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29.2.2 圆心角
人教版(2024)九年级上册
第二十九章 圆
学习目标
1
理解圆心角的定义，探究圆的旋转不变性
2
探究弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决相关问题
旧识回顾
圆的性质有哪些？
①圆是轴对称图形，并且有无数条对称轴
什么是垂径定理及它的推论？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知二推三】
圆还有其他性质吗？
这就是我们本节课所要探究的内容
探索新知
圆心角
·
我们把顶点在圆心的角叫作圆心角.
O
B
A
∠AOB 为圆心角，圆心角∠AOB 所对的弦为 AB，所对的弧为 .
注意：一条弧所对的圆心角只有一个 .
探索新知
练一练：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角
(后面会学到)
圆心角
探索新知
将圆绕圆心旋转 180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究
.
O
A
B
180°
所以圆是中心对称图形，
圆心就是它的对称中心
探索新知
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
探究
O
α
·
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合，
即圆是旋转对称图形.
利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系.
探索新知
思考
在☉O 中，当圆心角∠AOB＝∠A'OB' 时，它们所对的弧 和，弦 AB 和 A'B' 相等吗？
O
A
B
A'
B'
(A')
(B')
AB＝A'B'
点 A 与点 A' 重合；
点 B 与点 B' 重合；
AB 与 A'B' 重合；
与 重合.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
探索新知
思考
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦是否也相等呢？
O
A
B
A'
B'
(A')
(B')
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
AB＝A'B'
∠AOB＝∠A'OB'
AB＝A'B'
∠AOB＝∠A'OB'
探索新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB＝∠A'OB'
②
③AB＝A'B'
·
O
A
B
A'
B'
探索新知
弧、弦与圆心角的关系定理
推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
①∠AOB＝∠A'OB'
②
③AB＝A'B'
推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
·
O
A
B
A'
B'
①∠AOB＝∠A'OB'
③AB＝A'B'
② 或
C
探索新知
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
两个圆心角
两条弦
两条弧
知一求二
在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？
探索新知
思考： “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？
B'
A'
O
B
A
AB＝A'B'
∠AOB＝∠A'OB'
前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.
如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
典型例题
例 2 如图，在☉O 中，，∠ACB＝60°.
求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵在☉O 中，，
∴ AB＝AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵ ∠ACB＝60°，
∴ △ABC 是等边三角形，可得 AB＝BC＝AC.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
O
B
C
·
60°
60°
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
C
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
圆的旋转对称性
圆心角
圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
顶点在圆心的角叫作圆心角.
THANKS

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