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(共61张PPT)
4.5　几种简单几何体的表面积和体积
　
第4章　立体几何初步
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，培养直观想象及数学运算核心素养.
新知形成
知识点一　几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
知识梳理
几何体 直观图 侧面展开图 侧面积
直棱柱 S直棱柱侧＝_____.
(其中C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高)
正棱锥 S正棱锥侧＝_______.
(其中C为正棱锥的底面周长，h'为侧面等腰三角形的高)
正棱台 S正棱台侧＝____________.(其中C，C'为棱台两底面的周长，h'为棱台侧面的高)
Ch
几何体 直观图 侧面展开图 侧面积
圆柱
S侧＝Ch＝2πrl
圆锥

圆台

知识点二　锥体、台体、柱体的高
定义 图示
锥体的高 锥体(棱锥、圆锥)的顶点到底面的距离

______为棱锥P-ABCD的高
台体或柱
体的高 台体(棱台、圆台)或柱体(棱柱、圆柱)的两底面之间的距离

________为棱台ABCD-A'B'C'D'的高
PO
OO'
知识点三　几种简单几何体的体积
几何体 体积
柱体 V柱＝_____.(其中S为柱体的底面积，h为棱柱的高)
锥体 V锥＝_____.(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)
台体 V台＝_______________.(其中S'，S分别为台体的上、下底面积，h为台体的高)
圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h(圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h)
圆锥
圆台
Sh
点拨　1.柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间的关系如下：
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
4πR2
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (　　)
(2)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等. (　　)
(3)锥体的体积等于底面面积与高之积. (　　)
(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. (　　)
(5)球的体积之比等于半径比的平方. (　　)
自主检测
×
×
×
√
×
√
√
4.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的_______倍.
返回
合作探究
典例
1
　　求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得其表面积.
规律方法
典例
2
求几何体体积的常用方法
规律方法
√
对点练3.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)
A.1 946立方尺 B.3 892立方尺
C.7 784立方尺 D.11 676立方尺
√
典例
3
球的体积与表面积的求法及其注意事项
1.要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
2.半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
规律方法
√
典例
4
6或54
规律方法
规律方法
对点练5.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建
筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，
其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体
分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方
形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器(容器壁的厚度忽略不计)的体积的最小值为__________.
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随堂评价
√
√
3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝ 4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g.
118.8
返回
课时分层
1.长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为
A.12 B.24
C.28 D.32
√
√
√
√
√
6.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_______.
10
√
12.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x＝6 cm时，该容器的容积为______cm3.
48
返回4.5　几种简单几何体的表面积和体积
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，培养直观想象及数学运算核心素养.
知识点一　几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
几何体 直观图 侧面展开图 侧面积
直棱柱 S直棱柱侧＝Ch. (其中C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高)
正棱锥 S正棱锥侧＝Ch'. (其中C为正棱锥的底面周长，h'为侧面等腰三角形的高)
正棱台 S正棱台侧＝(C＋C')h'.(其中C，C'为棱台两底面的周长，h'为棱台侧面的高)
圆柱 S侧＝Ch＝2πrl
圆锥 S侧＝Cl＝πrl
圆台 S侧＝(C＋C')l＝π(r'＋r)l
学生用书 第120页
[点拨]　1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系
当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；
当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥.
由此可得：S正棱柱侧＝ChS正棱台侧＝(C＋C')h'S正棱锥侧＝Ch'(其中C'、C为底面周长，h为高，h'为斜高).
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
知识点二　锥体、台体、柱体的高
定义 图示
锥体的高 锥体(棱锥、圆锥)的顶点到底面的距离 PO为棱锥P-ABCD的高
台体或柱 体的高 台体(棱台、圆台)或柱体(棱柱、圆柱)的两底面之间的距离 OO'为棱台ABCD-A'B'C'D'的高
知识点三　几种简单几何体的体积
几何体 体积
柱体 V柱＝Sh.(其中S为柱体的底面积，h为棱柱的高)
锥体 V锥＝Sh.(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)
台体 V台＝(S＋＋S')h.(其中S'，S分别为台体的上、下底面积，h为台体的高)
圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h(圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h)
圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h(圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h)
圆台 V圆台＝h(S＋＋S')＝πh(r2＋rr'＋r'2)(圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h)
[点拨]　1.柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间的关系如下：
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
知识点四　球的表面积与体积
若球的半径为R，则
(1)S球＝4πR2；
(2)V球＝πR3.
[点拨]　由公式来看，球的表面积和体积是由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数.
知识点五　几个与球有关的切、接常用结论
1.设正方体的棱长为a，球的半径为R.
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
学生用书 第121页
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(　　)
(2)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.(　　)
(3)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)
(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.(　　)
(5)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　)
A.3a2 B.2a2
C.a2 D.4a2
答案：C
解析：S＝4××a×a＝a2.
3.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)
A.2倍 B.2倍
C.倍 D.3倍
答案：B
解析：设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.
4.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的　　　　倍.
答案：
解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝＝.
探究点一　棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
已知正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.
解：如图所示的正四棱锥P ABCD，其中E为BC的中点.
由题意可知OE＝2，∠OPE＝30°，
所以PE＝＝4，
因此，正四棱锥的侧面积S侧＝×4×4×4＝32，正四棱锥的表面积S表＝S侧＋S底＝32＋4×4＝48.
　　求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得其表面积.
对点练1.已知正四棱台两底面边长分别为3和9.若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.
解：由题意知，棱台的两底面面积之和为S上底＋S下底＝32＋92＝90.
设棱台的斜高为h斜，则(3＋9)×h斜×4＝90，
所以h斜＝，所以棱台的高为 ＝.
探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M＝MB1，A1N＝2ND1，A1P＝3AP，试求三棱锥A1 MNP的体积.
解：＝＝··A1M·A1N·A1P＝··a·a·a＝a3.
学生用书 第122页
求几何体体积的常用方法
对点练2.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为(　　)
A.16 B.8
C.4 D.
答案：B
解析：因为D为棱AA1的中点，所以BD＝DC1.由题意，得BD·DC1＝6，得BD＝2，所以BC1＝2，由进一步可得CC1＝4，BC＝2，所以三棱柱的体积为×2×2××4＝8.
对点练3.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)(　　)
A.1 946立方尺 B.3 892立方尺
C.7 784立方尺 D.11 676立方尺
答案：B
解析：如图所示，用平行于平面ABCD的平面截四棱锥P ABCD后得到正四棱台ABCD A'B'C'D'，设顶点P在平面ABCD、平面A'B'C'D'内的射影分别为O，O'，过P作PH⊥AB于点H，PH交A'B'于点H'，连接O'H'，OH，则AB＝20尺，A'B'＝6尺，PO＝30尺，则＝，即＝，解得OO'＝21尺，所以该正四棱台的体积V＝×21×(202＋20×6＋62)＝3 892(立方尺)，故选B.
探究点三　球的表面积与体积
用两个平行平面去截半径为R的球，两个截面圆的半径分别为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离d＝27 cm，求该球的表面积和体积.
解：设垂直于两截面且过球心的圆面交两截面圆于A1B1，A2B2，球心为O，两截面圆的圆心分别为O1，O2，则O，O1，O2在同一条直线上，如图.
设OO1＝d1，OO2＝d2，当两截面圆位于球心O的同一侧时，有又d1，d2，R均大于0，
所以该方程组无解.
当两截面圆位于球心O的两侧时，有解得R＝25.
所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，
V球＝πR3＝×π×253＝π(cm3).
球的体积与表面积的求法及其注意事项
1.要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
2.半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
对点练4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意，得r＝，d＝，所以≈ ，解得V＝.
探究点四　与球有关的切接问题
已知四棱锥P ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为3的正方形，四棱锥的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P ABCD的体积为　　　　.
答案：6或54
解析：设球的半径为R.若球心O位于四棱锥的内部，如图，
连接AC，BD交于点E，连接BO，
则E在直线PO上，PO＝BO＝R，
所以BE＝BD＝＝3，又R＝5，
所以OE＝＝＝4，
所以PE＝R＋OE＝5＋4＝9，
所以四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×PE＝×18×9＝54.
若球心位于四棱锥的外部，则PE＝R－OE＝5－4＝1，
所以四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×PE＝×18×1＝6.
综上，四棱锥P ABCD的体积为6或54.
学生用书 第123页
与球有关的切接问题的一般处理方法
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).
2.长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图(2).
3.正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
对点练5.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器(容器壁的厚度忽略不计)的体积的最小值为　　　　.
答案：28π
解析：本题可转化为求长、宽、高分别为8，4，2的长方体的外接球，由题意，该球形容器的半径最小为＝，则该球形容器的体积的最小值为)3＝28π.
1.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设正方体棱长为a，球半径为R，
由6a2＝4πR2得＝ ，
所以＝＝＝.
2.已知高为3的棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1 ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为S△ABC＝×1×1×＝，
所以＝·S△ABC·AA1
＝××3＝.
3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　　　g.
答案：118.8
解析：由题易得长方体ABCD A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
4.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面过棱CC1到点M的线段中最短为，设这条最短路线与CC1的交点为N.
求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长.
解：(1)三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.
(2)如图，将侧面BB1C1C展开，使其与侧面AA1C1C在同一平面上，延长MN交AC的延长线于P1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面过棱CC1到点M的最短路线.
设PC＝x，则P1C＝x.
在Rt△MAP1中，(3＋x)2＋22＝29，得x＝2，
所以PC＝P1C＝2.
所以＝＝，所以NC＝.
课时分层评价33　几种简单几何体的表面积和体积
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为(　　)
A.12 B.24
C.28 D.32
答案：C
解析：设长方体底面矩形的长与宽分别为a，b，则ab＝12.又由题意知×2＝10，解得a＝4，b＝3或a＝3，b＝4.故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28.故选C.
2.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为(　　)
A. B.12
C.8 D.4
答案：B
解析：如图所示，
在正四棱锥S ABCD中，取BC中点E，连接SE，则△SBE为直角三角形，所以SE＝＝＝2，所以表面积S＝S正方形ABCD＋4×S△SBC＝2×2＋4××2×2＝12.故选B.
3.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案：C
解析：如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，
所以DE＝OD－O1D1＝a.
在Rt△DED1中，D1E＝a，
则D1D＝
＝ ＝a.
所以S侧＝3×(a＋2a)a＝a2.故选C.
4.已知AB，CD是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　)
A.2＋4＋2 B.2＋2＋2
C.2＋2＋4 D.2＋4＋4
答案：A
解析：由所给正方体的展开图得到直观图，如图：
则几何体ABCD为三棱锥，此三棱锥的表面积为：S△BCD＋S△ABC＋S△ADC＋S△ABD＝×2×2＋×2×2＋×2×2＋×2×2×＝2＋4＋2.故选A.
5.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案：A
解析：设球的半径为R cm，根据已知条件，知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，
所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，
所以球的体积为V＝πR3＝π×53＝(cm3).
6.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是　　　　.
答案：10
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的体积为abc＝120，三棱锥E-BCD的体积为S△BDC×c＝×ab×c＝abc＝10.
7.张衡(78年～139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家、地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为－1，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为　　　　.
答案：4
解析：设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为r＝，正方体的外接球半径R满足：R2＝＋，则R＝a.由题意知R－r＝a－＝－1，则a＝2，R＝，r＝1，该正方体的内切球的表面积为4π，因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即＝，所以π＝，所以内切球的表面积为4.
8.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为　　　　，表面积为　　　　　　　　.
答案：　2＋2＋2
解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，
所以长方体的体积V＝abc＝，
表面积为S＝2＋2＋2.
9.(15分)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1 AB1D1的高.
解：设三棱锥A1 AB1D1的高为h，
则＝h××(a)2＝.
又＝＝a×a2＝，
所以＝，所以h＝a，
所以三棱锥A1 AB1D1的高为a.
10.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，三角形ABC和三角形BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD＝2a，若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N，求最短路线的长.
解：有四种展开形式：
(1)沿AC把平面ABC和平面ACD展成一个平面图形，此时相对短的路线是线段MN.
延长DC，与过点M且与AC平行的直线交于点P，PM与BC相交于点Q.
因为M为AB的中点，所以Q为BC的中点，MQ＝AC＝a，QC＝a，因为AC2＋CD2＝AD2，所以∠ACD＝90°，又MP∥AC，所以∠QPC＝90°.
在Rt△QPC中，∠QCP＝90°－60°＝30°，
PC＝a，PQ＝a.
在Rt△ACD中，AD＝2a，CD＝2a，CN＝a，
在Rt△MPN中，MP＝MQ＋QP＝a，PN＝PC＋CN＝a.
于是MN＝＝a.
(2)沿BD把平面ABD和平面BDC展成一个平面图形，与(1)类似可以推得MN＝ a.
(3)沿BC把平面ABC和平面BDC展成一个平面图形，构成菱形ABDC，
则MN∥BD，MN＝BD，所以MN＝2a.
(4)沿AD把平面ACD和平面ABD展成一个平面图形，构成正方形ABDC，此时MN＝2a.
因为4＋＞4，所以a＞2a.
所以最短路线的长为2a.
(11、12每小题5分，共10分)
11.已知正方体ABCD A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论不正确的是(　　)
A.该正方体外接球的直径为2
B.该正方体内切球的表面积为4π
C.若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D.该正方体外接球的体积为4
答案：D
解析：若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线长，即2R＝＝2，故A正确，外接球体积为πR3＝4π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R＝1，球的表面积为4πR2＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形的对角线长，即2R＝＝2，球的半径为R＝，故C正确.
12.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x＝6 cm时，该容器的容积为　　　　cm3.
答案：48
解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5 cm，高PO＝＝＝4(cm)，所以所求容积为V＝×62×4＝48(cm3).

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