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4.1　空间的几何体
4.1.1　几类简单几何体
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标 1.通过对实物模型的观察，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 培养直观想象核心素养. 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学运算与数学抽象核心素养.
知识点一　空间几何体
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
2.多面体：把由若干个平面多边形所围成的封闭体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面；两个面的公共边叫作多面体的棱；棱与棱的交点叫作多面体的顶点.
3.旋转体：把平面上一条曲线绕着该平面内的一条定直线旋转而成的封闭几何体称为旋转体.这条定直线称为旋转轴.
[点拨]　(1)多面体至少有四个面，如图1所示.在空间几何体中说某个面是多边形，包括这个多边形内部的平面部分.
(2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线.在图2中，连接BD1，则BD1为该多面体的一条对角线.
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫作这个几何体的截面.在图2中，连接AC，AD1，D1C，则得到多面体的一个截面ACD1.
知识点二　多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫作棱柱 记作：棱柱 ABCDEF A'B'C'D'E'F' 底面：两个互相平行的面 侧面：除底面外，其余各面都是平行四边形 侧棱：相邻两个侧面的公共边 顶点：侧棱与底面的公共顶点 直棱柱：侧面都是矩形的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱 正方体：所有棱长都相等的长方体
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，像这样的多面体叫作棱锥 记作：棱锥 S ABCD 侧面：具有同一个公共顶点的三角形面 侧棱：相邻两个侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面 正棱锥：底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上
学生用书 第83页
棱 台 过棱锥任一 侧棱上不与 侧棱端点重 合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台 记作：棱台 ABCD A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上、下底面外，其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 正棱台：由正棱锥截得的棱台
[点拨]　棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的底面互相平行.(　　)
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.(　　)
(3)用一个平面截正方体，其截面是矩形.(　　)
(4)棱柱至少有五个面.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列空间图形中是棱柱的有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案：C
解析：棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱.观察图形满足棱柱概念的空间图形有(1)(3)(5)，共3个.故选C.
3.下列命题中正确的个数是(　　)
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的空间图形是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥.
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：B
解析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，不正确；②中，根据空间图形的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的空间图形，是正确的； ③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，不正确；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形不一定是棱锥，如图中的空间图形，满足条件，但并不是棱锥.故选B.
4.下列说法正确的有　　　　.(填序号)
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
答案：①③
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对.因而正确的有①③.
探究点一　棱柱的结构特征
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是(　　)
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
答案：CD
解析：A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
棱柱结构特征的辨析技巧
1.扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，并且其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
2.举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
对点练1.下列命题中，正确的是(　　)
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
答案：D
解析：A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点.故选D.
学生用书 第84页
探究点二　棱锥、棱台的结构特征
下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中说法错误的是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
答案：D
解析：①正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.故选D.
判断棱锥、棱台形状的2个方法
1.举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
2.直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
对点练2.下列命题中不正确的是　　　　.
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②三棱锥的任何一个面都可看作底面；
③面数最少的多面体是四面体.
答案：①
解析：根据棱锥的结构特征，命题①不正确；三棱锥的任何一个面都是三角形，所以任何一个面都可看作底面，②正确；面数最少的多面体是四面体，③正确.
探究点三　多面体的平面展开图
如图，一只小蚂蚁从吊在天花板上的棱长为1的正方体ABCD A'B'C'D'的顶点A处，沿其下底面ABCD和右侧面BCC'B'爬到C'处，问小蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：如图，将正方体的侧面BCC'B'沿棱BB'，B'C'，C'C剪开后，展开到水平面上，至BCC1B1的位置，则AC1的距离就是小蚂蚁爬行的最短路程.
在Rt△AB1C1中可得AC1＝，所以小蚂蚁爬行的最短路程为.
多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
对点练3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c，求沿着长方体的表面自A到C1的最短路线长.
解：将长方体相邻的两个面展开，有下列三种情形：
①将前侧面和右侧面展开到同一个平面：AC1＝＝；
②将前侧面和上底面展开到同一个平面：AC1＝＝；
③将下底面和右侧面展开到同一个平面：AC1＝＝，
因为a＞b＞c，所以ab＞ac＞bc＞0，
故最短的线路长为.
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1.(多选)下面图形中，是棱锥的是(　　)
答案：ABD
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A，B是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥.故选ABD.
2.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是(　　)
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
答案：B
解析：(1)图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上可得，还原成正方体后，①、④处于正方体的两个相对面的是(2)(3).故选B.
3.下列几何体不属于棱柱的是(　　)
答案：D
解析：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项.
故选D.
4.如图所示，正三棱锥A-BCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值和这时点E，F的位置.
解：把正三棱锥A-BCD的侧面展开，
两点间的连线BB'即是截面周长的最小值.
因为BB'∥CD，
所以△ADB'∽△B'FD，
所以＝，
其中AD＝2a，DB'＝a，
所以DF＝a，
又△AEF∽△ACD，
所以＝，其中CD＝a，AD＝2a，
AF＝2a－a＝a，
所以EF＝a，
所以截面周长的最小值是BB'＝2a＋a＝a，E、F两点分别满足AE＝AF＝a.
课时分层评价22　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.(多选)下列关于长方体的叙述正确的是(　　)
A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B.长方体中相对的面都相互平行
C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D.两底面之间的棱互相平行且等长
答案：BCD
解析：A中只有将矩形水平放置时，沿竖直方向平移才能形成长方体，由长方体的结构知其他三个选项都正确.故选BCD.
2.下列说法中正确的是(　　)
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
答案：D
解析：因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选D.
3.如图所示，在单位正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为(　　)
A.2 B.
C.2＋ D.
答案：D
解析：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC'D'1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD'1，则AD'1＝
＝＝为所求的最小值.故选D.
4.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
答案：BC
解析：选项A，任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故A正确；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.故选BC.
5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设O为正六棱锥S-ABCDEF底面内切圆的圆心，
连接OA，OB，如图所示：
由题意可知∠AOB＝，∠SAB＝－θ，
所以OA＝AB，SA·cos(－θ)＝SA·sin θ＝AB，
所以SA＝，
设内切圆半径为r，则tan＝＝，r＝AB，
所以侧棱与底面内切圆的半径的比为＝＝.故选A.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
答案：B
解析：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，
连接BC1，
因为E，F分别为BC，CC1的中点，则EF∥BC1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，
所以EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面.
则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选B.
7.如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D，M，R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合.
其中正确结论的序号是　　　　.(把你认为正确结论的序号都填上)
答案：②④
解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”.按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合.故②④正确，①③错误.
8.正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是　　　　.
答案：
解析：将所给的正六棱柱按图1部分展开，则BD1＝BB1＋B1D1＝1＋3＝4，AD1＝＝，AD'1＝＝，因为AD1＜AD'1，所以从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为.
9.(15分)如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)运动到达顶点C1，运动轨迹与AA1的交点记为M.求：
(1)该三棱柱侧面展开图的对角线的长；
(2)从B经M到C1的最短路线的长度及此时的值.
解：沿侧棱BB1将正三棱柱ABC A1B1C1的侧面展开，得到一个矩形BB1B'1B'，如图.
(1)矩形BB1B'1B'的长BB'＝6，宽BB1＝2，所以该三棱柱侧面展开图的对角线的长为＝2.
(2)在矩形BB1B'1B'中，连接BC1交AA1于M，则BC1就是由顶点B经M到C1的最短路线，其长度为＝＝2.
易知△BMA≌△C1MA1，所以AM＝A1M，即＝1.
10.(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)＝a2，＝＝·2a·a＝a2，＝－－－＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
(11、12每小题5分，共10分)
11.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值.
其中，正确的说法是(　　)
A.①② B.①
C.①②③ D.①③
答案：D
解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.
12.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，AP＋PC1的最小值为　　　　.
答案：
解析：将△A1BC1绕A1B旋转到平面ABA1上，如图所示：
则AB＝1，AA1＝2，A1B＝BC1＝，A1C1＝，
所以cos∠ABA1＝，
cos∠A1BC1＝＝，
sin∠ABA1＝，sin∠A1BC1＝，
所以cos∠ABC1＝cos(∠ABA1＋∠A1BC1)
＝cos∠ABA1cos∠A1BC1－sin∠ABA1sin∠A1BC1
＝×－×＝，
所以AP＋PC1的最小值为
AC1＝ ＝.(共56张PPT)
4.1.1　几类简单几何体
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
　
第4章　4.1　空间的几何体
学习目标
1.通过对实物模型的观察，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 培养直观想象核心素养.
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学运算与数学抽象核心素养.
新知形成
知识点一　空间几何体
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
2.多面体：把由若干个____________所围成的封闭体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的____；两个面的________叫作多面体的棱；棱与棱的______叫作多面体的顶点.
3.旋转体：把平面上一条曲线绕着该平面内的一条定______旋转而成的封闭几何体称为旋转体.这条定直线称为旋转轴.
知识梳理
形状
大小
平面多边形
面
公共边
交点
直线
点拨　(1)多面体至少有四个面，如图1所示.在空间几何体中说某个面是多边形，包括这个多边形内部的平面部分.
(2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线.在图2中，连接BD1，则BD1为该多面体的一条对角线.
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫作这个几何体的截面.在图2中，连接AC，AD1，D1C，则得到多面体的一个截面ACD1.
知识点二　多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 一般地，有两个面互相______，其余各面都是___________，且每相邻两个四边形的公共边都互相_____，由这些面围成的多面体叫作棱柱

记作：棱柱
ABCDEF-
A'B'C'D'E'F' 底面：两个互相______的面
侧面：除底面外，其余各面都是平行四边形
侧棱：相邻两个侧面的________
顶点：侧棱与底面的__________ 直棱柱：侧面都是矩形的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱
正方体：所有棱长都相等的长方体
平行
平行四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱锥 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，像这样的多面体叫作棱锥

记作：棱锥
S-ABCD 侧面：具有同一个公共顶点的三角形面
侧棱：相邻两个侧面的________
顶点：各侧面的__________
底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面 正棱锥：底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上
多边形
三角形
公共边
公共顶点
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱
台 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与______
______的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台
记作：棱台
ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的______
下底面：原棱锥的______
侧面：除上、下底面外，其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边 正棱台：由正棱锥截得的棱台
底面
平行
截面
底面
点拨　棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的底面互相平行. (　　)
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形. (　　)
(3)用一个平面截正方体，其截面是矩形. (　　)
(4)棱柱至少有五个面. (　　)
自主检测
√
√
×
√
2.下列空间图形中是棱柱的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱.观察图形满足棱柱概念的空间图形有(1)(3)(5)，共3个.故选C.
3.下列命题中正确的个数是
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的空间图形是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥.
A.0 B.1
C.2 D.3
√
①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，不正
确；②中，根据空间图形的性质和结构特征可知，
多面体是由若干个平面多边形所围成的空间图形，
是正确的； ③中，仅有一组对面平行的五面体，可
以是三棱柱，不正确；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形不一定是棱锥，如图中的空间图形，满足条件，但并不是棱锥.故选B.
4.下列说法正确的有__________.(填序号)
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
①③
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对.因而正确的有①③.
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合作探究
探究点一　棱柱的结构特征
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
典例
1
√
√
A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
棱柱结构特征的辨析技巧
1.扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，并且其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
2.举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
规律方法
对点练1.下列命题中，正确的是
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
√
A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点.故选D.
探究点二　棱锥、棱台的结构特征
下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中说法错误的是
A.① B.② C.③ D.④
典例
2
√
①正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；②正确，
棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由四个
面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥
被平面截成的两部分都是棱锥.故选D.
判断棱锥、棱台形状的2个方法
1.举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
2.直接法
规律方法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
对点练2.下列命题中不正确的是_______.
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②三棱锥的任何一个面都可看作底面；
③面数最少的多面体是四面体.
①
根据棱锥的结构特征，命题①不正确；三棱锥的任何一个面都是三角形，所以任何一个面都可看作底面，②正确；面数最少的多面体是四面体，③正确.
典例
3
多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
规律方法
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随堂评价
1.(多选)下面图形中，是棱锥的是
√
√
√
根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A，B是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥.故选ABD.
2.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
√
(1)图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上可得，还原成正方体后，①、④处于正方体的两个相对面的是(2)(3).故选B.
3.下列几何体不属于棱柱的是
√
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项.
故选D.
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课时分层
1.(多选)下列关于长方体的叙述正确的是
A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B.长方体中相对的面都相互平行
C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D.两底面之间的棱互相平行且等长
√
√
√
A中只有将矩形水平放置时，沿竖直方向平移才能形成长方体，由长方体的结构知其他三个选项都正确.故选BCD.
2.下列说法中正确的是
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
√
因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选D.
√
4.(多选)下列说法错误的是
A.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
√
√
选项A，任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故A正确；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.故选BC.
√
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
√
如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，
连接BC1，
因为E，F分别为BC，CC1的中点，则EF∥BC1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，
所以EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面.
则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选B.
7.如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D，M，R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合.
其中正确结论的序号是__________.(把你认为正确结论的序号都填上)
②④
将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”.按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合.故②④正确，①③错误.
10.(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别
为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，
B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
解：如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
解：这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
11.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值.
其中，正确的说法是
A.①② B.① C.①②③ D.①③
√
显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器
倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不
正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高
不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定
值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.
12.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，AP＋PC1的最小值为__________.
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