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第2课时　异面直线
学习目标 1.借助直观图形理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线，会判断两条直线的位置关系，培养直观想象和数学抽象核心素养. 2.理解异面直线所成的角的概念，理解两条异面直线互相垂直的概念，会求两条异面直线所成的角，提升逻辑推理与数学运算核心素养.
知识点一　异面直线判断方法
　与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.
[点拨]　三棱锥(四面体)有三对异面直线，也称作三对对棱.
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b'，把a'与b'所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角.
2.范围：.
3.垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
[点拨]　研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.(　　)
(2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同.(　　)
(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.(　　)
(4)与一条直线都垂直的两条直线平行.(　　)
(5)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.若a和b异面，b和c异面，则(　　)
A.a∥c
B.a和c异面
C.a和c异面或平行或相交
D.a和c相交
答案：C
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，
则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，
而a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.故选C.
3.在正方体ABCD A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有(　　)
A.4条 B.6条
C.8条 D.10条
答案：C
解析：由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形，所以B1D1，AB1，CD1，AC与AD1成60°角.根据平行关系，可知 BD，C1D，A1B，A1C1也与AD1成60°角，故满足题意的面对角线共有8条，故选C.
4.已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是边AA1，AB的中点，则异面直线EF与CC1所成的角为　　　　.
答案：45°
解析：连接A1B(图略)，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，所以∠A1BB1即为异面直线EF与CC1所成的角，所成的角为45°.
探究点一　异面直线的判断
(1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.以上皆有可能
(2)直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交于一点或异面
答案：(1)D　(2)D
解析：(1)若α∩β＝l，a，c α，b，d β，位置关系如右图所示：
若a∥l，b∥l，则a∥b，可知两条直线可以平行；由图可知，c与d相交，可知两条直线可以相交；由图可知，b与c异面，可知两条直线可以异面.
(2)已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，
当点B与点C重合时，两条直线c与d相交，
当点B与点C不重合时，两条直线c与d异面.
学生用书 第100页
判定两条直线是异面直线的方法
1.定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
2.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图).
对点练1.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　.
答案：③
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交.
探究点二　异面直线所成的角
如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD与BC所成的角.
解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以EG∥BC且EG＝BC＝1，
FG∥AD，且FG＝AD＝1.
所以∠EGF为异面直线AD与BC所成的角(或其补角).
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°，
即异面直线AD与BC所成的角为90°.
1.求异面直线所成的角的步骤
(1)通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线；
(2)将这个角放入某一个三角形中；
(3)在这个三角形中，计算这个角的大小.
2.作异面直线所成的角的方法
作异面直线所成的角，可通过多种平移方法产生，主要有三种方法：
(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
(2)中位线平移法；
(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线).
对点练2.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案：C
解析：延长CA到D，使得AD＝AC，连接BD，A1D(图略)，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角.易知△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
探究点三　直线与直线垂直的证明
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，
因为ABCD A1B1C1D1是正方体，
所以BB1∥DD1.
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD.
所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
易证AB1＝AD1.又O1为上底面A1B1C1D1的中心，
所以O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，
所以AO1⊥BD.
证明空间中两条直线垂直的方法
1.定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
2.平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
对点练3.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.
求证：CD1⊥EF.
证明：取CD1的中点G，连接EG，DG.
因为E是BD1的中点，
所以EG∥BC，EG＝BC.
因为F是AD的中点，
且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝BC.
所以EG∥DF，EG＝DF.
所以四边形EFDG是平行四边形.
所以EF∥DG.
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
学生用书 第101页
1.在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案：C
解析：如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角.因为tan ∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为　　　　　(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
答案：③④
解析：因为A，M，C，C1四点不共面，
所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误.
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点.
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪些棱所在的直线与直线A1B是异面直线？
(2)分别求异面直线EF与GH，EF与CC1所成的角.
解：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所在的直线与A1B是异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，DD1，CC1.
(2)连接BC1，A1C1(图略)，
因为E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，
所以EF∥A1B，GH∥BC1，
所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角.
由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，
即EF与GH所成的角为60°.
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥AA1，
所以∠AEF即为EF与CC1所成的角.
因为△AEF为等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°，即EF与CC1所成的角为45°.
课时分层评价27　异面直线
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱AA'⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA'＝1，AB⊥AC，点M，N分别为A'C'，CC'的中点，则异面直线MN与B'C'所成的角为(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案：B
解析：连接A'C，A'B.因为AA'⊥平面ABC，AB＝AC＝AA'＝1，所以A'B＝A'C＝＝.
又因为AB⊥AC，所以BC＝＝，
故△A'BC是正三角形.
又因为点M，N分别为A'C'，CC'的中点，所以MN∥A'C.又因为B'C'∥BC，所以异面直线MN与B'C'所成的角和直线A'C与BC所成的角相同，为60°.
2.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.则的值为(　　)
A.3 B.
C.2 D.
答案：A
解析：连接BC1，A1C1(图略).因为AD1∥BC1，所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1.令AA1＝t，则A1B＝BC1＝，A1C1＝，cos ∠A1BC1＝＝＝.所以t2＝9，t＝3，即AA1＝3.所以＝3.
3.如图，点P，Q分别是正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案：C
解析：连接AC，D1C.
因为ABCD A1B1C1D1是正方体，Q是BD的中点，
所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，所以∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角或其补角.
因为△ACD1为等边三角形，
所以∠AD1C＝60°.
即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
4.(多选)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A.直线CC1与直线B1E相交
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1垂直
答案：ACD
解析：因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形.CC1与B1E必相交.A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.故选ACD.
5.在我国古代数学专著《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称作“堑堵”.如图，三棱柱ABC-A1B1C1为“堑堵”，其中AB＝BC，AC＝AA1，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点.过点A，E，F作一截面，记该截面所在平面与平面BCC1B1的交线为l，则直线l与直线AA1所成的角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，延长AF和CC1交于点M，连接EM，交B1C1于点P，连接FP，
则过点A，E，F的截面为四边形AEPF，故直线l即为直线ME，
又AA1∥BB1，所以AA1与直线l所成的角为∠B1EP，
设AB＝1，则AA1＝1，由△MFC1∽△MAC，可得MC1＝CC1＝1，
由△MPC1∽△EPB1，得＝，
所以＝，解得PB1＝，则在Rt△B1EP中，PE＝＝ ＝，
所以cos∠B1EP＝＝×＝.
故选A.
6.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1的中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为　　　　.
答案：
解析：连接CD1，CM(图略).由A1D1∥BC，A1D1＝BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1.
所以∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角.由题意得，D1M＝MC＝，CD1＝.在△CMD1中，由余弦定理可得，cos ∠CD1M＝＝.
所以异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为.
7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于　　　　.
答案：5
解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角.所以∠MPN＝90°.又因为PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝5.
8.如图，三棱锥A-BCD为一所有棱长都相等的正三棱锥，点M，N分别为BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为　　　　.
答案：
解析：设三棱锥A-BCD的棱长为2，
如图所示，连接DM，设DM的中点为K，连接NK，CK.
因为N为AD的中点，
所以NK∥AM，
所以∠KNC为异面直线AM，CN所成的角(或其补角).
因为M为BC的中点，由勾股定理易求得AM＝DM＝CN＝，
所以MK＝.在Rt△CKM中，CK＝＝ ＝.
在△CKN中，由余弦定理，得cos∠KNC＝＝，
则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
9.(15分)如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线.
证明：方法一(反证法)：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P，A，B，C，D都在平面α内，
所以直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，
所以AD和BC是异面直线.
方法二(直接证法)：因为a∩c＝P，
所以它们确定一个平面，设为α，
由已知C 平面α，B∈平面α，BC 平面α，AD 平面α，B AD，
所以AD和BC是异面直线.
10.(15分)如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.
解：如图，取D1C1的中点M，连接OM，OF.
因为O为底面ABCD的中心，F为AD的中点，M为D1C1的中点，
所以OF∥MD1，且OF＝MD1，
所以四边形OFD1M是平行四边形，
所以OM∥FD1，且OM＝FD1，
所以∠MOE是异面直线OE和FD1所成的角或其补角.
连接OC，ME.
因为OM＝FD1＝＝ ＝a，
ME＝＝ ＝a，
OE＝＝ ＝a，
所以OE2＋ME2＝OM2，
所以△OME是直角三角形，且∠OEM＝90°，
所以cos ∠MOE＝＝＝，
即异面直线OE和FD1所成角的余弦值是.
(11、12每小题5分，共10分)
11.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2 006段，黄“电子狗”爬完2 007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是(　　)
A.0 B.1
C. D.
答案：B
解析：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点.所以黑“电子狗”爬完2 006段后实质是到达第2段的终点D1，
黄“电子狗”爬完2 007段后到达第3段的终点C1.此时的距离为｜C1D1｜＝1.故选B.
12.在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A.0°＜θ＜60° B.0°≤θ＜60°
C.0°≤θ≤60° D.0°＜θ≤60°
答案：D
解析：如图，连接CD1，AC.因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°.(共50张PPT)
4.3.1　空间中直线与直线的位置关系
第2课时　异面直线
　
第4章　4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
学习目标
1.借助直观图形理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线，会判断两条直线的位置关系，培养直观想象和数学抽象核心素养.
2.理解异面直线所成的角的概念，理解两条异面直线互相垂直的概念，会求两条异面直线所成的角，提升逻辑推理与数学运算核心素养.
新知形成
知识点一　异面直线判断方法
与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.
点拨　三棱锥(四面体)有三对异面直线，也称作三对对棱.
知识梳理
点拨　研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b'，把_______所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角.
2.范围： _______.
3.垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为______，则称这两条异面直线互相垂直，记作______.
a'与b'
90°
a⊥b
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直. (　　)
(2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同. (　　)
(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°. (　　)
(4)与一条直线都垂直的两条直线平行. (　　)
(5)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线. (　　)
自主检测
√
×
×
×
×
2.若a和b异面，b和c异面，则
A.a∥c
B.a和c异面
C.a和c异面或平行或相交
D.a和c相交
√
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线
B1A1记为直线c，
则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，
而a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.故选C.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有
A.4条 B.6条
C.8条 D.10条
√
由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形，所以B1D1，
AB1，CD1，AC与AD1成60°角.根据平行关系，可知BD，
C1D，A1B，A1C1也与AD1成60°角，故满足题意的面对
角线共有8条，故选C.
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是边AA1，AB的中点，则异面直线EF与CC1所成的角为_______.
45°
连接A1B(图略)，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，所以∠A1BB1即为异面直线EF与CC1所成的角，所成的角为45°.
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合作探究
探究点一　异面直线的判断
(1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线
A.平行 B.异面
C.相交 D.以上皆有可能
典例
1
√
若α∩β＝l，a，c α，b，d β，位置关系如右图所示：
若a∥l，b∥l，则a∥b，可知两条直线可以平行；由图
可知，c与d相交，可知两条直线可以相交；由图可知，
b与c异面，可知两条直线可以异面.
(2)直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交于一点或异面
√
已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，
当点B与点C重合时，两条直线c与d相交，
当点B与点C不重合时，两条直线c与d异面.
判定两条直线是异面直线的方法
1.定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
2.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，
与这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号
语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面
直线(如图).
规律方法
对点练1.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是______.
③
①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交.
典例
2
1.求异面直线所成的角的步骤
(1)通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线；
(2)将这个角放入某一个三角形中；
(3)在这个三角形中，计算这个角的大小.
2.作异面直线所成的角的方法
作异面直线所成的角，可通过多种平移方法产生，主要有三种方法：
(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
(2)中位线平移法；
(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线).
规律方法
对点练2.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
延长CA到D，使得AD＝AC，连接BD，A1D(图略)，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角.易知△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
探究点三　直线与直线垂直的证明
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为上底面
A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以BB1 DD1.
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD.
所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
易证AB1＝AD1.又O1为上底面A1B1C1D1的中心，
所以O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，
所以AO1⊥BD.
典例
3
证明空间中两条直线垂直的方法
1.定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
2.平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
规律方法
所以四边形EFDG是平行四边形.
所以EF∥DG.
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1
都是正方形，且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
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随堂评价
√
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为_________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
③④
因为A，M，C，C1四点不共面，
所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误.
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点.
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪些棱所在的直线与直线A1B是异面直线？
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所在的直线与A1B是异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，DD1，CC1.
(2)分别求异面直线EF与GH，EF与CC1所成的角.
解：连接BC1，A1C1(图略)，
因为E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，
所以EF∥A1B，GH∥BC1，
所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角.
由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，
即EF与GH所成的角为60°.
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥AA1，
所以∠AEF即为EF与CC1所成的角.
因为△AEF为等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°，即EF与CC1所成的角为45°.
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课时分层
1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱AA'⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA'＝1，AB⊥AC，点M，N分别为A'C'，CC'的中点，则异面直线MN与B'C'所成的角为
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
√
√
3.如图，点P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
连接AC，D1C.
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，Q是BD的中点，
所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，所以∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角或其补角.
因为△ACD1为等边三角形，
所以∠AD1C＝60°.
即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
4.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是
A.直线CC1与直线B1E相交
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1垂直
√
√
√
√
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1的中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为______.
7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于_____.
5
8.如图，三棱锥A-BCD为一所有棱长都相等的正三棱锥，点M，N分别为BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为____.
9.(15分)如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线.
证明：方法一(反证法)：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P，A，B，C，D都在平面α内，
所以直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，
所以AD和BC是异面直线.
方法二(直接证法)：因为a∩c＝P，
所以它们确定一个平面，设为α，
由已知C 平面α，B∈平面α，BC 平面α，
AD 平面α，B AD，
所以AD和BC是异面直线.
10.(15分)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1
中，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，
求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.
解：如图，取D1C1的中点M，连接OM，OF.
因为O为底面ABCD的中心，F为AD的中点，M为D1C1的中点，
所以OF∥MD1，且OF＝MD1，
所以四边形OFD1M是平行四边形，
所以OM∥FD1，且OM＝FD1，
所以∠MOE是异面直线OE和FD1所成的角或其补角.
连接OC，ME.
√
由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点.所以黑“电子狗”爬完2 006段后实质是到达第2段的终点D1，
黄“电子狗”爬完2 007段后到达第3段的终点C1.此时的距离为｜C1D1｜＝1.故选B.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是
A.0°＜θ＜60° B.0°≤θ＜60°
C.0°≤θ≤60° D.0°＜θ≤60°
√
如图，连接CD1，AC.因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所
成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从
D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1
重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以
异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°.
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