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(共47张PPT)
5.1.1　随机事件
　
第5章　5.1　随机事件与样本空间
学习目标
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，会写出试验的样本空间，提升数学抽象核心素养.
2.了解随机事件的有关概念，理解随机事件与样本点的关系，培养和发展逻辑推理和数学抽象核心素养.
新知形成
知识点一　随机试验及样本空间
1.随机试验
(1)定义
对________进行试验、观察或观测称为随机试验.常用大写字母____表示.
(2)随机试验的特点
a.试验可以在相同条件下______进行；
b.试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个；
c.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
知识梳理
随机现象
E
重复
明确可知
2.有限样本空间
对于一个随机试验，我们将该试验的每个______结果称为样本点，常用______________表示.将随机试验____________构成的集合称为此试验的样本空间，用____表示.
如果样本空间中Ω样本点的个数是________，则称该样本空间Ω为有限样本空间.
点拨　(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)本书中只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
可能
ω(或带下标)
所有样本点
Ω
有限的
知识点二　事件的分类
1.随机事件
一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的______A是Ω的随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示.由______样本点组成的集合，称为基本事件.当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生.
2.必然事件
Ω也是Ω的子集，并且包括了______的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω是必然事件.
子集
一个
所有
3.不可能事件
空集 也是Ω的子集，所以空集 是事件.空集 中______样本点，永远不会发生，称 是不可能事件.
点拨　必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
没有
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的. (　　)
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件. (　　)
(3)连续拋掷一枚硬币2 次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点. (　　)
(4)在一次掷骰子试验中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，集合{1，3，5}一定会出现. (　　)
自主检测
×
√
×
×
2.下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.其中随机事件的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件.
3.(多选)下列事件是随机事件的是
A.东边日出西边雨 B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
√
√
√
“下雪不冷化雪冷”为必然事件，故不是随机事件，A、C、D选项中的事件均为可能发生也可能不发生的事件，是随机事件.故选ACD.
4.一个盒子中装有8 个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，写出样本空间____________________________.
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
记取得球的标号为i，则Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}.
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合作探究
探究点一　事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)拋掷一枚质地均匀的骰子两次，面朝上的数字之和小于2.
解：由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.(3)中事件一定会发生，是必然事件.由于骰子面朝上的数字最小是1，两次面朝上的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件.
典例
1
判断一个事件是哪类事件的方法
1.看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
2.看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
规律方法
对点练1.下列事件：
①任取一个整数，被2整除；
②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分；
③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜；
④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是
A.1 B.3
C.0 D.4
√
①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件，故选B.
探究点二　样本空间
将一枚骰子拋掷两次.
(1)写出试验的样本空间；
解：方法一(列举法)：
用(x，y)表示试验的结果，其中x表示第1 次拋掷后向上的点数，y表示第2 次拋掷后向上的点数，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
典例
2
方法二(列表法)：
两次拋掷后向上的点数的和，如下表所示：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
方法三(树状图法)：
把一枚骰子拋掷两次的所有可能结果用树状图表示，如下图所示：
由图，知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)用集合表示事件E＝“向上的点数之和大于8”.
解：方法一(列举法)：
E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
方法二(列表法)：
两次拋掷后向上的点数的和，如下表所示：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
事件E包含10个样本点(阴影区)，故E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
方法三(树状图法)：
把一枚骰子拋掷两次的所有可能结果用树状图表示，如下图所示：
事件E包含10个样本点(已用“√”标记出)，
故E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
写样本空间的三种方法
1.列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
2.列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
3.树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
规律方法
对点练2.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取两次，每次抽取1张标签，写出下列试验的样本空间.
(1)标签的抽取是不放回的；
解：抽取是不放回的，记(1，2)表示先抽取的第一个数字是1，后抽取的第二个数字是2，
则样本空间为：
{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}.
(2)标签的抽取是有放回的.
解：抽取是有放回的，则2张标签上的数字情况可列表如下：
样本空间为：
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}.
第一次
第二次 1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
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随堂评价
1.下列事件中，不可能事件为
A.三角形内角和为180°
B.三角形中大边对大角，大角对大边
C.锐角三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
√
若三角形中两个内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C中事件为不可能事件，而A、B、D中事件均为必然事件.
2.有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有
A.10个 B.8个
C.7个 D.6个
√
由题知该试验的样本空间为Ω＝{(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含10个样本点，其中满足“首尾相接能构成三角形”的样本点有(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)，共7个.
故选C.
3.写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)：__________________；
Ω＝{胜，平，负}
对于甲队来说，有胜、平、负三种结果.
(2)从含有6 件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数：____________________.
Ω＝{0，1，2，3，4}
从含有6件次品的50件产品中任取4 件，其次品的件数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果.
4.下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出它们的样本空间.
(1)抛掷4枚质地均匀的硬币一次；
解：随机试验是指“抛掷4枚质地均匀的硬币一次，观察其落地时朝上的面的情况”，样本点有16个，样本空间Ω＝{(正，正，正，正)，(反，正，正，正)，(正，反，正，正)，(正，正，反，正)，(正，正，正，反)，(反，反，正，正)，(反，正，反，正)，(反，正，正，反)，(正，反，反，正)，(正，反，正，反)，(正，正，反，反)，(反，反，反，正)，(反，反，正，反)，(反，正，反，反)，(正，反，反，反)，(反，反，反，反)}.
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素，组成集合A的子集.
解：随机试验是指“从集合A中任取2个元素，组成集合A的一个子集”，样本点共有6个，样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
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课时分层
1.关于样本点、样本空间，下列说法错误的是
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
√
由定义知A，B，C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错.故选D.
2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有
A.(男，女)，(男，男)，(女，女)
B.(男，女)，(女，男)
C.(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D.(男，男)，(女，女)
√
由题知所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).故选C.
3.下列事件中是随机事件的是
A.在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B.在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C.在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D.在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
√
当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x (0，1)，所以C是随机事件；当x∈(0，2)时，必有x (－1，0)，所以D是不可能事件.
4.在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x可能为
A.3或4 B.5或6
C.5 D.6
√
由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，所以x＝3或x＝4.故选A.
5.(多选)下列事件是随机事件的为
A.如果a＞b，那么a－b＞0
B.任取一实数a(a＞0且a≠1)，函数y＝logax是增函数
C.某人射击一次，命中靶心
D.从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
√
√
A是必然事件；B中a＞1时，y＝logax是增函数，0＜a＜1时，y＝logax是减函数，故是随机事件；C是随机事件；D是不可能事件.
6.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则这一试验的样本空间的总数为____，取出的三个数的和为奇数这一事件包含的样本点的个数为____.
10
4
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共4个.
7.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为______.
6
(a，b)的情况有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种.函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点.
8.非空集合A，B满足A B，在此条件下给出以下四个命题：
①任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若x A，则x∈B是不可能事件；
③任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若x B，则x A是必然事件.
上述命题中正确命题的序号是____________.
①③④
由A B可知，命题“若x A，则x∈B是不可能事件”错误；命题 ①③④正确.
9.(10分)在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d).
(1)写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
解：第一轮的两场比赛中，当a，c胜出时，比赛最终可能的结果为：acbd，acdb，cabd，cadb；
第一轮的两场比赛中，当a，d胜出时，比赛最终可能的结果为：adbc，adcb，dabc，dacb；
第一轮的两场比赛中，当b，c胜出时，比赛最终可能的结果为：bcad，bcda，cbad，cbda；
第一轮的两场比赛中，当b，d胜出时，比赛最终可能的结果为：bdca，bdac，dbca，dbac；
则该试验的样本空间可表示为：
Ω＝{acbd，acdb，cabd，cadb，adbc，adcb，dabc，dacb，bcad，bcda，cbad，cbda，bdca，bdac，dbca，dbac}；
(2)设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
解：事件A包含的所有结果为：acbd，acdb，adbc，adcb；
(3)设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
解：事件B包含的所有结果为：acbd，acdb，adbc，adcb，cabd，cadb，dabc，dacb.
10.(10分)有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序.
(1)写出这个试验的样本空间；
解：该试验的样本点用树状图表示，如图所示：
所以样本空间可表示为Ω＝{ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA}.
(2)用集合表示下列事件：M＝“A在两侧”；N＝“B，C两人相邻”.
解：M＝{ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCDA，BDCA，CBDA，CDBA，DBCA，DCBA}；
N＝{ABCD，ACBD，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，CBAD，CBDA，DABC，DACB，DBCA，DCBA}.
11.(5分)中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种
A.8 B.9
C.10 D.11
√
(1)胜和负，无平：①胜3场，负0场，共9分；
②胜2场，负1场，共6分；
③胜1场，负2场，共3分；
④胜0场，负3场，共0分；
(2)胜和平，无负：①胜3场，平0场，共9分；
②胜2场，平1场，共7分；
③胜1场，平2场，共5分；
④胜0场，平3场，共3分；
(3)平和负，无胜：①平3场，负0场，共3分；
②平2场，负1场，共2分；
③平1场，负2场，共1分；
④平0场，负3场，共0分；
(4)胜、平、负各1场，共3＋1＋0＝4分
所以该球队积分情况共有9种，选B.
12.(15分)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
解：Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共包含15个样本点.
返回5.1　随机事件与样本空间
5.1.1　随机事件
学习目标 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，会写出试验的样本空间，提升数学抽象核心素养. 2.了解随机事件的有关概念，理解随机事件与样本点的关系，培养和发展逻辑推理和数学抽象核心素养.
知识点一　随机试验及样本空间
1.随机试验
(1)定义
对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验.常用大写字母E表示.
(2)随机试验的特点
a.试验可以在相同条件下重复进行；
b.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
c.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2.有限样本空间
对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示.将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示.
如果样本空间中Ω样本点的个数是有限的，则称该样本空间Ω为有限样本空间.
[点拨]　(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)本书中只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
知识点二　事件的分类
1.随机事件
一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示.由一个样本点组成的集合，称为基本事件.当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生.
2.必然事件
Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω是必然事件.
3.不可能事件
空集 也是Ω的子集，所以空集 是事件.空集 中没有样本点，永远不会发生，称 是不可能事件.
[点拨]　必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的.(　　)
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件.(　　)
学生用书 第129页
(3)连续拋掷一枚硬币2 次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点.(　　)
(4)在一次掷骰子试验中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，集合{1，3，5}一定会出现.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.其中随机事件的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：D
解析：①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件.
3.(多选)下列事件是随机事件的是(　　)
A.东边日出西边雨 B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
答案：ACD
解析：“下雪不冷化雪冷”为必然事件，故不是随机事件，A、C、D选项中的事件均为可能发生也可能不发生的事件，是随机事件.故选ACD.
4.一个盒子中装有8 个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，写出样本空间　　　　　　　　　　　　.
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
解析：记取得球的标号为i，则Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}.
探究点一　事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)拋掷一枚质地均匀的骰子两次，面朝上的数字之和小于2.
解：由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.(3)中事件一定会发生，是必然事件.由于骰子面朝上的数字最小是1，两次面朝上的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件.
判断一个事件是哪类事件的方法
1.看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
2.看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
对点练1.下列事件：
①任取一个整数，被2整除；
②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分；
③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜；
④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是(　　)
A.1 B.3
C.0 D.4
答案：B
解析：①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件，故选B.
探究点二　样本空间
将一枚骰子拋掷两次.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示事件E＝“向上的点数之和大于8”.
解：方法一(列举法)：
(1)用(x，y)表示试验的结果，其中x表示第1 次拋掷后向上的点数，y表示第2 次拋掷后向上的点数，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
方法二(列表法)：
两次拋掷后向上的点数的和，如下表所示：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
(1)由表知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)事件E包含10个样本点(阴影区)，故E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
方法三(树状图法)：
把一枚骰子拋掷两次的所有可能结果用树状图表示，如下图所示：
(1)由图，知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)事件E包含10个样本点(已用“√”标记出)，
故E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
学生用书 第130页
写样本空间的三种方法
1.列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
2.列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
3.树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
对点练2.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取两次，每次抽取1张标签，写出下列试验的样本空间.
(1)标签的抽取是不放回的；
(2)标签的抽取是有放回的.
解：(1)抽取是不放回的，记(1，2)表示先抽取的第一个数字是1，后抽取的第二个数字是2，
则样本空间为：
{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}.
(2)抽取是有放回的，则2张标签上的数字情况可列表如下：
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
样本空间为：
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}.
1.下列事件中，不可能事件为(　　)
A.三角形内角和为180°
B.三角形中大边对大角，大角对大边
C.锐角三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
答案：C
解析：若三角形中两个内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C中事件为不可能事件，而A、B、D中事件均为必然事件.
2.有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有(　　)
A.10个 B.8个
C.7个 D.6个
答案：C
解析：由题知该试验的样本空间为Ω＝{(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含10个样本点，其中满足“首尾相接能构成三角形”的样本点有(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)，共7个.
故选C.
3.写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)：　　　　　　　　；
(2)从含有6 件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数：　　　　　　　　　.
答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果.
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4 件，其次品的件数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果.
4.下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出它们的样本空间.
(1)抛掷4枚质地均匀的硬币一次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素，组成集合A的子集.
解：(1)随机试验是指“抛掷4枚质地均匀的硬币一次，观察其落地时朝上的面的情况”，样本点有16个，样本空间Ω＝{(正，正，正，正)，(反，正，正，正)，(正，反，正，正)，(正，正，反，正)，(正，正，正，反)，(反，反，正，正)，(反，正，反，正)，(反，正，正，反)，(正，反，反，正)，(正，反，正，反)，(正，正，反，反)，(反，反，反，正)，(反，反，正，反)，(反，正，反，反)，(正，反，反，反)，(反，反，反，反)}.
(2)随机试验是指“从集合A中任取2个元素，组成集合A的一个子集”，样本点共有6个，样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
课时分层评价34　随机事件
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.关于样本点、样本空间，下列说法错误的是(　　)
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
答案：D
解析：由定义知A，B，C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错.故选D.
2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有(　　)
A.(男，女)，(男，男)，(女，女)
B.(男，女)，(女，男)
C.(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D.(男，男)，(女，女)
答案：C
解析：由题知所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).故选C.
3.下列事件中是随机事件的是(　　)
A.在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B.在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C.在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D.在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
答案：C
解析：当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x (0，1)，所以C是随机事件；当x∈(0，2)时，必有x (－1，0)，所以D是不可能事件.
4.在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x可能为(　　)
A.3或4 B.5或6
C.5 D.6
答案：A
解析：由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，所以x＝3或x＝4.故选A.
5.(多选)下列事件是随机事件的为(　　)
A.如果a＞b，那么a－b＞0
B.任取一实数a(a＞0且a≠1)，函数y＝logax是增函数
C.某人射击一次，命中靶心
D.从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
答案：BC
解析：A是必然事件；B中a＞1时，y＝logax是增函数，0＜a＜1时，y＝logax是减函数，故是随机事件；C是随机事件；D是不可能事件.
6.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则这一试验的样本空间的总数为　　　，取出的三个数的和为奇数这一事件包含的样本点的个数为　　　　.
答案：10　4
解析：从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共4个.
7.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为　　　　.
答案：6
解析：(a，b)的情况有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种.函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点.
8.非空集合A，B满足A B，在此条件下给出以下四个命题：
①任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若x A，则x∈B是不可能事件；
③任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若x B，则x A是必然事件.
上述命题中正确命题的序号是　　　　　.
答案：①③④
解析：由A B可知，命题“若x A，则x∈B是不可能事件”错误；命题 ①③④正确.
9.(10分)在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d).
(1)写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
(2)设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
(3)设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
解：(1)第一轮的两场比赛中，当a，c胜出时，比赛最终可能的结果为：acbd，acdb，cabd，cadb；
第一轮的两场比赛中，当a，d胜出时，比赛最终可能的结果为：adbc，adcb，dabc，dacb；
第一轮的两场比赛中，当b，c胜出时，比赛最终可能的结果为：bcad，bcda，cbad，cbda；
第一轮的两场比赛中，当b，d胜出时，比赛最终可能的结果为：bdca，bdac，dbca，dbac；
则该试验的样本空间可表示为：
Ω＝{acbd，acdb，cabd，cadb，adbc，adcb，dabc，dacb，bcad，bcda，cbad，cbda，bdca，bdac，dbca，dbac}；
(2)事件A包含的所有结果为：acbd，acdb，adbc，adcb；
(3)事件B包含的所有结果为：acbd，acdb，adbc，adcb，cabd，cadb，dabc，dacb.
10.(10分)有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：M＝“A在两侧”；N＝“B，C两人相邻”.
解：(1)该试验的样本点用树状图表示，如图所示：
所以样本空间可表示为Ω＝{ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA}.
(2)M＝{ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCDA，BDCA，CBDA，CDBA，DBCA，DCBA}；
N＝{ABCD，ACBD，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，CBAD，CBDA，DABC，DACB，DBCA，DCBA}.
11.(5分)中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
答案：B
解析：(1)胜和负，无平：①胜3场，负0场，共9分；
②胜2场，负1场，共6分；
③胜1场，负2场，共3分；
④胜0场，负3场，共0分；
(2)胜和平，无负：①胜3场，平0场，共9分；
②胜2场，平1场，共7分；
③胜1场，平2场，共5分；
④胜0场，平3场，共3分；
(3)平和负，无胜：①平3场，负0场，共3分；
②平2场，负1场，共2分；
③平1场，负2场，共1分；
④平0场，负3场，共0分；
(4)胜、平、负各1场，共3＋1＋0＝4分
所以该球队积分情况共有9种，选B.
12.(15分)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
(2)指出事件“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有样本点.
解：(1)Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共包含15个样本点.
(2)函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝.
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；
若a＝3，则b＝－1或1， 所以事件“函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有样本点有(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)，共5个.
学生用书 第131页

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