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(共75张PPT)
4.4.2　平面与平面垂直
　
第4章　4.4　平面与平面的位置关系
学习目标
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理和性质定理，培养数学抽象、数学运算核心素养.
2.能应用定理进行空间直线与平面位置关系的证明，提升逻辑推理核心素养.
新知形成
知识点一　二面角
1.定义及记法
如图所示，从一条直线出发的两个_________所组成的
图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱，这两个半
平面叫作二面角的面.棱为AB、面分别为α，β的二面角
记作二面角α-AB-β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q.
知识梳理
半平面
2.二面角的平面角
如图，在二面角α-l-β的棱l上____________，以点O为垂足，
在半平面α和β内分别作______于棱l的射线OA和OB，则射
线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的________来度量，二面角的平面
角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作__________.
任取一点O
垂直
平面角
直二面角
点拨　(1)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
(2)二面角的平面角必须具备三个条件
①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两边分别与二面角的棱垂直.
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.若平面α，β互相垂直，则记作________.
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
位置关系 定理 符号表示
面面
垂直 判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
点拨　平面与平面垂直的性质定理可以用来判定线面垂直.
α⊥β
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直. (　　)
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β. (　　)
(3)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β. (　　)
(4)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β. (　　)
自主检测
√
√
×
√
2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
√
两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能.
3.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是
A.平行
B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
√
因为在长方形中有平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为_______.
45°
因为AB⊥BC，AB⊥BC1，所以∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，大小为45°.
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合作探究
探究点一　平面与平面垂直判定定理的应用
如图，在圆锥VO中，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点.已知AB＝2，VA＝2.
求证：平面VAC⊥平面VOD.
证明：连接BC(图略)，由圆锥的性质知VO⊥平面ABC，
所以VO⊥AC.
因为D是AC的中点，所以OD∥BC.
又AB是底面圆的一条直径，所以AC⊥BC，所以AC⊥OD.
又VO∩OD＝O，VO，OD 平面VOD，所以AC⊥平面VOD.
又AC 平面VAC，所以平面VAC⊥平面VOD.
典例
1
证明平面与平面垂直的两个常用方法
1.利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直.
规律方法
2.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
规律方法
探究点二　平面与平面垂直性质定理的应用
如图，在三棱锥S -ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
证明：因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
典例
2
(2)BC⊥SA.
证明：因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.
又AF 平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF 平面SAB，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.
应用面面垂直性质定理要注意的问题
　　应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.
规律方法
对点练2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面
ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥
AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，F为侧棱PC上的任意一点.
(1)求证：平面AFD⊥平面PAB.
证明：因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，且PA⊥AC，PA 平面PAC.
所以PA⊥平面ABCD，又AD 平面ABCD，所以PA⊥AD.又AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又AD 平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB.
探究点三　二面角的大小
如图，已知SA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，
AD∥BC，∠ABC＝90°且SA＝AB＝BC＝2AD，求侧面
SDC与侧面SAB所成二面角的正切值.
解：方法一：如图，延长BA，CD交于点E，连接SE，
则SE为侧面SDC与侧面SAB所成二面角的棱.
由AD∥BC且BC＝2AD，得AE＝AS＝AB，
所以SE⊥SB.由SA⊥平面ABCD，得平面
SAB⊥平面ABCD，SA⊥BC.
典例
3
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
规律方法
所以∠DBA＝90°，即AB⊥BD，
因为AB∩AE＝A，且AB，AE 平面PAB，
则BD⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，
所以BD⊥PA，
又PA⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD 平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD；
探究点四　垂直关系的综合问题
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别
是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
典例
4
(2)BE∥平面PAD；
证明：因为AB∥CD，
CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明：因为AB⊥AD，
而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直关系的转化
　　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
规律方法
对点练4.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
证明：因为AB是☉O的直径，所以AB所对的圆周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)求证：直线l⊥AC.
证明：因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF为△PCB的中位线，所以EF∥BC，又因为EF 平面ABC，BC 平面ABC，所以EF∥平面ABC，又因为EF 平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.
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随堂评价
1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
√
因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
又因为平面ABC⊥平面PAB，PD 平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，
所以PD⊥平面ABC.
2.(多选)如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDF⊥平面ABC
√
√
√
因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，
则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面
PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，
则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知
BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选ABC.
3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有 _____对.
5
因为DA⊥AB，DA⊥PA，且AB∩PA＝A，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5 对.
4.如图，在四棱锥V-ABCD中，四边形ABCD是正方形，△VAD是正三角形，平面VAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.
又平面VAD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面VAD.
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课时分层
1.在二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
根据题意，l是α与β平面的交线，则根据二面角的定义，若AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β，则∠AOB为二面角的平面角.
故选D.
2.如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m α，m⊥γ，那么必有
A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β和α⊥γ
√
因为m α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为m⊥γ，β∩γ＝l，所以m⊥l，故选A.
3.如图，正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则
A.存在点G，使PG⊥EF成立
B.存在点G，使FG⊥EP成立
C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
√
在正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，
P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，取
BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，又
因为AO∩CO＝O，所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，
因为PG∩BD＝G，所以不存在点G，使PG⊥EF成立，
故A错误；在B中，连接BF，则BF∥PE，因为G是BD上的动点，所以存在点G使FG⊥EP成立，故B正确；在C中，因为G是BD上动点，所以存在点G，使FG⊥平面ACD成立，故C错误；在D中，当G为BD中点时，易证BG⊥平面EFG，即存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选B.
√
如图所示：
取AC的中点O，过O作OH⊥CD于H，连接BH，OD，
由已知可得，△ABC为等边三角形，故BO⊥AC，
又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO 平面ABC，
所以BO⊥平面DAC，又CD 平面DAC，
则BO⊥CD，
又OH⊥CD，BO∩OH＝O，BO，OH 平面BOH，
则CD⊥平面BOH，又BH 平面BOH，
所以BH⊥CD，
所以∠BHO即为二面角B-CD-A的平面角.
√
√
30°
7.如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运
动，则下面四个结论：①点P到平面ACD1的距离不变；
②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确结论的序号是_________.(写出所有你认为正确结
论的序号)
①②④
连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥ 平面A1BC1.因为A1P 平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确.
因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面
ACD1的距离不变，故①正确.连接DB，DC1，DP.因为
DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③
错误.因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC
⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D 平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D 平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确.
②③④
因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，
所以BD⊥CD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面ABD，
又AB 平面ABD，
所以CD⊥AB.
又因为AD⊥AB，AD，CD 平面ACD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥平面ACD.
又因为AB 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ACD.所以③正确.
平面ABD与平面ABC不能垂直，否则将有平面ACD∥平面ABD，
而平面ABD∩平面ACD＝AD，所以①不正确.
因为CD⊥平面ABD.
所以∠CBD即为直线BC与平面ABD所成角，而∠CBD＝45°，
所以直线BC与平面ABD所成角是45°.所以②正确.
因为AB⊥平面ACD，AC 平面ACD，
所以AB⊥AC，
所以AE⊥CD，
因为AB＝AC，E为BC中点，
所以AE⊥BC，
又BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD，
又AE 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCD；
10.(10分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，因为∠BAD＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：设F为PC的中点，
则在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE.
因为FE 平面DEF，DE 平面DEF，
EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由题意得PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
11.(5分)已知直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P-BCED，则在翻折过程中，①∠DPE＝∠BPC；②PE⊥BC；③PD⊥EC；④平面PDE⊥平面PBC，不可能成立的结论是
A.①②③ B.①②
C.③④ D.①②④
√
由于BC∥DE，且PE与DE不垂直，则PE与BC也
不垂直，则②不可能成立；
当在翻折过程中，平面PED⊥平面BCED，且
PD⊥DE，平面PED∩平面BCED＝DE，
可得PD⊥平面BCED，则PD⊥EC，则③可能成立；
由BC∥DE，过P作直线l与BC平行，也与DE平行，可得平面PBC和平面PDE的交线为直线l，
且PB⊥l，PD⊥l，则∠BPD为平面PBC和平面PDE所成角，
由于BD＝PD，则∠BPD不可能为直角，则④不可能成立.
故选D.
(2)设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若sin φ＝cos θ，求λ的值.
解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE＝φ，
因为SD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形，
所以CD⊥AD，
而SD∩AD＝D，SD 平面SAD，AD 平面SAD，
所以CD⊥平面SAD.
连接AE，CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF.
由于CD⊥平面SAD，AE 平面SAD，因此AE⊥CD.
返回4.4.2　平面与平面垂直
学习目标 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理和性质定理，培养数学抽象、数学运算核心素养. 2.能应用定理进行空间直线与平面位置关系的证明，提升逻辑推理核心素养.
知识点一　二面角
1.定义及记法
如图所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.棱为AB、面分别为α，β的二面角记作二面角α AB β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P AB Q.
如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α l β或P l Q.
2.二面角的平面角
如图，在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角.
[点拨]　(1)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
(2)二面角的平面角必须具备三个条件
①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两边分别与二面角的棱垂直.
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.若平面α，β互相垂直，则记作α⊥β.
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
位置 关系 定理 符号表示
面面 垂直 判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 a ⊥ β
[点拨]　平面与平面垂直的性质定理可以用来判定线面垂直.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直.(　　)
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　)
(3)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.(　　)
(4)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
学生用书 第116页
2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A.α∥γ 　　B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 　　D.以上都有可能
答案：D
解析：两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能.
3.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
A.平行
B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
答案：D
解析：因为在长方形中有平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1 AB C的大小为　　　　.
答案：45°
解析：因为AB⊥BC，AB⊥BC1，所以∠C1BC为二面角C1 AB C的平面角，大小为45°.
探究点一　平面与平面垂直判定定理的应用
如图，在圆锥VO中，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点.已知AB＝2，VA＝2.
求证：平面VAC⊥平面VOD.
证明：连接BC(图略)，由圆锥的性质知VO⊥平面ABC，
所以VO⊥AC.
因为D是AC的中点，所以OD∥BC.
又AB是底面圆的一条直径，所以AC⊥BC，所以AC⊥OD.
又VO∩OD＝O，VO，OD 平面VOD，所以AC⊥平面VOD.
又AC 平面VAC，所以平面VAC⊥平面VOD.
证明平面与平面垂直的两个常用方法
1.利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直.
2.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
对点练1.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA.
证明：(1)取EC的中点F，连接DF(图略).
因为EC⊥平面ABC，BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，
所以DB⊥AB，EC⊥BC.
因为BD∥CE，BD＝CE＝FC，
所以四边形FCBD是矩形，DF⊥EC.
又BA＝BC＝DF，
所以△DFE≌△ABD，所以DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN，NB(图略).
因为M是EA的中点，所以MN∥EC.
由BD∥EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，所以DM⊥MN.
因为DE＝DA，M是EA的中点，所以DM⊥EA.
又EA∩MN＝M，所以DM⊥平面ECA.
又DM 平面BDM，所以平面ECA⊥平面BDM.
学生用书 第117页
探究点二　平面与平面垂直性质定理的应用
如图，在三棱锥S -ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.
又AF 平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF 平面SAB，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.
应用面面垂直性质定理要注意的问题
　　应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.
对点练2.如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，F为侧棱PC上的任意一点.
(1)求证：平面AFD⊥平面PAB.
(2)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，且PA⊥AC，PA 平面PAC.
所以PA⊥平面ABCD，又AD 平面ABCD，所以PA⊥AD.又AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又AD 平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB.
(2)存在点F，当AF⊥PC时，直线AF与平面PCD垂直.
证明如下：
由AB⊥AD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝2，
得AC＝CD＝，
所以CD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又AF 平面PAC，所以CD⊥AF.又AF⊥PC，CD∩PC＝C，所以AF⊥平面PCD.在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，∠PAC＝90°，
所以PC＝＝，AF＝＝＝，PF＝＝＝.
所以存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为.
探究点三　二面角的大小
如图，已知SA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，AD∥BC，∠ABC＝90°且SA＝AB＝BC＝2AD，求侧面SDC与侧面SAB所成二面角的正切值.
解：方法一：如图，延长BA，CD交于点E，连接SE，则SE为侧面SDC与侧面SAB所成二面角的棱.
由AD∥BC且BC＝2AD，得AE＝AS＝AB，所以SE⊥SB.由SA⊥平面ABCD，得平面SAB⊥平面ABCD，SA⊥BC.
又∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SE，BC⊥BS，又因为SB∩BC＝B，SB，BC 平面SBC，所以SE⊥平面SBC，即∠CSB为二面角B SE C的平面角.
又在Rt△SBC中，∠SBC＝90°，在Rt△SAB中，SB＝＝＝2AD＝BC，
所以tan ∠CSB＝＝＝.
方法二：如图，分别取SB，BC的中点G，H，连接AG，GH，AH.
由GH∥SC，AH∥DC，得GH∥平面SDC，AH∥平面SDC，又GH∩AH＝H，所以平面AGH∥平面SDC，
所以所求的二面角为平面AGH与平面AGB所成的二面角.
由SA⊥BH，AB⊥BH，AB∩SA＝A，知BH⊥平面SAB，所以BH⊥AG，
又SA＝AB，所以AG⊥GB，又因为GB∩BH＝B，
所以AG⊥平面GBH，所以AG⊥GH，
所以 ∠BGH为所求二面角的平面角.
在Rt△GBH中，GB＝AB＝BC，BH＝BC，
所以tan∠BGH＝＝＝＝.
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
学生用书 第118页
对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°，∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)若AD与平面PBD所成角的正弦值为，求二面角P-BD-C的余弦值.
解：(1)证明：在平面PAB内过点A作AE⊥PB，垂足为E，
因为平面PBA⊥平面PBD，平面PBA∩平面PBD＝PB，AE 平面PAB.
所以AE⊥平面PBD，
又BD 平面PBD，
则AE⊥BD，
过点B，C分别作BM，CN垂直AD于点M，N，AM＝，BM＝，AB＝1，
所以∠DBA＝90°，即AB⊥BD，
因为AB∩AE＝A，且AB，AE 平面PAB，
则BD⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，
所以BD⊥PA，
又PA⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD 平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD；
(2)二面角P-BD-C的平面角与二面角P-BD-A的平面角互补，
由(1)可知，AB⊥BD，PB⊥BD，故∠PBA为二面角P-BD-A的平面角，
在Rt△AED中，∠ADE为AD与平面PBD所成的角，其正弦值为，
所以AE＝，
因为AB＝1，则BE＝，
故cos∠PBA＝，
所以二面角P-BD-C的余弦值为－.
探究点四　垂直关系的综合问题
如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，
CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，
而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直关系的转化
　　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
对点练4.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
(2)求证：直线l⊥AC.
证明：(1)因为AB是☉O的直径，所以AB所对的圆周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF为△PCB的中位线，所以EF∥BC，又因为EF 平面ABC，BC 平面ABC，所以EF∥平面ABC，又因为EF 平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.
学生用书 第119页
1.如图所示，在三棱锥P ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
答案：B
解析：因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
又因为平面ABC⊥平面PAB，PD 平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，
所以PD⊥平面ABC.
2.(多选)如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDF⊥平面ABC
答案：ABC
解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选ABC.
3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有　　　对.
答案：5
解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，且AB∩PA＝A，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5 对.
4.如图，在四棱锥V ABCD中，四边形ABCD是正方形，△VAD是正三角形，平面VAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A VD B的余弦值.
解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.
又平面VAD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面VAD.
(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE，
则AE⊥VD.
由(1)知AB⊥AV，所以∠VAB＝90°.
因为△VAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，
所以由勾股定理，可知BD＝＝＝VB，
所以BE⊥VD，
所以∠AEB就是所求二面角的平面角.
因为AB⊥平面VAD，所以AB⊥AE，
在Rt△BAE中，∠BAE＝90°，AE＝AD＝AB，BE＝ ＝ ＝AB，
所以cos∠AEB＝＝＝＝，
即所求二面角的余弦值为.
课时分层评价32　平面与平面垂直
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.在二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(　　)
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
答案：D
解析：根据题意，l是α与β平面的交线，则根据二面角的定义，若AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β，则∠AOB为二面角的平面角.
故选D.
2.如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m α，m⊥γ，那么必有(　　)
A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β和α⊥γ
答案：A
解析：因为m α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为m⊥γ，β∩γ＝l，所以m⊥l，故选A.
3.如图，正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则(　　)
A.存在点G，使PG⊥EF成立
B.存在点G，使FG⊥EP成立
C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
答案：B
解析：在正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，又因为AO∩CO＝O，所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，因为PG∩BD＝G，所以不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，连接BF，则BF∥PE，因为G是BD上的动点，所以存在点G使FG⊥EP成立，故B正确；在C中，因为G是BD上动点，所以存在点G，使FG⊥平面ACD成立，故C错误；在D中，当G为BD中点时，易证BG⊥平面EFG，即存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选B.
4.已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为(　　)
A.2 B.
C. D.
答案：D
解析：如图所示：
取AC的中点O，过O作OH⊥CD于H，连接BH，OD，
由已知可得，△ABC为等边三角形，故BO⊥AC，
又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO 平面ABC，
所以BO⊥平面DAC，又CD 平面DAC，
则BO⊥CD，
又OH⊥CD，BO∩OH＝O，BO，OH 平面BOH，
则CD⊥平面BOH，又BH 平面BOH，
所以BH⊥CD，
所以∠BHO即为二面角B-CD-A的平面角.
设AB＝1，则OB＝OD＝，OH＝OD＝，
因为OH 平面DAC，BO⊥平面DAC，则BO⊥OH，
所以BH＝＝，
所以cos∠BHO＝＝.
二面角B-CD-A的余弦值为.
故选D.
5.(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A'的位置，此时A'C＝，则(　　)
A.平面A'BD⊥平面BDC
B.平面A'BD⊥平面A'BC
C.平面A'DC⊥平面BDC
D.平面A'DC⊥平面A'BC
答案：AD
解析：在三棱锥A' BDC中，A'D＝A'B＝1，故BD＝，DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B.又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.故选AD.
6.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为　　　.
答案：30°
解析：如图，取BD的中点O，连接OC，OC1，
因为AB＝AD＝2，
所以CO⊥BD，CO＝.
因为CD＝BC，
所以C1D＝C1B，
所以C1O⊥BD.
所以∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角.
tan∠C1OC＝＝＝.
所以∠C1OC＝30°，即二面角C1 BD C的大小为30°.
7.如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①点P到平面ACD1的距离不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确结论的序号是　　　　.(写出所有你认为正确结论的序号)
答案：①②④
解析：连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P 平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确.因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变，故①正确.连接DB，DC1，DP.因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误.因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D 平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D 平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确.
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列判断正确的是　　　　.(写出所有正确的序号)
①平面ABD⊥平面ABC
②直线BC与平面ABD所成角是45°
③平面ACD⊥平面ABC
④二面角C-AB-D余弦值为
答案：②③④
解析：因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，
所以BD⊥CD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面ABD，
又AB 平面ABD，
所以CD⊥AB.
又因为AD⊥AB，AD，CD 平面ACD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥平面ACD.
又因为AB 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ACD.所以③正确.
平面ABD与平面ABC不能垂直，否则将有平面ACD∥平面ABD，
而平面ABD∩平面ACD＝AD，所以①不正确.
因为CD⊥平面ABD.
所以∠CBD即为直线BC与平面ABD所成角，而∠CBD＝45°，
所以直线BC与平面ABD所成角是45°.所以②正确.
因为AB⊥平面ACD，AC 平面ACD，
所以AB⊥AC，
又AB⊥AD，
所以∠CAD或其补角即为二面角C-AB-D的平面角.
因为CD⊥平面ABD，AD 平面ABD，
所以CD⊥AD.
设AD＝1，则CD＝，AC＝，
所以cos∠CAD＝＝.所以④正确.
9.(10分)如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D-ABC.
(1)证明：平面ADE⊥平面BCD；
(2)已知直线DE与平面ABC所成的角为，求二面角A-BD-C的余弦值.
解：(1)证明：在三棱锥D-ABC中，
因为CD⊥BC，CD⊥AC，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
又AE 平面ABC，
所以AE⊥CD，
因为AB＝AC，E为BC中点，
所以AE⊥BC，
又BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD，
又AE 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCD；
(2)由(1)可知∠DEC即为直线DE与平面ABC所成的角，
所以∠DEC＝，
故CD＝CE＝1；由(1)知AE⊥平面BCD，过E作EH⊥BD于H，连接AH，如图所示.
因为AE⊥BD，AE∩EH＝E，AE，EH 平面AEH，
所以BD⊥平面AEH，可知AH⊥BD，
故∠AHE为二面角A-DB-C的平面角.
由△BHE∽△BCD，得＝，
即＝，得EH＝，
所以AH＝，故cos∠AHE＝＝，
所以二面角A-DB-C的余弦值为.
10.(10分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解：(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，因为∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：设F为PC的中点，
则在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE.
因为FE 平面DEF，DE 平面DEF，
EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由题意得PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
11.(5分)已知直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P-BCED，则在翻折过程中，①∠DPE＝∠BPC；②PE⊥BC；③PD⊥EC；④平面PDE⊥平面PBC，不可能成立的结论是(　　)
A.①②③ B.①②
C.③④ D.①②④
答案：D
解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝8，
D，E分别是AB，AC的中点，可得PD＝DB＝6，DE＝4，
由DE⊥PD，DE⊥BD，PD∩BD＝D，可得ED⊥平面PBD，
即有DE⊥PB，又BC∥DE，即有BC⊥PB，
在直角三角形PBC中，tan∠BPC＝＝，
在直角三角形PDE中，tan∠DPE＝＝，
若∠DPE＝∠BPC，可得PB＝12，这与PB＜PD＋BD矛盾，故①不可能成立；
由于BC∥DE，且PE与DE不垂直，则PE与BC也不垂直，则②不可能成立；
当在翻折过程中，平面PED⊥平面BCED，且PD⊥DE，平面PED∩平面BCED＝DE，
可得PD⊥平面BCED，则PD⊥EC，则③可能成立；
由BC∥DE，过P作直线l与BC平行，也与DE平行，可得平面PBC和平面PDE的交线为直线l，
且PB⊥l，PD⊥l，则∠BPD为平面PBC和平面PDE所成角，
由于BD＝PD，则∠BPD不可能为直角，则④不可能成立.
故选D.
12.(15分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0＜λ≤2).
(1)求证：对任意的λ∈(0，2]，都有AC⊥BE；
(2)设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若sin φ＝cos θ，求λ的值.
解：(1)证明：连接BE，BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
因为SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以SD⊥AC，
又SD∩BD＝D，SD 平面SBD，BD 平面SBD，
所以AC⊥平面SBD.
而BE 平面SBD，所以AC⊥BE；
(2)由SD⊥平面ABCD知，∠DBE＝φ，
因为SD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形，
所以CD⊥AD，
而SD∩AD＝D，SD 平面SAD，AD 平面SAD，
所以CD⊥平面SAD.
连接AE，CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF.
由于CD⊥平面SAD，AE 平面SAD，因此AE⊥CD.
又DF∩CD＝D，所以AE⊥平面CDF.
而CF 平面CDF，所以CF⊥AE.
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD＝θ.
在Rt△BDE中，因为BD＝2a，DE＝λa，
所以BE＝，sin φ＝＝.
在Rt△ADE中，因为AD＝a，DE＝λa，
所以AE＝a，从而DF＝＝，
在Rt△CDF中，CF＝
＝a.
所以cos θ＝＝.
因为sin φ＝cos θ，
所以＝，
所以λ∈(0，2]，解得λ＝.

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