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第十五章　轴对称
15.1.2　线段的垂直平分线
能用尺规作已知线段的垂直平分线．
进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．
能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．
复习旧知
1. 轴对称的性质是什么？　
2. 线段垂直平分线的性质？
3. 如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

A

B
如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.
由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.

C
D
B

A
作法：如图所示：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
（2）作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线.
可以用这种方法确定线段的中点
以小于 AB的长为半径，两弧无交点；
以等于 AB的长为半径，不易操作.
【思考】为什么以大于 AB的长为半径作弧？
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上．
求证PA=PB．
A
B
P
C
l
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．
又AC=CB，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA=PB．
当点P与点C重合时，显然成立.
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
C
l
符号语言：
如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上．
求证PA=PB．
A
B
P
C
l
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．
又AC=CB，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA=PB．
当点P与点C重合时，显然成立.
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
思 考
(2)(课本P67练习第1题)如图，AD⊥BC，BD ＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB＋BD与DE 有什么关系？
解　∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝CE，
∴AB＝AC＝CE.
∵AB＝CE，BD＝DC，
∴AB＋BD＝CE＋DC，
即AB＋BD＝DE.
如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
(1)如图①，作一条直线l，使得点B
关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，
使得点P关于m的对称点落在BC上．
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）解 如图②，作∠ACB的平分线，则∠ACB的平分线所在的直线m即为所求．
1、如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
练一练
提示　点P在线段AB的垂直平分线上.
理由：如图，过点P作线段AB的垂线PC，
垂足为C.
则∠PCA＝∠PCB＝90°.
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).
∴AC＝BC.
又∵PC⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
知识梳理
1.与线段两个端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上.
2.符号语言：
如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.
相等
C
当堂小练
1. 下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程.请依据作法填空并完成作图.
已知：线段AB（如图）.
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：(1) 分别以 和 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
点A
点B　
AB　
解：如图所示，直线CD即为所求作的直线.
(2) 作直线 .
即为所求作的直线.
CD　
CD　
例2 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于O.
求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ 点O在AB的垂直平分线l1上，
∴ OA＝OB.
同理，OA＝OC.
∴ OB＝OC.
∴ 点O在BC的垂直平分线上.
B
A
C
O
l1
分析：根据线段垂直平分线的定理及逆定理证明即可.
三角形三条边的垂直平分线
交于一点，且该点到三角形
三个顶点的距离相等.
总结
l2
经典例题
例3 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD 是EF 的垂直平分线.
分析：要利用线段垂直平分线的判定定理证AD是EF 的垂直平分线，只需要证明点A，D到线段EF两端点的距离相等，即AE =AF，DE=DF.
经典例题
根据角平分线的判定定理可得DE=DF.
根据Rt△ADE ≌ Rt△ADF 可得AE =AF.
A
F
E
G
C
D
B
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上
B

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