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(共61张PPT)
4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
第3课时　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角
　
第4章　4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
学习目标
1.通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理证明一些简单的空间线面关系的问题，培养数学抽象核心素养，发展逻辑推理核心素养.
2.理解点到平面的距离及直线与平面的距离，直线与平面所成角的概念，并会求相关的距离及直线与平面所成的角，培养数学直观想象与数学运算核心素养.
新知形成
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言

作用 ①线面垂直 线线平行，②作平行线
平行
a∥b
点拨　(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论；
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)；
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
知识点二　距离
1.点与平面的距离：过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称____________的长度为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上__________到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离.
点拨　由直线到平面的距离的定义知，可以转化为点到平面的距离，注意前提必须说明直线与平面平行.
垂线段SA
任意一点
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面______，则直线l叫作这个平面α的一条斜线
斜足 斜线l和平面α的________叫作斜足
射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作__________，过________和________的直线AO叫作斜线l在平面α上的射影
相交
垂直
交点A
垂线PO
垂足O
斜足A
有关概念 对应图形
直线与
平面所
成的角 定义：平面的一条______和它在该平面上的______所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是_____
取值
范围 _________
点拨　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
斜线
射影
90°
0°
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行. (　　)
(2)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°. (　　)
(3)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离. (　　)
(4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°. (　　)
自主检测
√
×
×
×
2.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是
A.b∥α B.b α
C.b⊥α D.b与α相交
√
由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
√
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为_______.
返回
合作探究
探究点一　直线与平面垂直的性质应用
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
典例
1
证明线线平行的方法
1.利用线线平行的定义，证共面且无公共点；
2.利用基本事实4，证两直线同时平行于第三条直线；
3.利用线面平行的性质定理，把证线线平行转化为证线面平行；
4.利用线面垂直的性质定理，把证线线平行转化为证线面垂直.
规律方法
对点练1.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.
证明：因为AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，
所以AD⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，
所以AD⊥BC.
连接DE(图略)，又AE⊥BC，AD∩AE＝A，
所以BC⊥平面ADE.
因为D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG，
所以FG⊥AD，FG⊥DE.
又AD∩DE＝D，
所以FG⊥平面ADE，
所以BC∥FG.
典例
2
√
√
求点到平面的距离的两种方法
1.直接法：直接法求点到平面的距离是根据点到平面距离的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段的长度而求得点到平面的距离.
2.转化法：有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时利用转化法将点到平面的距离转化为另一点到平面的距离.
规律方法
典例
3
求直线与平面所成的角的步骤
规律方法
返回
随堂评价
1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于
A.AD B.CD
C.PC D.PD
√
连接AC，BD交于点O.连接NO，MO(图略).
因为四边形ABCD为矩形，
所以AO＝OC.
因为N，O分别为PC，AC的中点，
所以NO∥PA.
因为PA⊥矩形ABCD，所以NO⊥平面ABCD.
又因为CD 平面ABCD，
所以NO⊥CD.
又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MO⊥CD.
又NO∩MO＝O，所以CD⊥平面MNO，
所以CD⊥MN.故选B.
√
3.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为_______.
4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点.
(1)求证：BN⊥平面AMB1；
证明：因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC
且M为BC的中点，所以AM⊥BC.
又BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AM.
又BB1∩BC＝B，
所以AM⊥平面BCC1B1.
又BN 平面BCC1B1，所以AM⊥BN.
因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以BM＝CN＝2，
又BB1＝CB＝4，∠MBB1＝∠NCB＝90°，
所以△MBB1≌△NCB，
所以∠BMB1＝∠CNB，∠BB1M＝∠CBN.
所以∠BMB1＋∠CBN＝∠CNB＋∠CBN＝90°，
所以BN⊥B1M.
又AM∩B1M＝M，所以BN⊥平面AMB1.
返回
课时分层
√
2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是
A.MN∥平面ADD1A1
B.MN⊥AB
C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D.异面直线MN与DD1所成的角为60°
√
√
√
如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知
MN∥A1D.因为A1D 平面ADD1A1，MN 平面ADD1A1，
所以MN∥平面ADD1A1，故A正确.易知AB⊥平面ADD1A1，
A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以
AB⊥MN，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为
A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与DD1所成的角即为A1D与DD1所成的角，为45°，故D错误.故选ABC.
√
√
√
6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，则点A1到直线BC1的距离为______.
如图，取B1C1的中点D，连接A1D，则A1D⊥B1C1，
由直三棱柱的结构特征可知，BB1⊥平面A1B1C1，
A1D 平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1D，又因为BB1∩B1C＝B1，
所以A1D⊥平面BB1C1C，
又BC1 平面BB1C1C，
则A1D⊥BC1，
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是
边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP
与平面PBC所成角的正切值为_______.
2
因为ABCD，CDEF为矩形，
所以ED⊥CD，CD∥AB，所以AB⊥ED，
又因为AB⊥AD，ED∩AD＝D，
所以AB⊥平面AED，所以BA即为所求距离，
因此点B到平面AED的距离为2.
9.(10分)如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明：因为AE⊥平面ABC，所以AE⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACDE，
所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
10.(10分)如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为☉O所在平面外一点，且PA垂直于☉O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AB是☉O的直径，C为圆上一点，所以BC⊥AC.
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
11.(15分)如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB
的中点，连接A1D，DC，A1C.
(1)求证：BC1∥平面A1DC；
证明：如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DE∥BC1，
又DE 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
所以BC1∥平面A1DC.
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解：分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，
所以Q为EF的中点，
在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形，得PN⊥AD.
由DC⊥AD，N是AD的中点，得BN⊥AD.
因为PN∩BN＝N，PN，BN 平面PBN，
所以AD⊥平面PBN，
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
又BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PBN.
返回第3课时　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角
学习目标 1.通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理证明一些简单的空间线面关系的问题，培养数学抽象核心素养，发展逻辑推理核心素养. 2.理解点到平面的距离及直线与平面的距离，直线与平面所成角的概念，并会求相关的距离及直线与平面所成的角，培养数学直观想象与数学运算核心素养.
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行，②作平行线
[点拨]　(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论；
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)；
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
知识点二　距离
1.点与平面的距离：过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离.
学生用书 第108页
2.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离.
[点拨]　由直线到平面的距离的定义知，可以转化为点到平面的距离，注意前提必须说明直线与平面平行.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，则直线l叫作这个平面α的一条斜线
斜足 斜线l和平面α的交点A叫作斜足
射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线l在平面α上的射影
直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在该平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°
取值 范围
[点拨]　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(　　)
(2)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°.(　　)
(3)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离.(　　)
(4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A.b∥α B.b α
C.b⊥α D.b与α相交
答案：C
解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
3.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图，连接AC，由题知AA1⊥平面ABCD，且A1C∩AA1＝A1，所以∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角.设正方体的边长为a，则A1C＝a.在Rt△A1AC中，sin ∠A1CA＝＝.故选D.
4.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为　　　　.
答案：
解析：由于E是BB1的中点，故点B1到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离，如图，过B作BF⊥AE于点F，由于BF⊥AD，AD∩AE＝A，故BF⊥平面ADE.在直角三角形ABE中，AB＝1，BE＝，AE＝，所以·AB·BE＝·AE·BF，解得BF＝，即点B1到平面ADE的距离为.
探究点一　直线与平面垂直的性质应用
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
学生用书 第109页
证明线线平行的方法
1.利用线线平行的定义，证共面且无公共点；
2.利用基本事实4，证两直线同时平行于第三条直线；
3.利用线面平行的性质定理，把证线线平行转化为证线面平行；
4.利用线面垂直的性质定理，把证线线平行转化为证线面垂直.
对点练1.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.
证明：因为AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，
所以AD⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，
所以AD⊥BC.
连接DE(图略)，又AE⊥BC，AD∩AE＝A，
所以BC⊥平面ADE.
因为D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG，
所以FG⊥AD，FG⊥DE.
又AD∩DE＝D，
所以FG⊥平面ADE，
所以BC∥FG.
探究点二　点到平面的距离
(1)正四面体A-BCD的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离是(　　)
A. B.
C. D.a
(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则点M到平面A1B1D的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)B　(2)A
解析：(1)如图，在正四面体A-BCD中，△ABD，△ACD均为正三角形，所以BE⊥AD，CE⊥AD.因为BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BCE，则DE的长即为所求，DE＝＝，故选B.
(2)取D1D的中点N，连接MN.
由题意知，MN∥A1B1.
因为A1B1 平面A1B1D，MN 平面A1B1D，
所以MN∥平面A1B1D，
过点N作NP⊥A1D交A1D于点P.
因为B1A1⊥平面A1ADD1，
NP 平面A1ADD1，
所以A1B1⊥NP，又因为A1D∩A1B1＝A1，
所以NP⊥平面A1B1D，则NP的长即为所求.因为ND＝，所以NP＝，故选A.
求点到平面的距离的两种方法
1.直接法：直接法求点到平面的距离是根据点到平面距离的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段的长度而求得点到平面的距离.
2.转化法：有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时利用转化法将点到平面的距离转化为另一点到平面的距离.
对点练2.如图，已知ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，PA⊥平面ABCD，PA＝2c，Q是PA的中点，连接QB，QD，BD.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.
解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连接QE，因为QA⊥平面ABCD，所以QA⊥BD，又AE∩QA＝A，所以BD⊥平面AEQ，得QE⊥BD，所以QE的长为Q到BD的距离.
在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，所以AE＝.
在Rt△QAE中，QA＝PA＝c，
所以QE＝＝ .
所以Q到BD的距离为 .
(2)因为平面BQD经过PA的中点Q，
所以P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离.在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足.因为BD⊥AE，BD⊥QE，且AE∩QE＝E，所以BD⊥平面AQE.所以BD⊥AH，又BD∩QE＝E，所以AH⊥平面BQD，即AH为A到平面BQD的距离.
在Rt△AQE中，因为AQ＝c，AE＝，
所以AH＝.
所以P到平面BQD的距离为.
探究点三　直线与平面所成的角
如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值.
解：由题意知A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC.
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝.
即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为.
学生用书 第110页
求直线与平面所成的角的步骤
对点练3.自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫作棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥PO模型，经测量底面圆O的直径AB＝48 cm，母线AP＝30 cm，若点C在上，且∠CAB＝， D为AC的中点.
(1)证明：BC∥平面POD；
(2)求直线AP与平面POD所成角的正弦值.
解：(1)证明：如图连接BC，
因为AB为底面圆O的直径，所以O为AB的中点，
因为点D为AC的中点，所以OD∥BC，
因为OD 平面POD，BC 平面POD，所以BC∥平面POD.
(2)因为AB为底面圆O的直径，所以BC⊥AC，
又OD∥BC，则AC⊥OD，
又PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PO⊥AC，
而OD∩PO＝O，且PO，OD 平面POD，所以AC⊥平面POD，即AD⊥平面POD，
所以∠APD是直线AP与平面POD所成角的平面角，
因为AB＝48 cm，AP＝30 cm，∠CAB＝，
所以AD＝AC＝ABcos＝12，
所以在Rt△PAD中，sin∠APD＝＝＝，
所以直线AP与平面POD所成角的正弦值为.
1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于(　　)
A.AD B.CD
C.PC D.PD
答案：B
解析：连接AC，BD交于点O.连接NO，MO(图略).
因为四边形ABCD为矩形，
所以AO＝OC.
因为N，O分别为PC，AC的中点，
所以NO∥PA.
因为PA⊥矩形ABCD，所以NO⊥平面ABCD.
又因为CD 平面ABCD，
所以NO⊥CD.
又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MO⊥CD.
又NO∩MO＝O，所以CD⊥平面MNO，
所以CD⊥MN.故选B.
2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB＝4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成的角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，连接BC1，因为EB⊥平面BB1C1C，所以∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a，则EB＝a，BC1＝4a，所以tan∠EC1B＝＝＝，即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为.
3.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为　　　　.
答案：
解析：因为SA⊥底面ABC，AB，BC 平面ABC，
所以SA⊥BC，SA⊥AB，
又因为∠ABC＝90°，且AB∩SA＝A，
所以BC⊥平面SAB.
在平面SAB中，作DE⊥SB，故BC⊥DE，又因为SB∩BC＝B，
所以DE⊥平面SBC，DE即为所求.
由△BDE∽△BSA，SA＝4，AB＝3，
D为AB的中点，得：
＝，即＝.
解得，DE＝.
4.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点.
(1)求证：BN⊥平面AMB1；
(2)求直线AB与平面AMB1所成角的余弦值.
解：(1)证明：因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC且M为BC的中点，所以AM⊥BC.
又BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AM.
又BB1∩BC＝B，
所以AM⊥平面BCC1B1.
又BN 平面BCC1B1，所以AM⊥BN.
因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以BM＝CN＝2，
又BB1＝CB＝4，∠MBB1＝∠NCB＝90°，
所以△MBB1≌△NCB，
所以∠BMB1＝∠CNB，∠BB1M＝∠CBN.
所以∠BMB1＋∠CBN＝∠CNB＋∠CBN＝90°，
所以BN⊥B1M.
又AM∩B1M＝M，所以BN⊥平面AMB1.
(2)设BN∩B1M＝O，连接AO(图略)，
由(1)可知BO⊥平面AMB1，
所以AO为斜线AB在平面AMB1内的射影，
所以∠BAO为直线AB与平面AMB1所成的角，
连接AN，由题意知AN＝BN＝＝2，
所以△ABN为等腰三角形，
作NE⊥AB交AB于点E，则E为AB的中点，
所以NE＝＝4，
所以AO＝＝＝，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
所以cos∠BAO＝＝＝，
所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为.
课时分层评价30　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角
(时间：60分钟　满分：90分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，即为A1到D1E的距离，易知D1E＝，所以所求距离为＝，故选D.
2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A.MN∥平面ADD1A1
B.MN⊥AB
C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D.异面直线MN与DD1所成的角为60°
答案：ABC
解析：如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN∥A1D.因为A1D 平面ADD1A1，MN 平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1，故A正确.易知AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以AB⊥MN，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与DD1所成的角即为A1D与DD1所成的角，为45°，故D错误.故选ABC.
3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图，延长C1D与CB的延长线交于点E，因为CC1⊥平面ABC，所以C1D与平面ABC所成的角为∠CEC1，又AB＝1， AA1＝，点D是BB1的中点，所以CE＝2，C1E＝＝，在Rt△C1EC中，有cos∠CEC1＝＝＝，即C1D与平面ABC所成角的余弦值为.故选D.
4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，因为△ABC是等边三角形，所以AB⊥CE.又CE∩CC1＝C，所以AB⊥平面CC1E.因为CF 平面CC1E，所以CF⊥AB，又因为AB∩C1E＝E，所以CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求.
在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝，AB＝1，所以C1E＝＝＝，由等面积法得CF＝＝.
5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.1
答案：C
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，由题知D是BC1的中点，所以DE∥CC1，DE＝CC1＝.由题知CC1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
易知AE是斜线AD在底面上的射影，所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成的角.在正三角形ABC中，AE＝，所以直线AD与底面ABC所成角的正切值为＝＝.故选C.
6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，则点A1到直线BC1的距离为　　　　.
答案：
解析：如图，取B1C1的中点D，连接A1D，则A1D⊥B1C1，
由直三棱柱的结构特征可知，BB1⊥平面A1B1C1，A1D 平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1D，又因为BB1∩B1C＝B1，
所以A1D⊥平面BB1C1C，
又BC1 平面BB1C1C，
则A1D⊥BC1，
过D作DF⊥BC1，垂足为F，连接A1F，A1D∩DF＝D，A1D，DF 平面A1DF，
所以BC1⊥平面A1DF，
又A1F 平面A1DF，
所以A1F⊥BC1，即A1F为点A1到直线BC1的距离，
在Rt△BB1C1中，由△C1B1B∽△C1FD，可得C1F＝DF＝C1D＝，
又A1D＝＝，
所以A1F＝＝＝.
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为　　　　.
答案：
解析：作AE⊥BC于点E，由题易知PA⊥BC，又AE∩PA＝A，则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的投影在直线PE上，故∠APE为所求的角.AE＝ABsin 45°＝.
所以tan∠APE＝＝.
8.矩形ABCD和矩形CDEF有一条公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝.则点B到平面AED的距离为　　　　，EF到平面ABCD的距离为　　　　.
答案：2　
解析：因为ABCD，CDEF为矩形，
所以ED⊥CD，CD∥AB，所以AB⊥ED，
又因为AB⊥AD，ED∩AD＝D，
所以AB⊥平面AED，所以BA即为所求距离，
因此点B到平面AED的距离为2.
因为ED⊥AD，AD∩CD＝D，
所以ED⊥平面ABCD，
所以E到平面ABCD的距离为.
因为EF∥平面ABCD，
所以EF到平面ABCD的距离也是.
9.(10分)如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解：(1)证明：因为AE⊥平面ABC，所以AE⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACDE，
所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF(图略).
因为AE⊥平面ABC，CF 平面ABC，所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，分析知CF＝，FE＝，
所以tan∠CEF＝＝＝.
10.(10分)如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为☉O所在平面外一点，且PA垂直于☉O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AB是☉O的直径，C为圆上一点，所以BC⊥AC.
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
(2)如图，过点A作AD⊥PC于点D，因为BC⊥平面PAC，AD 平面PAC，所以BC⊥AD，又PC∩BC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD即为点A到平面PBC的距离.因为∠PBA为PB与平面ABC所成的角，
即∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝2，由AC＝1，可得PC＝.因为AD·PC＝PA·AC，所以AD＝＝，
即点A到平面PBC的距离为.
11.(15分)如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB的中点，连接A1D，DC，A1C.
(1)求证：BC1∥平面A1DC；
(2)求BC1到平面A1DC的距离.
解：(1)证明：如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DE∥BC1，
又DE 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
所以BC1∥平面A1DC.
(2)由(1)知BC1∥平面A1DC，
所以BC1上任一点到平面A1DC的距离都等于BC1到平面A1DC的距离，所以求C1到平面A1DC的距离即可.因为平面A1DC过线段AC1的中点，
所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离.由题意知CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，
所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上.在Rt△A1AD中，A1A·AD＝A1D·AH，解得AH＝a，即BC1到平面A1DC的距离为a.
12.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.
(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解：(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.
因为E，F分别为PD，PA的中点，
所以EF∥AD且EF＝AD，
又因为BC∥AD，BC＝AD，
所以EF∥BC且EF＝BC，
即四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF，
又CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，
所以Q为EF的中点，
在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形，得PN⊥AD.
由DC⊥AD，N是AD的中点，得BN⊥AD.
因为PN∩BN＝N，PN，BN 平面PBN，
所以AD⊥平面PBN，
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
又BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.
则MH是MQ在平面PBC上的射影，
所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD＝1，
在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝，得CE＝，
在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝，得QH＝，
在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝CE＝，
所以sin∠QMH＝，
所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.

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