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一轮复习05 镶嵌函数及零点问题
解题方法及技巧提炼 2
解题方法及技巧提炼 2
题型一：“与”型无参数型 2
题型二：“与”解析式含参型 6
题型三：“与”零点方程含参型 10
题型四：“”或者“”型 14
题型五：“”或“”型 16
题型六：二次镶嵌型因式分解 20
题型七：二次镶嵌型根的分布 23
题型八：类周期型的零点问题 26
题型九：高斯取整型的零点问题 29
重难专题分层过关练 32
巩固过关 32
创新提升 39
一、解决镶嵌函数的零点问题
核心是先拆解 “镶嵌” 结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如中，为外层，为内层），将镶嵌函数零点问题转化为 “外层函数零点→内层函数方程解” 的两步问题。
先求外层函数的所有解；再分别求解内层方程，统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。
若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程解的个数与参数的关系，进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。
二、解决类周期函数的零点问题
首先需明确其“放大/缩小”与“平移”特性：先判断函数是从左往右还是从右往左进行“放大/缩小”，同时关注变换过程中是否伴随上下平移，这直接决定函数图像的延伸方向与位置。
分析零点时，先找出基础周期内的零点分布，再依据类周期变换规则，推导后续区间内的零点情况，特别注意变换过程中是否存在函数值为0的点（即零点是否因变换而保留或消失）。
若涉及参数求临界值，需结合函数图像的“切线”状态分析，通过求导确定函数在变换关键点的斜率，避免因计算失误导致临界条件判断偏差，最终结合零点存在性定理统计零点个数，匹配题目要求求解。
题型一：“与”型无参数型
典例1-1．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
典例1-2．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【详解】设，则，
若，则，解得或，
则或，
当时，，不合题意，
则，或，
解得，此时方程仅一个根；
若，则，解得或，即或，
当时，或，
方程即在仅一个根，
方程，即，
，且，，两根均为负，合题意，
当时 ，，解得或，方程有两根，
综上，方程的实根个数为6.
故选：C.
变式1-1．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【答案】D
【详解】因为，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，；
当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又；
作出函数的图象，如图所示：
令，则有，
易得此时有4个解，分别为，，，，
结合图象可得：
当时，即，此时有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
所以原方程共有个解．
故选：D
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，画出函数图象，结合图象求解.
变式1-2．已知函数，则函数的零点个数为 .
【答案】7
【详解】函数的零点个数即为方程的根的个数，
令，则，
如图所示，
，
则，
作出的图像，如图所示，
，
则一共有7个交点，所以方程有7个根，
即函数零点个数为7，
故答案为：7
【点睛】方法点睛：嵌套函数的常用解决方法为设，然后对函数图像二次利用（或者画两个），将分别作为横坐标和纵坐标通过图像来解决根的相关问题.
题型二：“与”解析式含参型
典例2-1．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】⑴ 当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，函数图象如下：
令，，解得或，
即或，根据图象有2个解，有1个解，
所以此时有3个零点，不符合题意；
当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：
令，，解得或或，
根据图象有2个解，有3个解，
又有8个零点，所以要有3个解，
即，解得，
故选：D.
典例2-2．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，可得；
当时，可得，当且仅当时，等号成立，
即函数有且仅有1个零点1，
若函数有零点，则，
显然，可得，
假设方程有根，可知方程有两个不相等根，
设为，且，
则，可得，即，
假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为，
结合题意可知：方程有根，方程无根，
即与无交点，与有2个交点，
结合图象可知：或，解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
变式2-1．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为
【答案】
【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；当时，有3个解；
当时，有1个解；因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况：
有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即 ，解得，
有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，.综上所述，的取值范围为.
故答案为：
变式2-2．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】
由题可得函数图象，
当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，
设为，则存在下列几种情况：
有2个解，有4个解，即或，显然，
则此时应满足，即，解得，
有3个解，有3个解，设即，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型三：“与”零点方程含参型
典例3-1．已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有10个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵函数为上的奇函数，当时，
令，则，则，
又
∴，则，
设，作出函数的图象，由图知：
对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意；
对于B，当时，函数没有实数根，不满足题意；
对于C，当时，函数有六个根，
其中,，，，，；
作出与、、、、与的图象，如图，
显然这6个函数与恰有10个交点，则有10个不同的解，故C正确；
对于D，当时，函数有两个根，其中，，
与选项C同理可知与、各有一个交点，
则只有2个不同的解，不满足题意，故D错误．
故选：C．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
典例3-2．已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，，则，
∵在上单调递减，∴在上单调递减，
∵，满足，∴在上单调递增，
∵，，，，，
由得，，
令，则，令则，
图象如图所示，结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间，故，
又∵，∴
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把问题转化为中需提供一个根，且该根位于之间，数形结合可求出实数的取值范围.
变式3-1．（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，有1个零点
B．当时，有4个零点
C．可能有6个零点
D．当的零点个数最多时，的取值范围为
【答案】BCD
【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图，
当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误；
B：当时，设方程的解为，，易得，，
则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确.
C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确.
D：当时，设方程的解为，，，易得，，，
则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解，
当有个解时，则，即，
所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
变式3-2．已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，
且，故当时，方程有2个不同的解.

则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点，因为时，，当且仅当，即时等号成立，
故可作出函数，的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数，的图象与的图象有2个不同的交点.
故实数的范围为.
题型四：“”或者“”型
典例4-1．设函数．若方程有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．，
【答案】A
【详解】设，则，则方程等价为，即，
，即，在时有解，
即，在时成立，
设，
当时，取得最大值，
，即，
故选：．
变式4-1．（多选）若和都是上的函数，且方程有实数解，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】设方程有实数解，则，
因为和都是上的函数，所以有，
令，则有，从而可知方程至少有一个解是，
对于A，令，此方程有解，故A符合题意；
对于B，令，此方程无解，故B不符合题意；
对于C，令，此方程有解，故C符合题意；
对于D，令，此方程有解，故D符合题意．
故选：ACD.
变式4-2．（多选）若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】设有实数解，则，
因为和都是R上的函数，
所以有，再令，
则有，从而可知至少有一个解是，
对于A，由，此方程有解，故A正确；
对于B，由，此方程无解，故B错误；
对于C，由，此方程有解，故C正确；
对于D，由，此方程有解，故D正确；
故选：ACD.
题型五：“”或“”型
典例5-1．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】当时，易知单调递增，则；
当时，，则，
令，解得，令，解得，
当时，，令，
令，由函数与函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，所以，
故函数在上无零点；
当时，，
令，则，化简可得，
，由对称轴，
当时，，当时，，
所以方程在有两个不相等的实数根，
故函数在上有两个零点；
当时，，令，
整理可得，易知该函数在上单调递减，则，
可得，由函数与函数在上单调递增，
则在上单调递增，所以，
故在上无零点.
综上所述，函数在其定义域内有两个零点.
故选：C.
典例5-2．已知函数，，则 ，若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 .
【答案】 1
【详解】，则
令，则的实根个数即
函数与函数图像交点个数
当时，函数与函数图像有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数图像有2个交点，
即或，则或或，
则方程有3个根，且3根和为3，不符合题意；
当时，函数与函数图像有2个交点，
即或，
函数与函数无交点，不符合题意；
函数与函数有4个交点，且4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4根和为4，符合题意
综上，实数m的取值范围是
故答案为：1；
变式5-1．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
【答案】
【详解】作出大致图象如下：
若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；
令，则，可得，
且，
结合图象可知方程的一个根，另一个根，
当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，
当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，
综上所述：共有4个零点.
故答案为：；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
变式5-2．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
题型六：二次镶嵌型因式分解
典例6-1．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原方程可化为，
而的解为或或，若，则或或，
由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解，
当时，，此时有3个实数解，不合题意．
当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然．
当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时，
注意到，且，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
典例6-2．已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知：为单调函数，
当时，单调递减;
故当时，也是单调递减，故
要确保在R上单调递减，则，
解得：，
所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为
当时，，
又在上单调递减，，
所以，
即在上的值域为
令，则或3，
即或，
要使得有4个不同的实数解，
则，
解得：
综上，实数a的取值范围为：，即
故选：C.
变式6-1．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意作出函数的图像，
由，令，有，
即，化简得，
解得或，若方程有且仅有5个不同实数根，
所以或，解得或，
即，所以，
故答案为：.
变式6-2．已知函数.
(1)判断并用定义证明在上的单调性；
(2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【详解】（1）在上单调递增.
证明如下：当时，.设，
则.
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）的图象如图所示.
因为函数恰有4个零点，
所以方程恰有4个解.
即或共有4个解.
由图知，且或或，
解得或或，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：，第2小问的解题关键为：将函数有4个零点转化为方程有4个实根，进一步转化为函数的图象与直线及有4个交点，数形结合求解即可.
题型七：二次镶嵌型根的分布
典例7-1．已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图．
令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根；
当时，关于的方程无实数根；
当或时，关于的方程只有1个实数根．
因为关于的方程有3个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在内，
另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内．
当为方程的根时，，且方程的另一根为．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
当为方程的根时，有，则或．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．
令，
则即解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B.
变式7-1．已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图像，如图所示，

有，，
当时，令，即，
设为方程的两个根，且，
由于，则有，
当时，，则必有，
则必包含在不等式的解中，由图可知的解为，
此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，
当时，，
由图象可知，当时，对应的值唯一，
因为的解恰有一个整数，所以这个整数为，
则，当时，有最小值为，即有最大值为，
当时，，此时，
即；
故答案为：.
变式7-2．设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出函数的图象，如图，
令，则方程化为，
由韦达定理可知该方程的两根之积为3，
要使关于的方程恰好有有5个零点，
则方程有5个不同的实数解，
结合图象可知，，，此时方程有4个不同的实数解，不合题意；
，，此时方程有6个不同的实数解，不合题意；
当，，虽说满足方程有5个不同的实数解，但是无解；
所以，，
此时方程在和内各有一个实数根，
令，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型八：类周期型的零点问题
典例8-1．已知函数若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】当时，；当时，；
又时，，所以可作出函数在的图像如下：
函数在区间内有3个零点，
所以函数与在区间内有3个不同交点，
由图像可得或,即或.
故选：C.
典例8-2．定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】当时，，且，
则当时，，
当时，，
当时，，
可作出与的图像：
函数的零点即与的交点，故在上的零点个数为7.
故选：C
变式8-1．已知函数，若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，结合图象可知要使方程在区间有3个不等实根，则直线应位于与之间或直线的位置，再计算即可得实数的取值范围．
【详解】解：由，
作出函数在区间上的图象，如图所示，
设，由图象可知要使方程在区间有3个不等实根，
则直线应位于与之间或直线的位置，
所以实数的取值范围为或．
故答案为：．
【点睛】本题考查分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
变式8-2．定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为当时，，所以，
因为，当时，即时，
由，所以，
同理可得
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，
对任意，都有，则
故的取值范围为，
故答案为：
题型九：高斯取整型的零点问题
典例9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，使，则，
于是，，
若k为奇数，则，，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得；
若k为偶数，则，则，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得，
所以所有大于零的解之和为.
故选：D
【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
典例9-2．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有 个.
【答案】
【详解】由题意，则，
所以，
令，则，所以，
由可得，解得或，
由可得，解得，
所以，或，
当时，，此时，，
由可得或（舍去）；
当时，，此时，，
由可得或（舍去）；
又因为，
综上所述，函数的零点有个.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可.
变式9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由，得，因为，所以，
令，，画出两图象如图所示，
由图象结合题意得，即，
即的取值范围是.
故答案为：
变式9-2．高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].如记函数 ，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，得，
在同一坐标系中画出与的图象，
因为 有两个零点，故需与的图象有两交点，
由图象知，当时，函数与的图象有两个交点，
即函数有两个零点，
故实数a的取值范围为,
故答案为：
巩固过关
1．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数的零点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为函数在上单调递增，且，，
则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.
故选：B.
2．已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】令，则恰有个零点，
等价于有三个不同的解，，，
且对应有个实数根，
由函数的图象，如图，
所以，，
要满足有个实数根，则需
即，解得．
故m的取值范围为．
故答案为：．
3．高斯函数也称取整函数，记作，其中是指不超过的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】令，则，即，
令，，则与的交点个数即为的零点个数，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
……
注意到，，，
所以可作出与的图像如图，
.
所以与有两个交点，故的零点个数为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对进行分类讨论，从而将具体化，得到的解析式，从而作出图像得解.
4．（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．在R上为增函数
D．函数在区间有12个零点
【答案】AB
【详解】
画出的图象，
根据“高斯函数”的定义，故 A正确；
由图象可得函数的值域为，故B正确；
由图象可得在R上不是增函数，故C错误；
由函数在区间有13个零点，故D错误.
故选：AB.
5．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】或
【详解】当时，由得，解得或，
当时，由得，解得（舍），
作出的图象，如图，
由得或，
即或，
当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符；
当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意；
当，即时，有两个实根，此时，少有两个实根，不符合题意；
当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意：
当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，
符合题意：
当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意
综上所述，有3个零点时，或.
【点睛】方法点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的问题．
6．已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】函数的零点，
即方程和的根，
函数的图象如下图所示：

由图可得方程和共有5个根，
即函数有5个零点，
故选：A
7．（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由得或，
根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，，
并在同一坐标系中画出，与图象有个交点，
要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合，
根据图象可知且，解得且，所以ACD符合，
故选：ACD.
8．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数满足，且当时，
当时，可得；
当时，可得，
所以在区间上，可得，
作函数的图象，如图所示，
所以当时，，
故选：B.

9．已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
故或，
令，则或，故或，
故有3个不同的解，且解异于.
故有一个解且有两个解且解不为，
故，且，，解得.
故选：B.
【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可.
10．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数恰有5个零点，
得方程有5个根，
在平面直角坐标系中作出函数的图象，

令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点，
当时，直线与的图象有2个交点，
令，
由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，，
因此或，解得或，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
创新提升
1．（多选）设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．当时，
D．方程在实数范围内有9个不同的实数根
【答案】BCD
【详解】由于，
所以，
由此画出函数图象如下图所示，
由图可知，是非奇非偶函数，A选项错误；
是周期为1的周期函数，B选项正确；
当时，，C选项正确；
方程在实数范围内的实数根的个数可以转化为与交点的个数，
如图可得方程在实数范围内有9个不同的实数根，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：解题的主要方法是图象法数形结合得出函数的奇偶性及根的个数.
2．已知函数，则 ；若恰有三个不同的零点，，，则 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
当时，，
又，
所以函数为偶函数，
所以函数图象关于轴对称，故函数图象关于直线对称，
当时，，
，
令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
当时，，当，且时，，
所以函数的图象如下：

设，由图象可得
当时，方程的根为，
当时，方程有两个根，
当时，方程有四个根，
当或时，方程没有根，
因为函数有个不同的零点，
所以方程有个不同的根，
所以方程有两个根或，
不妨设，
则的根为，，
方程的根为，，，，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析函数的性质，作出函数的图象，结合图象分析的解与的关系，由此将条件转化为方程的解为或，再结合图象求方程的根，由此可得结论.
3．（多选）已知函数函数，则（ ）
A．
B．
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
【答案】ACD
【详解】AB选项，画出的图象，如下：
不妨设，则，
要想使得，只需考虑，
令，解得，
令，解得，
且，故不存在，使得，B错误，A正确；
C选项，，
恒成立，即，
恒成立，
由函数图象可知，要想恒成立，
需满足，解得，
则实数的取值范围是，C正确；
D选项，若，令，
即，故或，
显然对应两个解，，令得，
对应三个解，即，
且，，
故，
则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
故选：ACD
【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
4．已知函数，则函数的零点个数不可能为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【详解】令得，
令，则，
其中，
当时，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，为单调递增函数，，
令得，令得，
故当时，有三个解，
分别为，，，
其中，画出图象如下：
令，若，则有0个零点，
若，则有1个零点，
若，则有两个零点，
观察图象，与均有两个零点，
综上，的零点个数可能为，
可能为，可能为，
当时，有2个解，分别为，，
观察图象，与均有两个零点，
此时共有4个零点，
综上，不可能为3个零点.
故选：A
5．设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为,
所以，即，
整理得．
因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解.
令，
则函数与的图象有两个交点.
①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意；
②当时，易知，且，
令,得,
，令,
得,
若与的图象有两个交点，需满足，解得．
③当时，易知．
由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
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一轮复习05 镶嵌函数及零点问题
解题方法及技巧提炼 2
解题方法及技巧提炼 2
题型一：“与”型无参数型 2
题型二：“与”解析式含参型 3
题型三：“与”零点方程含参型 3
题型四：“”或者“”型 4
题型五：“”或“”型 4
题型六：二次镶嵌型因式分解 5
题型七：二次镶嵌型根的分布 6
题型八：类周期型的零点问题 6
题型九：高斯取整型的零点问题 7
重难专题分层过关练 7
巩固过关 7
创新提升 9
一、解决镶嵌函数的零点问题
核心是先拆解 “镶嵌” 结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如中，为外层，为内层），将镶嵌函数零点问题转化为 “外层函数零点→内层函数方程解” 的两步问题。
先求外层函数的所有解；再分别求解内层方程，统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。
若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程解的个数与参数的关系，进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。
二、解决类周期函数的零点问题
首先需明确其“放大/缩小”与“平移”特性：先判断函数是从左往右还是从右往左进行“放大/缩小”，同时关注变换过程中是否伴随上下平移，这直接决定函数图像的延伸方向与位置。
分析零点时，先找出基础周期内的零点分布，再依据类周期变换规则，推导后续区间内的零点情况，特别注意变换过程中是否存在函数值为0的点（即零点是否因变换而保留或消失）。
若涉及参数求临界值，需结合函数图像的“切线”状态分析，通过求导确定函数在变换关键点的斜率，避免因计算失误导致临界条件判断偏差，最终结合零点存在性定理统计零点个数，匹配题目要求求解。
题型一：“与”型无参数型
典例1-1．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
典例1-2．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
变式1-1．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
变式1-2．已知函数，则函数的零点个数为 .
题型二：“与”解析式含参型
典例2-1．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
典例2-2．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
变式2-1．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为
变式2-2．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 .
题型三：“与”零点方程含参型
典例3-1．已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有10个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
典例3-2．已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，有1个零点
B．当时，有4个零点
C．可能有6个零点
D．当的零点个数最多时，的取值范围为
变式3-2．已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.
题型四：“”或者“”型
典例4-1．设函数．若方程有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．，
变式4-1．（多选）若和都是上的函数，且方程有实数解，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式4-2．（多选）若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型五：“”或“”型
典例5-1．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
典例5-2．已知函数，，则 ，若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 .
变式5-1．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
变式5-2．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
题型六：二次镶嵌型因式分解
典例6-1．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例6-2．已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
变式6-2．已知函数.
(1)判断并用定义证明在上的单调性；
(2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围.
题型七：二次镶嵌型根的分布
典例7-1．已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 .
变式7-2．设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是 ．
题型八：类周期型的零点问题
典例8-1．已知函数若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
典例8-2．定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式8-1．已知函数，若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为 ．
变式8-2．定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ．
题型九：高斯取整型的零点问题
典例9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ）
A． B． C． D．
典例9-2．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有 个.
变式9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
变式9-2．高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].如记函数 ，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为 .
巩固过关
1．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数的零点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为 ．
3．高斯函数也称取整函数，记作，其中是指不超过的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．在R上为增函数
D．函数在区间有12个零点
5．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
6．已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
创新提升
1．（多选）设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．当时，
D．方程在实数范围内有9个不同的实数根
2．已知函数，则 ；若恰有三个不同的零点，，，则 ．
3．（多选）已知函数函数，则（ ）
A．
B．
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
4．已知函数，则函数的零点个数不可能为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
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