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4.2　平　面
　
第4章　立体几何初步
学习目标
1.借助长方体直观认识平面，了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法，掌握平面的三个基本事实和推论，发展数学抽象和直观想象素养.
2.会用符号、文字、图形三种语言表示点、直线、平面之间的位置关系，提升逻辑推理核心素养.
新知形成
知识点一　平面的画法与表示
知识梳理
名称 平面描述 平面的画法 平面的表示方法
平面 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念，是由现实生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念 通常用平行四边形代表平面 (1)用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α，平面β，平面γ；
(2)用表示平面的平行四边形的顶点字母表示，如平面ABCD；
(3)用表示平面的平行四边形的对角顶点字母表示，如平面AC，平面BD
备注 平面具有无限延展性，无大小、厚薄、宽窄之分 画一个平面通常画平行四边形即可，但是平行四边形不是平面 平面的写法要注意掌握准确
点拨　(1)几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，因此是无法度量的.
(2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们的面积可以 度量.
(3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的.
知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言 图示
点A在直线l上 _______
点B不在直线l上 B l
点A在平面α内 ________
点B不在平面α内 ________
直线a在平面α内 _______
直线b不在平面α内 _______
A∈l
A∈α
B α
a α
b α
文字语言 符号语言 图示
直线a，b相交于点P a∩b＝P
直线AB和平面α交于点C AB∩α＝C
平面α与平面β交于直线CD ______________
α∩β＝CD
点拨　(1)用集合语言描述位置关系时，“∈， ，∩”等符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言.例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直 线l”.
(2)几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别的符号与集合符号略有差异.例如，不用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而是简记为a∩b＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
(3)点线面的形象理解：点动成线，线动成面，面动成体.
知识点三　平面的基本事实及推论
名称 图形 文字语言 符号语言
基本
事实1 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α，B∈α，则AB α
基本
事实2 过________________的三点，有且只有一个平面 点A，B，C不共线，A，B，C∈平面α α是唯一的
基本
事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有______________________ 若P∈α，且P∈β，则α∩β＝l，且P∈l
两个点
不在一条直线上
一条过该点的公共直线
名称 图形 文字语言 符号语言
推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 点A a A和a确定一个平面α
推论2 两条相交直线确定一个平面 直线a∩直线b＝A 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 两条平行直线确定一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
点拨　(1)基本事实1的作用
①判定直线在平面内的依据.当我们要证明直线在平面内时，只需在直线上取两点，证明这两点在平面内即可；
②判定点在平面内的依据.
(2)基本事实2及三个推论的作用
①确定平面及判定两个平面重合的依据；
②证明点、线共面的依据.
(3)基本事实3的作用
①判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；
②判定点在直线上的依据.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面. (　　)
(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些. (　　)
(3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A. (　　)
(4)平面ABCD的面积为100 m2. (　　)
(5)过三点A，B，C有且只有一个平面. (　　)
自主检测
×
×
√
×
×
2.(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面能记为
A.平面MN
B.平面NQP
C.平面α
D.平面MNPQ
√
√
√
MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.故选BCD.
3.下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是
A.因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B.因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C.因为A∈a，a α，所以A∈α D.因为A a，a α，所以A α
√
对于A，直线AB在平面α内，应为AB α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a α，a β，故B错误；对于C，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；对于D，A a，a α，有可能A∈α，故D错误.故选C.
4.若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在_______________.
α与β的交线l上
因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.所以点A，B在α与β的交线l上.
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合作探究
探究点一　三种语言的相互转化
用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
解：符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
典例
1
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图②.
三种语言的转换方法
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言叙述，再用符号语言表示.
2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
规律方法
对点练1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB；
解：P∈AB.
(2)点C与直线AB；
解：C AB.
(3)点M与平面AC；
解：M∈平面AC.
(4)点A1与平面AC；
解：A1 平面AC.
(5)直线AB与直线BC；
解：AB∩BC＝B.
(6)直线AB与平面AC；
解：AB 平面AC.
(7)平面A1B与平面AC.
解：平面A1B∩平面AC＝AB.
探究点二　点、线共面问题
如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：方法一(纳入平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
典例
2
方法二(辅助平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
所以平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点、线共面的常用方法
1.纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
2.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
规律方法
典例
3
延长D1F，CE，设D1F与CE相交于点P.
又因为D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共直线上的一点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点.
(2)E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M，求证：D，A，M三点共线.
证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以D，A，M三点共线.
1.证明三点共线的方法
规律方法
2.证明三线共点的步骤
规律方法
则P∈EH，又EH 平面ABD，
所以P∈平面ABD；
同理P∈平面BCD，
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD，
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
对点练4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD
中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：直线AB，CD，
l共点(相交于一点).
证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以直线AB，CD必定交于一点.
如图，设AB∩CD＝M.
又AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β.
又α∩β＝l，所以M∈l，
即直线AB，CD，l共点.
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随堂评价
1.如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为
A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α D.A∈a，a∈α，B∈α
√
A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
2.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M_______l.
∈
因为a∩b＝M，所以M∈a，M∈b，
因为a α，b β，所以M∈α，M∈β，
因为α∩β＝l，所以M∈l.
3.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面.
1或4
当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，体对角线A1C与平面BDFE交于H点，求证：P，H，Q三点共线.
证明：因为EF 平面BDFE，P∈EF，
所以P∈平面BDFE.
同理，Q∈平面BDFE，
所以P，H，Q∈平面BDFE.
连接A1C1，AC，又由正方体的性质知A1C1∥AC，
所以直线A1C1，AC确定平面ACC1A1，
又P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，
所以P，H，Q∈平面ACC1A1，
所以P，H，Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上，
故P，H，Q三点共线.
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课时分层
1.(多选)下列叙述中，正确的是
A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B.若A∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α，β重合
D.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
√
√
对于选项A：直线l上有两点在平面内，则直线在平面内，故选项A正确；对于选项B：若A∈α，B∈β，则A，B不一定是两个面的公共点，故选项B错误；对于选项C：若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C三点共线时，则α，β不一定重合，故选项C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故选项D正确.故选AD.
2.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
√
两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.若四点不共面，则任意三点不共线.
3.在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是
√
选项A，如图1，点E，F，H确定一个平面，该平面与底
面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H不共
面，选项A错误；
选项B，如图2，连接底面对角线AC，则由中位线定理可知，
FG∥AC，又易知EH∥AC，则EH∥FG，故E，F，G，H共
面，选项B正确；
选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点
G不在该平面内，故E，F，G，H不共面，选项C错误；
选项D，如图3，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六
边形，也即是点E，G，H确定的平面与正方体正面的交线
为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面，
选项D错误.
4.给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；②四边形一定是平面图形；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面.
其中正确的序号是
A.① B.①④
C.②③ D.③④
√
因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；四边形可能为空间四边形，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确.
√
6.给出下列说法：
①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；
②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两相交且不过同一点的四条直线共面.
其中正确说法的序号是_______.
④
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∩A1B1＝A1，
AD∩AA1＝A，
但是A1B1，AD不在同一平面内，故①错误.
又AA1，A1B1，A1D1交于点A1，但AA1，A1B1，A1D1不共面，
故②错误.
如果两个平面有三个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为a∩b＝D，设a，b共面于α，
因为B∈b，F∈a，E∈a，故B∈α，F∈α，E∈α，
故BF α即c α，
而A∈c，故A∈α，故EA α即d α即a，b，c，d共面，故④正确.
7.给出下列说法：
①一条直线和一点确定一个平面；
②两条直线确定一个平面；
③三角形和梯形一定是平面图形；
④三条互相平行的直线一定共面.
其中正确的是_______.(写出所有正确说法的序号)
③
一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，所以②不正确；三条互相平行的直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱，所以④不正确.
8.如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__________.
①②③
在④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，
因此，P，Q，R，S四点不共面.
可证①中四边形PQRS为梯形；
可证③中四边形PQRS为平行四边形；
②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形.
9.(10分)已知△ABC的三条边AB，BC，AC所在的直线与平面α分别交于P，Q，R.求证：P，Q，R三点共线.
证明：如图，因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
因为P∈α，所以P是平面α和平面ABC的公共点.
同理Q，R也为平面α与平面ABC的公共点，所以P，Q，R在平面α与平面ABC的交线上，即P，Q，R三点共线.
10.(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，
N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点，
(1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以
及与平面BB1C1C的交线；
解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，
设MP∩A1B1＝R，则RN是平面α与平面A1B1C1D1的交线，
设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平
面BB1C1C的交线.
11.(5分)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
√
√
√
在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的
交线上，即C1，M，O三点共线，
所以A，B，C均正确，D不正确.故选ABC.
(2)直线FH，EG，AC共点.
证明：易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC＝M，
则M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，
所以直线FH，EG，AC共点.
返回4.2　平　面
学习目标 1.借助长方体直观认识平面，了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法，掌握平面的三个基本事实和推论，发展数学抽象和直观想象素养. 2.会用符号、文字、图形三种语言表示点、直线、平面之间的位置关系，提升逻辑推理核心素养.
知识点一　平面的画法与表示
名称 平面描述 平面的画法 平面的表示方法
平面 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念，是由现实生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念 通常用平行四边形代表平面 (1)用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α，平面β，平面γ； (2)用表示平面的平行四边形的顶点字母表示，如平面ABCD； (3)用表示平面的平行四边形的对角顶点字母表示，如平面AC，平面BD
备注 平面具有无限延展性，无大小、厚薄、宽窄之分 画一个平面通常画平行四边形即可，但是平行四边形不是平面 平面的写法要注意掌握准确
[点拨]　(1)几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，因此是无法度量的.
(2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们的面积可以度量.
(3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的.
知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言 图示
点A在直线l上 A∈l
点B不在直线l上 B l
点A在平面α内 A∈α
点B不在平面α内 B α
直线a在平面α内 a α
直线b不在平面α内 b α
直线a，b相交于点P a∩b＝P
直线AB和平面α交于点C AB∩α＝C
平面α与平面β交于直线CD α∩β＝CD
[点拨]　(1)用集合语言描述位置关系时，“∈， ，∩”等符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言.例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”.
(2)几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别的符号与集合符号略有差异.例如，不用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而是简记为a∩b＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
(3)点线面的形象理解：点动成线，线动成面，面动成体.
知识点三　平面的基本事实及推论
名称 图形 文字语言 符号语言
基本 事实1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α，B∈α，则AB α
基本 事实2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 点A，B，C不共线，A，B，C∈平面α α是唯一的
学生用书 第93页
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若P∈α，且P∈β，则α∩β＝l，且P∈l
推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 点A a A和a确定一个平面α
推论2 两条相交直线确定一个平面 直线a∩直线b＝A 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 两条平行直线确定一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
[点拨]　(1)基本事实1的作用
①判定直线在平面内的依据.当我们要证明直线在平面内时，只需在直线上取两点，证明这两点在平面内即可；
②判定点在平面内的依据.
(2)基本事实2及三个推论的作用
①确定平面及判定两个平面重合的依据；
②证明点、线共面的依据.
(3)基本事实3的作用
①判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；
②判定点在直线上的依据.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.(　　)
(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些.(　　)
(3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　)
(4)平面ABCD的面积为100 m2.(　　)
(5)过三点A，B，C有且只有一个平面.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面能记为(　　)
A.平面MN B.平面NQP
C.平面α D.平面MNPQ
答案：BCD
解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.故选BCD.
3.下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　)
A.因为A∈α，B∈α，所以AB∈α
B.因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C.因为A∈a，a α，所以A∈α
D.因为A a，a α，所以A α
答案：C
解析：对于A，直线AB在平面α内，应为AB α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a α，a β，故B错误；对于C，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；对于D，A a，a α，有可能A∈α，故D错误.故选C.
4.若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在　　　　　　　　.
答案：α与β的交线l上
解析：因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.所以点A，B在α与β的交线l上.
探究点一　三种语言的相互转化
用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
(2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图②.
学生用书 第94页
三种语言的转换方法
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言叙述，再用符号语言表示.
2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
对点练1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)P∈AB.
(2)C AB.
(3)M∈平面AC.
(4)A1 平面AC.
(5)AB∩BC＝B.
(6)AB 平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝AB.
探究点二　点、线共面问题
如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：方法一(纳入平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二(辅助平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
所以平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点、线共面的常用方法
1.纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
2.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
对点练2.如图，已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，G在PD上，且PG＝PD.证明：A，E，F，G四点共面.
证明：如图，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，则有CM＝CD，
在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N，连接CN，
则由PG＝PD，可知PG＝GN＝ND.
因为点F为PC的中点，
所以在△PCN中有FG∥CN，即GM1∥CN，
所以在△GM1D中有CM1＝CD，
所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M，
所以A，E，F，G四点共面.
探究点三　点共线、线共点问题
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
(1)E，F分别为AB，AA1的中点，求证：CE，D1F，DA三线交于一点；
(2)E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M，求证：D，A，M三点共线.
证明：(1)连接EF，D1C，A1B.
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF∥A1B，且EF＝A1B.
又因为A1B∥D1C，A1B＝D1C，
所以EF∥D1C，EF＝D1C，
所以E，F，D1，C四点共面.
延长D1F，CE，设D1F与CE相交于点P.
又因为D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共直线上的一点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点.
(2)因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以D，A，M三点共线.
1.证明三点共线的方法
2.证明三线共点的步骤
学生用书 第95页
对点练3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且＝＝1，＝＝2，求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明：连接EF，GH，AC，
因为＝＝1，＝＝2，
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG.
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，
不妨设EH∩FG＝P.
则P∈EH，又EH 平面ABD，
所以P∈平面ABD；
同理P∈平面BCD，
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
对点练4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：直线AB，CD，l共点(相交于一点).
证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以直线AB，CD必定交于一点.
如图，设AB∩CD＝M.
又AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β.
又α∩β＝l，所以M∈l，
即直线AB，CD，l共点.
1.如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(　　)
A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α D.A∈a，a∈α，B∈α
答案：B
解析：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
2.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M　　　　l.
答案：∈
解析：因为a∩b＝M，所以M∈a，M∈b，
因为a α，b β，所以M∈α，M∈β，
因为α∩β＝l，所以M∈l.
3.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定　　　　个平面.
答案：1或4
解析：当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，体对角线A1C与平面BDFE交于H点，求证：P，H，Q三点共线.
证明：因为EF 平面BDFE，P∈EF，
所以P∈平面BDFE.
同理，Q∈平面BDFE，
所以P，H，Q∈平面BDFE.
连接A1C1，AC，又由正方体的性质知A1C1∥AC，
所以直线A1C1，AC确定平面ACC1A1，
又P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，
所以P，H，Q∈平面ACC1A1，
所以P，H，Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上，
故P，H，Q三点共线.
课时分层评价25　平　面
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.(多选)下列叙述中，正确的是(　　)
A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B.若A∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α，β重合
D.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
答案：AD
解析：对于选项A：直线l上有两点在平面内，则直线在平面内，故选项A正确；对于选项B：若A∈α，B∈β，则A，B不一定是两个面的公共点，故选项B错误；对于选项C：若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C三点共线时，则α，β不一定重合，故选项C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故选项D正确.故选AD.
2.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
答案：B
解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.若四点不共面，则任意三点不共线.
3.在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是(　　)
答案：B
解析：选项A，如图1，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H不共面，选项A错误；
选项B，如图2，连接底面对角线AC，则由中位线定理可知，FG∥AC，又易知EH∥AC，则EH∥FG，故E，F，G，H共面，选项B正确；
选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E，F，G，H不共面，选项C错误；
选项D，如图3，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点E，G，H确定的平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面，选项D错误.
4.给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；②四边形一定是平面图形；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面.
其中正确的序号是(　　)
A.① B.①④
C.②③ D.③④
答案：A
解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；四边形可能为空间四边形，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确.
5.在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
答案：C
解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.
如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形.
6.给出下列说法：
①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；
②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两相交且不过同一点的四条直线共面.
其中正确说法的序号是　　　　.
答案：④
解析：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1∩A1B1＝A1，AD∩AA1＝A，
但是A1B1，AD不在同一平面内，故①错误.
又AA1，A1B1，A1D1交于点A1，但AA1，A1B1，A1D1不共面，故②错误.
如果两个平面有三个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为a∩b＝D，设a，b共面于α，
因为B∈b，F∈a，E∈a，故B∈α，F∈α，E∈α，故BF α即c α，
而A∈c，故A∈α，故EA α即d α即a，b，c，d共面，故④正确.
7.给出下列说法：
①一条直线和一点确定一个平面；
②两条直线确定一个平面；
③三角形和梯形一定是平面图形；
④三条互相平行的直线一定共面.
其中正确的是　　　　.(写出所有正确说法的序号)
答案：③
解析：一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，所以②不正确；三条互相平行的直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱，所以④不正确.
8.如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是　　　　.
答案：①②③
解析：在④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，
因此，P，Q，R，S四点不共面.
可证①中四边形PQRS为梯形；
可证③中四边形PQRS为平行四边形；
②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形.
9.(10分)已知△ABC的三条边AB，BC，AC所在的直线与平面α分别交于P，Q，R.求证：P，Q，R三点共线.
证明：如图，因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
因为P∈α，所以P是平面α和平面ABC的公共点.
同理Q，R也为平面α与平面ABC的公共点，所以P，Q，R在平面α与平面ABC的交线上，即P，Q，R三点共线.
10.(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点，
(1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线；
(2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1)设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，
设MP∩A1B1＝R，则RN是平面α与平面A1B1C1D1的交线，
设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.
(2)正方体棱长为8 cm，B1R＝BM＝4 cm，
A1N＝4 cm，B1Q＝A1N，
所以B1Q＝×4＝ cm.
在△PB1Q中，B1P＝4 cm，B1Q＝ cm，
所以PQ＝＝ cm.
11.(5分)(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
答案：ABC
解析：在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
所以A，B，C均正确，D不正确.故选ABC.
12.(15分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点.
证明：(1)如图，连接EF，GH，
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又CG＝BC，CH＝DC，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面.
(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC＝M，
则M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，
所以直线FH，EG，AC共点.

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