资源简介

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
学习目标 1.通过对实物模型的观察，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，培养直观想象核心素养. 2.能运用圆柱、圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单组合体的结构并进行有关计算，培养数学运算核心素养.
知识点一　圆柱、圆锥、圆台、球
分类 定义 图形及表示
圆柱 将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆柱，边AB所在直线叫作圆柱的轴，由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面，由边CD绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面，边CD叫作圆柱的一条母线 我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为圆柱AB
圆锥 将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆锥. 直角边AB所在直线叫作圆锥的轴，点A叫作圆锥的顶点，由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，斜边AC叫作圆锥的一条母线 我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为圆锥AB
学生用书 第86页
圆台 将直角梯形ABCD(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆台. 腰BC所在直线叫作圆台的轴，由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面，由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的侧面，腰AD叫作圆台的一条母线 我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为圆台BC
球 将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作球，记作球O.半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面)，把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径 球常用球心字母进行表示，如图可表示为球O
[点拨]　
1.(1)圆柱与棱柱统称为柱体.
(2)圆锥与棱锥统称为锥体.
(3)圆台与棱台统称为台体.
(4)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到的圆锥底面与截面之间的几何体.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系
知识点二　简单组合体
1.定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体.
2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
[点拨]　常见的几类组合体
(1)多面体与多面体的组合体；
(2)多面体与旋转体的组合体；
(3)旋转体与旋转体的组合体.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(　　)
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.(　　)
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(　　)
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(多选)下列几何体中是旋转体的有(　　)
答案：ABC
解析：由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.
3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(　　)
A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台
答案：D
解析：圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是圆面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.
4.给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点的连线；
③球体是旋转体；
④球常用表示球心的字母表示.
其中说法正确的是　　　　.
答案：①③④
解析：根据球的定义直接判断①正确；②错误；③球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得的几何体，即球体是旋转体，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.
学生用书 第87页
探究点一　旋转体的结构特征
(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.圆柱的母线一定不相交
B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.用一个平面截一个球，得到的截面一定是圆面
B.过球心的截面圆面积最大
C.用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形
D.过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形
答案：(1)AB　(2)ABD
解析：(1)A正确，圆柱的母线相互平行；B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母线延长相交于一点；D不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
(2)根据球的定义知，A正确；B正确，因为球的直径必过球心；C不正确，因为球的任何截面都是圆面；D正确.
1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
对点练1.下列命题中正确的是(　　)
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，半圆的直径叫作球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②③ B.②③④
C.②③⑤ D.①④⑤
答案：C
解析：任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
探究点二　简单组合体的结构特征
如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)
答案：A
解析：该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A.
简单组合体的识别
1.明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数；
2.会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
对点练2.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.
解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；
当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是圆柱；
当AD＜BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.
学生用书 第88页
探究点三　旋转体的有关计算
一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，示意图如图所示，过点A作AM⊥BC交BC于点M.由已知可得上底面圆的半径O1A＝2 cm，下底面圆的半径OB＝5 cm，又母线长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝＝
＝3(cm).
(2)如图所示，延长BA，CD，OO1交于一点.设交点为S，则截得此圆台的圆锥的母线长为SB.由△SAO1∽△SBO可得＝，即＝，解得SB＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
1.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果.
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面；
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可.
对点练3.有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，
由题意知BC＝ 3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC＝＝＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm.
1.(多选)下列关于球体的说法正确的是(　　)
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
答案：BC
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
2.一圆锥底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为　　　　.
答案：
解析：如图，由题意，设圆锥底面圆的圆心为O，则圆锥的高AO＝＝4.
设B为底面圆上任意一点，连接OB，球的球心为D，半径为r，过点D作DC⊥AB，交AB于点C，则OD＝DC＝r，AD＝4－r.
因为△ACD∽△AOB，所以＝，即＝，解得r＝.
3.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1
尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是　　　　寸”.(注：1尺＝10寸)
答案：26
解析：因为AB⊥CD，AD＝BD，
故C，D，O三点共线，
因为AB＝10寸，
所以AD＝5寸，
在Rt△AOD中，因为OA2＝OD2＋AD2，
所以OA2＝(OA－1)2＋52，
所以OA＝13寸，
所以圆柱底面的直径长是2AO＝26寸.
4.如图，圆锥的轴截面是等边三角形，圆锥的底面半径为2 cm，假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，求它爬行的最短路程.
解：圆锥的底面半径为2 cm，故底面圆的周长为4π cm，圆锥的轴截面是等边三角形，可知圆锥的母线长为4 cm，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α，根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4π＝4α，解得α＝π，如图，故∠CAB'＝，蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B'P＝＝＝2(cm).
课时分层评价23　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.如图所示的组合体的结构特征是(　　)
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
答案：C
解析：如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.
2.(多选)铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体(　　)
A.圆柱 B.棱柱
C.棱锥 D.棱台
答案：CD
解析：铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体，所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥和棱台，故选CD.
3.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为(　　)
A.21尺 B.25尺
C.29尺 D.33尺
答案：C
解析：如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，
由题意得AB＝2丈＝20尺，圆的周长BE＝3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为BD＝＝＝29尺，故选C.
4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)
A.①② B.①③
C.①④ D.①⑤
答案：D
解析：一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确.故选D.
5.(多选)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则(　　)
A.弦AB，CD可能相交于点M
B.弦AB，CD可能相交于点N
C.MN的最大值为5
D.MN的最小值为1
答案：ACD
解析：球心到弦AB，CD的距离分别为3，2，又因为3＞2，所以AB， CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选ACD.
6.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆.其中正确命题的序号是　　　　.
答案：②③
解析：①若上、下底面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；
②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点的长度相等，均为母线长度，②正确；
③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；
④若两点连线为球的直径，则过两点有无数个大圆，④错误.
7.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为　　　　 cm.
答案：13
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm).所以AB＝＝13(cm).
8.如图，已知圆锥的母线AB＝12，底面半径为2，从点B绕侧面一周回到点B的最短距离是　　　　.
答案：12
解析：底面半径为2，将侧面展开，设∠A的度数为n°，则＝4π，解得n＝60，故从点B绕侧面一周回到点B的最短距离是12.
9.(10分)如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜在轴截面相对的点A处，则蚂蚁经过上沿一点到达蜂蜜的最短距离为多少？
解：沿过A的圆柱的母线剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.
因为AE＝A'E，A'P＝AP，
所以AP＋PC＝A'P＋PC＝A'C.
又因为CQ＝×18＝9(cm)，
A'Q＝12－4＋4＝12(cm)，
所以在Rt△A'QC中由勾股定理得A'C＝＝15(cm).
即蚂蚁经过上沿一点到达蜂蜜的最短距离为15 cm.
10.(10分)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值.
解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，
且弧AA'的长度L就是圆O的周长，
所以L＝2πr＝2π.
所以∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，
其值为AM＝(0≤x≤4).
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，
因为S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
所以SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)因为f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
所以f(x)的最大值为f(4)＝32.
11.(5分)在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC的面积的取值范围为　　　　.
答案：[2，]
解析：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'，
连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
则S△ABC＝×AB×CM，
根据题意得，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC＝＝，
此时S△ABC取得最大值为×2×＝；
如图3所示，当点M与点B重合时，CM取最小值2，
此时S△ABC取得最小值为×2×2＝2.
综上所述，S△ABC的取值范围为[2，].
12.(15分)如图，圆台上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长为20 cm，从母线AB的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点B，求B，M间细绳的最短长度.
解：如图所示，画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，
设扇形的圆心为O，则绳子的最短距离为侧面展开图中MB'的长度，
设OA＝l，∠AOA'＝n°，
则根据弧长公式得
＝2π×5，＝2π×10，
解得n＝90，l＝20 cm，
所以OB'＝40 cm，OM＝30 cm，
所以MB'＝＝50 cm，
即绳子的最短长度为50 cm.(共48张PPT)
4.1.1　几类简单几何体
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
　
第4章　4.1　空间的几何体
学习目标
1.通过对实物模型的观察，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，培养直观想象核心素养.
2.能运用圆柱、圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单组合体的结构并进行有关计算，培养数学运算核心素养.
新知形成
知识点一　圆柱、圆锥、圆台、球
知识梳理
分类 定义 图形及表示
圆柱 将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB__________旋转一周，所形成的旋转体叫作圆柱，边AB所在直线叫作圆柱的轴，由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面，由边CD绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面，边CD叫作圆柱的一条母线

我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为圆柱______
所在直线
AB
分类 定义 图形及表示
圆锥 将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB__________旋转一周，所形成的旋转体叫作圆锥.
直角边AB所在直线叫作圆锥的轴，点A叫作圆锥的顶点，由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，斜边AC叫作圆锥的一条母线

我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为圆锥______
所在直线
AB
分类 定义 图形及表示
圆台 将直角梯形ABCD(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC________旋转一周，所形成的旋转体叫作圆台.
腰BC所在直线叫作圆台的轴，由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面，由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的侧面，腰AD叫作圆台的一条母线

我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为圆台______
球 将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB__________旋转一周，所形成的旋转体叫作球，记作球O.半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面)，把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径

球常用球心字母进行表示，如图可表示为______
所在直线
BC
所在直线
球O
点拨　
1.(1)圆柱与棱柱统称为柱体.
(2)圆锥与棱锥统称为锥体.
(3)圆台与棱台统称为台体.
(4)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到的圆锥底面与截面之间的几何体.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系
知识点二　简单组合体
1.定义：由____________组合而成的几何体称为简单组合体.
2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体______而成；一种是由简单几何体____________一部分而成.
点拨　常见的几类组合体
(1)多面体与多面体的组合体；
(2)多面体与旋转体的组合体；
(3)旋转体与旋转体的组合体.
简单几何体
拼接
截去或挖去
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥. (　　)
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱. (　　)
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. (　　)
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面. (　　)
自主检测
×
×
×
√
2.(多选)下列几何体中是旋转体的有
√
√
√
由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.
3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台
√
圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是圆面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.
4.给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点的连线；
③球体是旋转体；
④球常用表示球心的字母表示.
其中说法正确的是__________.
①③④
根据球的定义直接判断①正确；②错误；③球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得的几何体，即球体是旋转体，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.
返回
合作探究
探究点一　旋转体的结构特征
(1)(多选)下列说法正确的是
A.圆柱的母线一定不相交
B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
典例
1
√
√
A正确，圆柱的母线相互平行；B正确，如图所示，经过圆
柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母
线延长相交于一点；D不正确，圆柱夹在两个平行于底面的
截面间的几何体才是旋转体.
(2)(多选)下列说法正确的是
A.用一个平面截一个球，得到的截面一定是圆面
B.过球心的截面圆面积最大
C.用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形
D.过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形
√
√
√
根据球的定义知，A正确；B正确，因为球的直径必过球心；C不正确，因为球的任何截面都是圆面；D正确.
1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
规律方法
对点练1.下列命题中正确的是
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，半圆的直径叫作球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤
√
任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
探究点二　简单组合体的结构特征
如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的
典例
2
√
该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A.
简单组合体的识别
1.明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数；
2.会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
规律方法
对点练2.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，
其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，
形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.
解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体
是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；
当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是圆柱；
当AD＜BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.
典例
3
1.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果.
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面；
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可.
规律方法
返回
随堂评价
1.(多选)下列关于球体的说法正确的是
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
√
√
空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
2.一圆锥底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为_______.
3.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问
题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺.问径几何.”用现在的数学语言表述是：“如图所示，
一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD
＝1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”.(注：1尺＝10寸)
26
因为AB⊥CD，AD＝BD，
故C，D，O三点共线，
因为AB＝10寸，
所以AD＝5寸，
在Rt△AOD中，因为OA2＝OD2＋AD2，
所以OA2＝(OA－1)2＋52，
所以OA＝13寸，
所以圆柱底面的直径长是2AO＝26寸.
返回
课时分层
1.如图所示的组合体的结构特征是
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
√
如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.
2.(多选)铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体
A.圆柱 B.棱柱
C.棱锥 D.棱台
√
√
铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体，所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥和棱台，故选CD.
3.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为
A.21尺 B.25尺
C.29尺 D.33尺
√
4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是
A.①②
B.①③
C.①④
D.①⑤
√
一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确.故选D.
√
√
√
球心到弦AB，CD的距离分别为3，2，又因为3＞2，所以AB， CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选ACD.
6.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆.其中正确命题的序号是________.
②③
①若上、下底面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；
②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点的长度相等，均为母线长度，②正确；
③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；
④若两点连线为球的直径，则过两点有无数个大圆，④错误.
7.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______ cm.
13
8.如图，已知圆锥的母线AB＝12，底面半径为2，从点B绕侧面一周回到点B的最短距离是________.
12
11.(5分)在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC的面积的取值范围为__________.
返回

展开更多......

收起↑