来解决物体在某些光滑斜面上，下滑时间长短问题。 属于推导、比较类问题，利用牛顿力学、运动学进行分析，通常解决v0=0的匀加速运动。 1.等高斜面 2.同底斜面 3.同顶端等时圆 4. 同底端等时圆 5.同双圆等时圆 6.同圆心斜面
【例1】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设上面圆的半径为R，下面圆的半径为r。轨道EF长度为
滑块沿EF下滑的加速度由受力分析可知
由公式
可得运动时间
轨道与竖直方向的夹角越小，时间越短，根据判断
故选B。
【变式1-1】如图所示，在竖直面内三根固定的光滑细杆，P、a、b、c位于同一圆周上，点d为圆周的最高点，c点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从P处释放（初速为0），用、、依次表示各滑环到达a、b、c所用的时间，则（　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以P点为最高点，取合适的竖直直径Pe作圆，如图虚线所示
三个滑环从P静止释放到达虚线圆上f、g、h的时间设为t，杆与竖直方向的夹角为α，虚线圆的直径为d。根据位移时间公式可得
解得
则知虚线圆为等时圆，即从P到f、b、g是等时的，比较图示位移Pa>Pf，Pct2>t3
故选B。
【变式1-2】如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　）
A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点
C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点
【答案】D
【详解】令半球形容器的半径为，滑板的倾角为，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有
根据位移公式有
解得
可知时间与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点。
故选D。
模型02.连接体的质量分配模型
模型构建 光滑水平面，轻绳 / 轻杆连接两物体 ，水平恒力 F 拉动整体； 整体加速度：
模型剖析 1.方法简介 质量分配是整体隔离法求内力的二级结论，方便快速解决内力大小。 2.适用条件： 受力环境相同： 3.分配法则 ①驱动力：驱使物体运动的力。 ②质量分配：某部分物体分到的驱动力大小，按照质量进行分配。 ③内力：远端力、驱动后者的力、不与外力接触的力。 1.单动力质量分配 注意：以上示例，若地面不光滑，可以考虑直接用整体隔离法（单个动力的质量分配不适用：受力环境不相同），或者用多力质量分配求解。
【例2】（多选）如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，静止放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略不计，两个物体的质量，。从开始，推力和拉力后分别作用于A、B上，、随时间的变化规律为，，下列说法正确的是（ ）
A．0~2s时间内A的加速度一直在减小 B．时，A、B两物体刚好分离
C．2s~4s内B的加速度一直在增大 D．时，A速度达到最大值
【答案】BC
【详解】AB．对A与B整体分析，应用牛顿第二定律有
解得共同加速度为
若AB之间的弹力为0，对A分析有
当时，解得
即在2s时A与B物体恰好分离，故A错误，B正确；
C．在2s~4s内，B物体的加速度为
可知加速度大小在增大，故C正确；
D．在2s后，A的加速度为
根据公式可知在后A的加速度反向，A才开始做减速运动，2s末A的速度不是最大值，故D错误。
故选BC。
【变式2-1】如图甲，A、B两个物块放置在光滑水平面上，A、B间接触但不粘合。时刻水平力、分别作用于A、B上，两作用力随时间的变化规律如图乙所示。已知A的质量为，B的质量为，则（　　）
A．时A、B分离 B．时A、B间的作用力大小为
C．时A的速度大小为 D．时B的速度大小为
【答案】D
【详解】A．设A、B物块间相互作用力为，根据牛顿第二定律有，
联立解得在未分离时，A、B物块整体加速度
代入A物块的方程有
当时，二者分离，解得，故A错误；
B．时，二者仍未分离，由解得
代入A物块的方程有解得，故B错误；
CD．时，二者一起运动，，
则初加速度，末加速度
因此平均加速度
有
时，二者已分离，
对A物块：，
对B物块：时，时
因此，
，故C错误，D正确；
故选D。
【变式2-2】质量为的物体A和质量为m的物体B相互接触放在水平面上，如图所示。若对物体A施加水平推力F，使两物体沿水平方向做匀加速直线运动。
(1)若水平面光滑，求物体A的加速度大小；
(2)若水平面光滑，求物体A对B的作用力大小；
(3)若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，求物体B的加速度大小；
(4)若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，求物体A对B的作用力大小；
(5)若A、B与地面的动摩擦因数均为，求A对B的作用力大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）如果水平面光滑，以AB组成的系统为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
（2）如果水平面光滑，以B为研究对象，根据牛顿第二定律，可得A对B的作用力为
（3）若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，以AB组成的系统为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
（4）若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，以AB组成的系统为研究对象，以B为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得物体A对B的作用力大小为
（5）若A、B与地面的动摩擦因数均为，以AB组成的系统为研究对象，根据牛顿第二定律有
以B为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得物体A对B的作用力大小为
模型03.临界问题——相对静止与滑动的临界（摩擦力的临界）
模型构建 光滑水平面，下板M、上物m，接触面动摩擦因数 两物体刚好不发生相对滑动（临界状态）： 接触面静摩擦力达到最大静摩擦： 二者加速度完全相等（速度始终相等，即将打滑瞬间） 原理：上层物块的加速度只能由接触面摩擦力提供，存在上限 系统加速度一旦超过，必然相对滑动。
模型剖析 相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值或为0. 示例1. 示例2
【例3】（多选）如图甲所示，长度可调节、质量始终为的长木板静止在光滑的水平地面上，长木板右端放置一个质量为的小物块（视为质点）。某时刻给长木板一个水平向右的初速度（未知），调节长木板的长度，小物块在长木板上的运动时间为，作出图像如图乙所示。已知小物块与长木板间的动摩擦因数，重力加速度大小取。下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．小物块刚好未滑离长木板时对应的
D．小物块刚好未滑离长木板时，长木板的长度为3m
【答案】BD
【详解】AB．小物块在长木板上滑动时，小物块做匀加速运动，加速度大小
长木板做匀减速运动，加速度大小
设经过时间t小物块滑离长木板，此过程中长木板位移
小物块位移
相对位移即板长
整理得
由图乙可知，图像纵轴截距为6，则，图像斜率绝对值
即
解得
则
由
解得，故A错误B正确；
C．小物块刚好未滑离长木板时，两者速度相等，经历时间
此时
即图中，故C错误；
D．小物块刚好未滑离长木板时，长木板的长度，故D正确。
故选BD。
【变式3-1】如图，滑块A、B分别放在静止于光滑水平地面上的木板C的两端，A、B与C间的动摩擦因数分别为、，A、B的质量分别为、，C的质量为。某时刻A、B开始相向滑动，初速度大小均为。A、B相遇时，A与C恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g取。求：
(1)开始时A、B、C的加速度大小；
(2)A、B相遇时，B的速度大小；
(3)C的长度。
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1）对滑块A，由牛顿第二定律，得
解得
对滑块B，由牛顿第二定律，得
解得
对木板C，由牛顿第二定律，得
解得
（2）A、B相遇时A与C恰好共速，设运动时间为，A向左做匀减速运动，C向左做匀加速运动，由匀变速直线运动速度与时间的关系，共速满足
解得
B向右做匀减速运动，速度大小为
（3）由匀变速直线运动位移与时间的关系，A的位移
B的位移
A、B相向运动，C的长度即为A、B位移大小之和，则
【变式3-2】图（a）为车站的安全检查装置，图（b）为该装置的简化示意图。质量的小物块轻放在水平传送带的端，经传送带加速后从端离开，最后从斜面顶端沿斜面下滑至底端处，到过程可认为速率不变。已知水平传送带的长度，传送带以的恒定速率沿逆时针方向转动，斜面的长度，倾角，小物块与传送带、斜面间的动摩擦因数分别为，，重力加速度取，，。求：
(1)物块运动到点时的速度大小；
(2)物块滑到斜面底端时的速度大小；
(3)若水平面放一质量的薄木板与点平滑连接，物块下滑后冲上薄木板时的速率不变，物块与薄木板上表面的动摩擦因数，薄木板下表面与地面的动摩擦因数，薄木板足够长。求物块最终与斜面底端D点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)0.75m
【详解】（1）物块刚放上传送带时，根据牛顿第二定律有
因为
解得
故物块到达B点时的速度为
（2）物块在CD运动过程有
因为
联立解得
（3）物块冲上薄木板后，对物块、薄木板分别有、
解得，
二者速度相等时有
联立解得，
则这段时间内物块位移
因为，可知共速后二者保持相对静止一起做匀减速直线运动直至停止，共速后整体的加速度大小
则共速后到停下整体运动的距离
故物块最终与斜面底端D点的距离为
模型04.临界问题——接触与分离模型
模型构建 两物体从接触变为分离瞬间，同时满足： 相互弹力 N=0（无挤压，即将分开）； 两者瞬时加速度 ，速度始终相等。 只要有一条不满足，就还保持接触挤压。
模型剖析 两物体接触与分离的临界条件：物体间内力FN＝0. 1.悬球分离 示例1 2.弹簧分离 分析思路： 1.根据接触内力为0的临界，列整体、隔离公式。 2.重点分析与弹簧连接的物体。 3.若涉及运动学，需要结合运动学公式，联立求解。 示例1 示例2 示例3 3.绳子断裂与松弛的临界 绳子断裂的临界条件：绳中张力FT等于所能承受的最大张力； 绳子松弛的临界条件：是FT＝0.
【例4】（多选）如图所示，水平地面上有一物块，其左侧斜面倾角为。一物块M在水平向右的推力（大小未知）作用下与物块保持相对静止一起向右加速运动。已知物块M的质量为，物块的质量为，所有接触面均光滑，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．地面对物块的支持力大小为
B．推力的大小为
C．物块M和一起运动的加速度大小为
D．物块M和之间的相互作用力大小为
【答案】BC
【详解】A．对物块和整体在竖直方向受力分析，地面对物块的支持力大小等于物块和的总重力，根据平衡条件有
解得，故A错误；
B．设物块和之间的相互作用力大小为，对物块在竖直方向受力分析，根据平衡条件有
解得
对物块在水平方向受力分析，设物块和一起运动的加速度大小为，根据牛顿第二定律有
解得
对物块和整体在水平方向受力分析，根据牛顿第二定律有
解得推力的大小为，故B正确；
C．由对B选项的分析可知，物块和一起运动的加速度大小为，故C正确；
D．由对B选项的分析可知，物块和之间的相互作用力大小为，故D错误。
故选BC。
【变式4-1】（多选）如图所示，水平地面上静置着两个紧密贴合、横截面均为梯形的物块M和N，两物块的斜面倾角为53°。现对物块M施加一个水平向右的推力F（未知），使M和N保持相对静止一起向右加速运动。已知物块M的质量为6m，物块N的质量为3m，所有接触面均光滑无摩擦，不计空气阻力，重力加速度为g，，，则下列说法正确的是（ ）
A．地面对物块N的支持力大小为3mg
B．推力F的大小为24mg
C．物块M和N一起运动的加速度大小为
D．物块M和N之间的相互作用力大小为8mg
【答案】BC
【详解】A．以整体为研究对象，竖直方向上由平衡条件得，A错误；
BCD．以整体为研究对象，水平方向上有
再以物块M为研究对象，其受力分析如图所示，竖直方向上有
水平方向上有
联立各式得，，，BC正确，D错误。
故选BC。
【变式4-2】如图所示，将一块足够长的轻质布料铺在两侧面光滑的固定斜面上，现将A、B同时轻放在图示位置。已知A、B的质量分别为和，与布料间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，斜面倾角为，。下列说法正确的是（ ）
A．若，则A相对布料静止 B．若，则B相对布料滑动
C．若，则A相对斜面上滑 D．若，则B相对斜面上滑
【答案】C
【详解】A、B与布料间的动摩擦因数均相同，B的质量大于A的质量，由f=μmgcosθ
可知B与布料的最大静摩擦力大于A与布料的最大静摩擦力，轻质布料质量忽略不计，故所受合力为0，所以B给布料施加的静摩擦力等于A的滑动摩擦力，即B和布料之间不能发生相对滑动；
当动摩擦因数为0.5时，mgsinθ=0.6mg＞fA2=μmgcosθ=0.4mg
A相对布料向下滑动，B和布料相对静止沿斜面向下滑动；
当动摩擦因数为0.8时，
假设A和B与布料都相对静止，此时对B和布料整体
对A物体
解得
而A物体向上滑动的最大加速度为
说明此时A与布料发生相对滑动，且A物体相对斜面向上滑动，B与布料相对静止沿斜面向下滑动。故选C。
在倾角为的斜面体上用轻质细绳系一小球，在水平拉力F的作用下，斜面体从静止开始向左加速运动。该过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动中随着拉力的增大地面对斜面体的摩擦力一定增大
B．与静止时相比，斜面对小球弹力可能不变
C．与静止时相比，绳子拉力一定增大
D．当斜面体的加速度时，小球对斜面体无压力作用
【答案】C
【详解】A．由整体法受力分析，斜面体受到地面支持力保持不变，摩擦力保持不变，故A错误；
BC．如图所示：
小球静止时受到重力、绳子拉力、斜面弹力三个力作用，由平衡条件得绳子拉力
斜面对小球弹力
当斜面体向左加速运动时，在小球没离开斜面之前，水平方向有
竖直方向有
解得，
则，，故B错误、C正确；
D．当小球刚好离开斜面时，
解得
当斜面体加速度时，小球对斜面体无压力作用，故D错误。
故选C。
【基础夯实】
如图所示，水平地面上一车厢内固定有倾角为的光滑斜面，一根平行斜面的轻绳一端固定在斜面顶端，另一端连接质量为m的小球置于斜面上。已知重力加速度为g，不计空气阻力，当整个装置一起水平向左做匀加速直线运动时，下列说法正确的是（　　）
A．小球一定不可能受2个力的作用
B．小球一定受3个力的作用
C．当装置水平向左的加速度大小为2g时，轻绳的拉力大小为
D．当装置水平向左的加速度大小为2g时，小球受3个力的作用
【答案】C
【详解】ABD．若支持力恰好为零，小球受到重力和绳子拉力，小球向左加速，小球受力分析如下图
根据牛顿第二定律，在竖直方向上有
水平方向上有
可解得此时，
根据计算可知当时，小球只受到重力和绳的拉力；若，小球受到重力、绳的拉力和斜面的弹力，故ABD错误；
C．当时，小球将飘离斜面，此时有，故C正确。
故选C。
（2026·安徽·模拟预测）如图，细线的一端系一质量为的小球，另一端固定在倾角为的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。若斜面体以加速度水平向右做匀加速直线运动，系统稳定时，细线的拉力大小不可能为（重力加速度为）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若物体未离开斜面，则物体受到重力、支持力和绳子拉力三个力，将加速度沿绳子和垂直于绳子分解，由牛顿第二定律再列方程可解得
当物体刚好离开斜面时，物体只受重力和绳子拉力作用，加速度满足
绳子拉力
当加速度时，物体离开斜面，此时，故只有C不可能。
故选C。
（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，两个质量相等的物块、用一个轻质弹簧连接，放置在倾角为的固定光滑斜面上，在平行于斜面的推力作用下以加速度沿斜面向上做匀加速运动。某时刻撤去推力，则撤去推力的瞬间物块、的加速度和分别为（　　）
A．、
B． 、
C．、
D．、
【答案】C
【详解】在撤去推力之前设弹簧的弹力为，取沿斜面向上为正方向，对物块A有
撤去推力的瞬间，由于弹簧的弹力不会瞬间改变，所以物块A的受力没变，加速度就不变，则
对物块B则有
所以
故选C。
（2022·海南海口·模拟预测）（多选）如图所示，质量、倾角为的斜面体静止在光滑的水平面上，一质量的物块静止在斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数。现用水平向右的恒力F推斜面体，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，且、。下列说法中正确的是（ ）
A．当时，物块受到两个力作用
B．当时，物块所受到的摩擦力沿斜面向上
C．当时，物块将沿斜面向上滑动
D．不论F的大小是多大，物块总是能和斜面体保持相对静止
【答案】AC
【详解】A．设物块与斜面体保持相对静止，两者的共同加速度为
取沿斜面向上为正方向，设摩擦力为，由牛顿第二定律得
解得
物块只受重力和支持力两个力，故A正确；
B．若物块与斜面体保持相对静止，共同加速度为
取沿斜面向上为正方向，由牛顿第二定律得
故摩擦力沿斜面向下。垂直斜面方向由牛顿第二定律得
又，静摩擦力未达到最大值，故B错误；
CD．设物块与斜面体相对静止时的共同加速度为
当物块有沿斜面向上的运动趋势时，相对静止的条件为
整理得
对应的恒力应满足
当时，物块不能与斜面体保持相对静止，且相对斜面体沿斜面向上滑动；同时说明并非任意大小的都能使物块相对静止，故C正确，D错误。
故选AC。
（25-26高一上·吉林长春·期末）如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN是它在竖直方向上的直径。两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上，MP>QN。将两个完全相同的小滑块a、b分别从M、Q点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN轨道运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．b滑块受到的弹力较小
B．a滑块的加速度较小
C．a滑块与b滑块的运动的时间相等
D．a滑块受到的合力较小
【答案】C
【详解】A．设滑轨与竖直直径的夹角为，圆环的半径为R，对滑块受力分析可得，滑块所受的支持力大小为
MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，所以滑块受到的弹力较小，故A错误；
B．根据牛顿第二定律可得滑块的加速度大小为
MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，所以滑块的加速度较大，故B错误；
C．滑块沿滑轨运动的位移为，根据位移时间关系有，可得滑块沿滑轨运动的时间为，所以两滑块运动时间相等，故C正确；
D．所受合外力大小为
MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，滑块受到的合力较小，故D错误；
故选C。
（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．； B．；
C．； D．；
【答案】B
【详解】由几何关系可求1轨道长
根据牛顿第二定律可得加速度大小为
根据位移—时间关系可得
联立解得
同理可求得在轨道2上时间；
由几何关系可求得轨道3长
根据牛顿第二定律可得加速度大小为
根据位移——时间关系可得
联立解得
同理可求得在轨道4上时间。
故ACD均错，B正确。
故选B。
（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，且A、B、C和D四点在同一竖直圆上，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（　　）
A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．25∶16∶9 D．3∶4∶5
【答案】A
【详解】设，，，a、b、d三小球在各杆上滑行的时间分别为、、，加速度分别为、、，由几何知识得，BC的倾角为，DC的倾角为，如图所示
a球为自由下落过程，，由
得
根据牛顿第二定律得沿BC下滑的小球，加速度为
由位移时间公式得
得
沿DC下滑的小球，加速度为
由位移时间公式得
得
所以
故选A。
【培优拔高】
（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　）
A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间
C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间
【答案】C
【详解】如图所示
过点画一竖直线，以此作为斜边，再分别以作为直角边，构造直角三角形，可见过D的直角三角形的斜边最短，对应的等时圆半径最小，则沿轨道运动的时间最短，故选C。
（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，深色且易掉色的物块A和浅色木板B叠放在水平地面上，A置于B的右端，二者均静止、木板B上表面水平。时刻，木板B由于受到撞击瞬间获得水平向右的初速度。已知物块A和木板B的质量相等，A、B间的动摩擦因数，B和地面间的动摩擦因数，取最大静摩擦力等于各滑动摩擦力，重力加速度取。在接下来的运动中，A没有从B上掉落，A可看作质点，最终物块A和木板B均静止，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块A和木板B同时停止运动
B．木板B的长度至少为
C．整个过程，物块A和木板B的相对位移大小为
D．物块A在木板B上留下的划痕长度为
【答案】D
【详解】A．物块A与木板B的质量相等，设为，共速前，对物块A由牛顿第二定律可得
得
对木板B由牛顿第二定律可得
得
设经过时间，物块A与木板B速度相同，则有
解得，
若此后物块与木板一起运动，整体受到的地面摩擦力为，整体法有
要使物块A获得大小为的向左加速度，所需摩擦力为
所以两者不能保持相对静止，物块A将相对木板B向右滑动。
此时物块A受到的摩擦力向左，因此
木板B受到物块向右的摩擦力和地面向左的摩擦力，因此
所以木板B从1 m/s 减速到零所需时间为
此时，物块A速度为
所以物块A和木板B不同时停止运动，故A错误；
B．从最初时刻到共速时刻，物块A相对木板B向左滑动，滑动距离为
共速后物块A将相对木板B向右滑动，所以木板B的长度至少为3m。故B错误；
C．共速后物块A将相对木板B向右滑动，到木板B减速到零时，滑动距离为
木板B停止后，物块对木板的摩擦力为0.1mg，小于地面最大静摩擦力0.4mg，所以木板可以保持静止。此时，物块A继续以速度向右运动，滑动距离为
整个过程，物块A和木板B的相对位移大小
故C错误；
D．物块先相对木板向左滑动 3 m，随后反向向右滑动，经过的是已经划过的区域，没有形成新的划痕区间。因此划痕的总长度为3m。故D正确。
故选D。
（25-26高一下·贵州·期末）（多选）如图所示，质量的木板静止在粗糙的水平地面上，现有一质量的小滑块（可视为质点）以的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板一起向右滑动。已知滑块与木板间的动摩擦因数，木板和地面间的动摩擦因数，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．小滑块与木板共速前，木板的加速度为
B．要使滑块不滑离木板，木板的最小长度为
C．若木板的长度，滑块从木板右端滑出时滑块的速度大小为
D．若木板足够长，木板运动的总时间为
【答案】BCD
【详解】A．小滑块受向左的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律
可得加速度大小，滑块做匀减速直线运动。
对木板受力分析：向右的摩擦力为，向左的地面摩擦力为，根据牛顿第二定律
代入数据可得：，故A错误；
B．设经过时间两者共速，共速时满足
代入数据得，共速速度
滑块位移
木板位移
相对位移，即滑块不滑离的最小长度为，故B正确。
C．，滑块在共速前滑出，相对位移满足
解得（，舍去，因为共速后无相对滑动）。
滑块滑出时速度，故C正确。
D．共速后，两者一起减速，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律
可得加速度
减速到0的时间：
木板总运动时间，故D正确。
故选 BCD。
（25-26高一下·云南红河·期末）如图所示，一辆货车的货箱内叠放着两物块A和B，B放在A上。由于前方突然有车变道，该货车在平直道路上紧急刹车。已知两物块质量、，A与货箱底板间的动摩擦因数，B与A间的动摩擦因数，货车刹车时做加速度大小的匀减速直线运动。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B与货箱的侧面无接触，取。在货车紧急刹车过程中，下列说法正确的是（　　）
A．A、B与货车的加速度相同
B．A的加速度大小等于
C．A对B的摩擦力大小等于300 N
D．若刹车前车速足够快，B与A间一定发生相对滑动
【答案】C
【详解】A．刹车时货车加速度大小为，若物块、整体随货车一起减速，所需摩擦力为
而货箱底板对的最大静摩擦力为
由于，说明必然与底板发生相对滑动，整体无法与货车保持相同加速度，故A错误；
B．由于相对底板滑动，底板对的滑动摩擦力大小为，假设、之间不发生相对滑动，整体的加速度大小为
此时所需摩擦力由对其的静摩擦力提供，大小为
而与之间的最大静摩擦力为
因为，所以假设成立，和保持相对静止，因此的加速度大小等于，故B错误；
C．由上述分析可知，相对保持静止，对的摩擦力为静摩擦力，其大小等于，故C正确；
D．由于与的加速度仅取决于底板与之间的滑动摩擦力，与刹车前的车速快慢无关，且通过计算可知两者不发生相对滑动，故D错误。
故选C。
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第10讲 牛顿运动定律的综合应用
模型01.等时圆模型
模型构建 从圆的最高点沿任意光滑弦下滑到圆周上任意一点，时间相等； 从圆周上任意光滑弦滑到圆最低点，时间也相等。 下滑总时间只和圆直径、重力加速度有关，与弦的倾角、长度无关。
模型剖析 主要用来解决物体在某些光滑斜面上，下滑时间长短问题。 属于推导、比较类问题，利用牛顿力学、运动学进行分析，通常解决v0=0的匀加速运动。 1.等高斜面 2.同底斜面 3.同顶端等时圆 4. 同底端等时圆 5.同双圆等时圆 6.同圆心斜面
【例1】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】如图所示，在竖直面内三根固定的光滑细杆，P、a、b、c位于同一圆周上，点d为圆周的最高点，c点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从P处释放（初速为0），用、、依次表示各滑环到达a、b、c所用的时间，则（　 ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　）
A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点
C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点
模型02.连接体的质量分配模型
模型构建 光滑水平面，轻绳 / 轻杆连接两物体 ，水平恒力 F 拉动整体； 整体加速度：
模型剖析 1.方法简介 质量分配是整体隔离法求内力的二级结论，方便快速解决内力大小。 2.适用条件： 受力环境相同： 3.分配法则 ①驱动力：驱使物体运动的力。 ②质量分配：某部分物体分到的驱动力大小，按照质量进行分配。 ③内力：远端力、驱动后者的力、不与外力接触的力。 1.单动力质量分配 注意：以上示例，若地面不光滑，可以考虑直接用整体隔离法（单个动力的质量分配不适用：受力环境不相同），或者用多力质量分配求解。
【例2】（多选）如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，静止放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略不计，两个物体的质量，。从开始，推力和拉力后分别作用于A、B上，、随时间的变化规律为，，下列说法正确的是（ ）
A．0~2s时间内A的加速度一直在减小 B．时，A、B两物体刚好分离
C．2s~4s内B的加速度一直在增大 D．时，A速度达到最大值
【变式2-1】如图甲，A、B两个物块放置在光滑水平面上，A、B间接触但不粘合。时刻水平力、分别作用于A、B上，两作用力随时间的变化规律如图乙所示。已知A的质量为，B的质量为，则（　　）
A．时A、B分离 B．时A、B间的作用力大小为
C．时A的速度大小为 D．时B的速度大小为
【变式2-2】质量为的物体A和质量为m的物体B相互接触放在水平面上，如图所示。若对物体A施加水平推力F，使两物体沿水平方向做匀加速直线运动。
(1)若水平面光滑，求物体A的加速度大小；
(2)若水平面光滑，求物体A对B的作用力大小；
(3)若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，求物体B的加速度大小；
(4)若物体A与地面无摩擦，B与地面的动摩擦因数为，求物体A对B的作用力大小；
(5)若A、B与地面的动摩擦因数均为，求A对B的作用力大小。
模型03.临界问题——相对静止与滑动的临界（摩擦力的临界）
模型构建 光滑水平面，下板M、上物m，接触面动摩擦因数 两物体刚好不发生相对滑动（临界状态）： 接触面静摩擦力达到最大静摩擦： 二者加速度完全相等（速度始终相等，即将打滑瞬间） 原理：上层物块的加速度只能由接触面摩擦力提供，存在上限 系统加速度一旦超过，必然相对滑动。
模型剖析 相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值或为0. 示例1. 示例2
【例3】（多选）如图甲所示，长度可调节、质量始终为的长木板静止在光滑的水平地面上，长木板右端放置一个质量为的小物块（视为质点）。某时刻给长木板一个水平向右的初速度（未知），调节长木板的长度，小物块在长木板上的运动时间为，作出图像如图乙所示。已知小物块与长木板间的动摩擦因数，重力加速度大小取。下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．小物块刚好未滑离长木板时对应的
D．小物块刚好未滑离长木板时，长木板的长度为3m
【变式3-1】如图，滑块A、B分别放在静止于光滑水平地面上的木板C的两端，A、B与C间的动摩擦因数分别为、，A、B的质量分别为、，C的质量为。某时刻A、B开始相向滑动，初速度大小均为。A、B相遇时，A与C恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g取。求：
(1)开始时A、B、C的加速度大小；
(2)A、B相遇时，B的速度大小；
(3)C的长度。
【变式3-2】图（a）为车站的安全检查装置，图（b）为该装置的简化示意图。质量的小物块轻放在水平传送带的端，经传送带加速后从端离开，最后从斜面顶端沿斜面下滑至底端处，到过程可认为速率不变。已知水平传送带的长度，传送带以的恒定速率沿逆时针方向转动，斜面的长度，倾角，小物块与传送带、斜面间的动摩擦因数分别为，，重力加速度取，，。求：
(1)物块运动到点时的速度大小；
(2)物块滑到斜面底端时的速度大小；
(3)若水平面放一质量的薄木板与点平滑连接，物块下滑后冲上薄木板时的速率不变，物块与薄木板上表面的动摩擦因数，薄木板下表面与地面的动摩擦因数，薄木板足够长。求物块最终与斜面底端D点的距离。
模型04.临界问题——接触与分离模型
模型构建 两物体从接触变为分离瞬间，同时满足： 相互弹力 N=0（无挤压，即将分开）； 两者瞬时加速度 ，速度始终相等。 只要有一条不满足，就还保持接触挤压。
模型剖析 两物体接触与分离的临界条件：物体间内力FN＝0. 1.悬球分离 示例1 2.弹簧分离 分析思路： 1.根据接触内力为0的临界，列整体、隔离公式。 2.重点分析与弹簧连接的物体。 3.若涉及运动学，需要结合运动学公式，联立求解。 示例1 示例2 示例3 3.绳子断裂与松弛的临界 绳子断裂的临界条件：绳中张力FT等于所能承受的最大张力； 绳子松弛的临界条件：是FT＝0.
【例4】（多选）如图所示，水平地面上有一物块，其左侧斜面倾角为。一物块M在水平向右的推力（大小未知）作用下与物块保持相对静止一起向右加速运动。已知物块M的质量为，物块的质量为，所有接触面均光滑，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．地面对物块的支持力大小为
B．推力的大小为
C．物块M和一起运动的加速度大小为
D．物块M和之间的相互作用力大小为
【变式4-1】（多选）如图所示，水平地面上静置着两个紧密贴合、横截面均为梯形的物块M和N，两物块的斜面倾角为53°。现对物块M施加一个水平向右的推力F（未知），使M和N保持相对静止一起向右加速运动。已知物块M的质量为6m，物块N的质量为3m，所有接触面均光滑无摩擦，不计空气阻力，重力加速度为g，，，则下列说法正确的是（ ）
A．地面对物块N的支持力大小为3mg
B．推力F的大小为24mg
C．物块M和N一起运动的加速度大小为
D．物块M和N之间的相互作用力大小为8mg
【变式4-2】如图所示，将一块足够长的轻质布料铺在两侧面光滑的固定斜面上，现将A、B同时轻放在图示位置。已知A、B的质量分别为和，与布料间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，斜面倾角为，。下列说法正确的是（ ）
A．若，则A相对布料静止 B．若，则B相对布料滑动
C．若，则A相对斜面上滑 D．若，则B相对斜面上滑
在倾角为的斜面体上用轻质细绳系一小球，在水平拉力F的作用下，斜面体从静止开始向左加速运动。该过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动中随着拉力的增大地面对斜面体的摩擦力一定增大
B．与静止时相比，斜面对小球弹力可能不变
C．与静止时相比，绳子拉力一定增大
D．当斜面体的加速度时，小球对斜面体无压力作用
【基础夯实】
如图所示，水平地面上一车厢内固定有倾角为的光滑斜面，一根平行斜面的轻绳一端固定在斜面顶端，另一端连接质量为m的小球置于斜面上。已知重力加速度为g，不计空气阻力，当整个装置一起水平向左做匀加速直线运动时，下列说法正确的是（　　）
A．小球一定不可能受2个力的作用
B．小球一定受3个力的作用
C．当装置水平向左的加速度大小为2g时，轻绳的拉力大小为
D．当装置水平向左的加速度大小为2g时，小球受3个力的作用
（2026·安徽·模拟预测）如图，细线的一端系一质量为的小球，另一端固定在倾角为的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。若斜面体以加速度水平向右做匀加速直线运动，系统稳定时，细线的拉力大小不可能为（重力加速度为）（　　）
A． B．
C． D．
（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，两个质量相等的物块、用一个轻质弹簧连接，放置在倾角为的固定光滑斜面上，在平行于斜面的推力作用下以加速度沿斜面向上做匀加速运动。某时刻撤去推力，则撤去推力的瞬间物块、的加速度和分别为（　　）
A．、
B． 、
C．、
D．、
（2022·海南海口·模拟预测）（多选）如图所示，质量、倾角为的斜面体静止在光滑的水平面上，一质量的物块静止在斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数。现用水平向右的恒力F推斜面体，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，且、。下列说法中正确的是（ ）
A．当时，物块受到两个力作用
B．当时，物块所受到的摩擦力沿斜面向上
C．当时，物块将沿斜面向上滑动
D．不论F的大小是多大，物块总是能和斜面体保持相对静止
（25-26高一上·吉林长春·期末）如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN是它在竖直方向上的直径。两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上，MP>QN。将两个完全相同的小滑块a、b分别从M、Q点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN轨道运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．b滑块受到的弹力较小
B．a滑块的加速度较小
C．a滑块与b滑块的运动的时间相等
D．a滑块受到的合力较小
（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．； B．；
C．； D．；
（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，且A、B、C和D四点在同一竖直圆上，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（　　）
A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．25∶16∶9 D．3∶4∶5
【培优拔高】
（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　）
A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间
C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间
（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，深色且易掉色的物块A和浅色木板B叠放在水平地面上，A置于B的右端，二者均静止、木板B上表面水平。时刻，木板B由于受到撞击瞬间获得水平向右的初速度。已知物块A和木板B的质量相等，A、B间的动摩擦因数，B和地面间的动摩擦因数，取最大静摩擦力等于各滑动摩擦力，重力加速度取。在接下来的运动中，A没有从B上掉落，A可看作质点，最终物块A和木板B均静止，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块A和木板B同时停止运动
B．木板B的长度至少为
C．整个过程，物块A和木板B的相对位移大小为
D．物块A在木板B上留下的划痕长度为
（25-26高一下·贵州·期末）（多选）如图所示，质量的木板静止在粗糙的水平地面上，现有一质量的小滑块（可视为质点）以的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板一起向右滑动。已知滑块与木板间的动摩擦因数，木板和地面间的动摩擦因数，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．小滑块与木板共速前，木板的加速度为
B．要使滑块不滑离木板，木板的最小长度为
C．若木板的长度，滑块从木板右端滑出时滑块的速度大小为
D．若木板足够长，木板运动的总时间为
（25-26高一下·云南红河·期末）如图所示，一辆货车的货箱内叠放着两物块A和B，B放在A上。由于前方突然有车变道，该货车在平直道路上紧急刹车。已知两物块质量、，A与货箱底板间的动摩擦因数，B与A间的动摩擦因数，货车刹车时做加速度大小的匀减速直线运动。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B与货箱的侧面无接触，取。在货车紧急刹车过程中，下列说法正确的是（　　）
A．A、B与货车的加速度相同
B．A的加速度大小等于
C．A对B的摩擦力大小等于300 N
D．若刹车前车速足够快，B与A间一定发生相对滑动
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