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5.1.2　事件的运算
学习目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，理解事件的关系和运算，培养数学抽象、逻辑推理核心素养. 2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念，提升数学抽象核心素养.
知识点　事件的运算
1.包含关系
定义 事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A
含义 A发生导致B发生
符号表示 A B(或B A)
图形表示
特殊情形 如果A B且B A，则称A与B等价，或称A与B相等，记作A＝B
2.事件的交(或事件的积)
定义 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称该事件为事件A与事件B的交(或积)，由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成
含义 A与B同时发生
符号表示 A∩B(或AB)
图形表示
3.事件的并(或事件的和)
定义 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与事件B的并(或和)，由至少属于事件A或B之一的样本点组成
含义 A与B至少一个发生
符号表示 A∪B或(A＋B)
图形表示
4.互斥(互不相容)
定义 如果事件A∩B为不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
推广 如果事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥
5.事件的差
定义 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差
含义 A发生且B不发生
符号表示 A\B
图形表示
学生用书 第132页
6.对立事件
定义 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件
含义 A不发生
符号表示 Ω\A(或)
图形表示
[点拨]　对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B对立，则A，B一定互斥，且A∪B是必然事件；若事件A，B互斥，则A，B不一定对立.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(　　)
(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　　)
(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　)
(4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A.A B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
答案：B
解析：由题意知，事件A表示出现的点数是1或2或3 ；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
3.袋内红、白、黑球分别为3 个、2 个、1 个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少有一个白球；红、黑球各1 个
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；都是白球
答案：A
解析：至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件.
4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为　　　　.
答案：B∪D∪E
解析：由题意可知，事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.
探究点一　事件关系的判断
(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A.两次都中靶 B.至少有一次中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A.恰有一次击中 B.三次都没击中
C.三次都击中 D.至多击中一次
答案：(1)A　(2)D
解析：(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
判断事件间关系的方法
1.要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.
2.考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
对点练1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
答案：A
解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
学生用书 第133页
探究点二　事件的运算
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
事件运算应注意的2个问题
1.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
2.在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
对点练2.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：
(1)甲未中靶；
(2)甲中靶而乙未中靶；
(3)三人中只有丙未中靶；
(4)三人中至少有一人中靶；
(5)三人中恰有两人中靶.
解：(1)甲未中靶：.
(2)甲中靶而乙未中靶：A∩，即A.
(3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩，即AB.
(4)三人中至少有一人中靶.
(5)三人中恰有两人中靶(AB)∪(AC)∪(BC).
探究点三　互斥事件与对立事件
(1)同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为(　　)
A.一个是5点，另一个是6点
B.一个是5点，另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
(2)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(　　)
A.2个小球不全为红球
B.2个小球恰有1个红球
C.2个小球至少有1个红球
D.2个小球都为绿球
答案：(1)C　(2)BD
解析：(1)同时抛掷两枚均匀的骰子，“都不是5点且都不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C.
(2)口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A，事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故A错误；对于B，事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故B正确；对于C，事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故D正确.故选BD.
学生用书 第134页
辨析互斥事件与对立事件的思路
1.从发生的角度看
(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
2.从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
对点练3.(1)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是(　　)
A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶
C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶
(2)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为　　　　　　　　.
答案：(1)C　(2)②
解析：(1)至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，至少有一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B错误；恰有两次中靶，与至多有一次中靶不可能同时发生，但不对立，属于互斥不对立事件，C正确；至少两次中靶与至多有一次中靶为对立事件，故D错误.故选C.
(2)①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.
1.从1，2，3，…，9中任取两个数，给出下列各组事件：
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”；
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
其中是对立事件的是(　　)
A.① B.②④
C.③ D.①③
答案：C
解析：从1，2，3，…，9中任取两数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.故选C.
2.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.全部未击中
答案：B
解析：A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是　　　　.(填序号)
①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②B C；③A与C是互斥事件；④A＝D.
答案：①②④
解析：试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，根据题意，A＝{4，5，6}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，D＝{4，5，6}.
因为A∩B＝ ，A∪B＝{1，2，4，5，6}≠Ω，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，①正确；
因为B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，所以B C，②正确；
因为A∩C＝{4}，所以A与C不是互斥事件，③错误；
因为A＝{4，5，6}，D＝{4，5，6}，所以A＝D，④正确.
4.在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解：由题意可知试验E的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}.
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
所以A∩B＝，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B＝{(1，5)}≠ ，A∩C＝{(1，4)}≠ ，B∩C＝ ，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
课时分层评价35　事件的运算
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为(　　)
A.A∪B B.A∩B
C.A B D.A＝B
答案：B
解析：由题意可得：A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，
所以A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故选B.
2.袋内分别有红、白、黑球1，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少有一个白球；都是白球
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.恰有一个白球；红、黑球各一个
答案：D
解析：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明白球个数为2，这两个事件可以同时发生，故不互斥；对于B，当两球为一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“恰有一个白球”发生时，“红、黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选D.
3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A.至少有一名男同学与都是男同学
B.至少有一名男同学与都是女同学
C.恰有一名男同学与恰有两名男同学
D.至少有一名男同学与至少有一名女同学
答案：C
解析：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.故选C.
4.(多选)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是(　　)
A.至少有一个白球与都是白球
B.恰有一个红球与白、黑球各一个
C.至少一个白球与至多有一个红球
D.至少有一个红球与两个白球
答案：BD
解析：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立.故选BD.
5.(多选)下列各组事件中，是互斥事件的是(　　)
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70％与合格率低于70％
答案：ACD
解析：对于B，设事件A1为“平均分不低于90分”，事件A2为“平均分不高于90分”，则A1∩A2为“平均分等于90分”，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件.而A，C，D显然都是互斥事件.
6.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪包含的样本点为　　　　.
答案：2，4，5，6
解析：该试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，根据题意，A＝{2，4}，B＝{1，2，3，4}，所以＝{5，6}，A∪＝{2，4，5，6}.
7.甲、乙两人下象棋，设“甲获胜”为事件A，“两人下成和棋”为事件B，则事件“甲不输”为　　　　，事件“乙获胜”为　　　　.(用A，B表示)
答案：A＋B　
解析：依题意有，事件A＝{甲获胜}，B＝{两人下成和棋}，则事件“甲不输”为“甲获胜”或“两人下成和棋”，表示为A＋B，事件“乙获胜”为“甲不输”的对立事件，即.
8.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”.现给出下列结论：①A∪B＝C；②B∪D是必然事件；③A∪C＝B；④A∪D＝C.其中正确的结论为　　　　　.(写出序号即可)
答案：①②
解析：由于C同时包括了事件A与事件B的发生，故①A∪B＝C成立；
B∪D是必然事件，因为它包括了所有发生的事件，故②B∪D是必然事件成立；
由于事件A∪C表示事件C，而C≠B，故③A∪C＝B不成立；
由于A∪D表示事件“至多有一件次品”，即事件D，而D≠C，故④A∪D＝C不成立.
9.(10分)判断下列各对事件是不是互斥事件，若是互斥事件，再判断是不是对立事件，并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
解：(1)是互斥事件，不是对立事件.
理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”的实质是“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生，所以不是互斥事件.
(3)不是互斥事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件.
(4)既是互斥事件，又是对立事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
10.(10分)设某人向一个目标射击3次，用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i＝1，2，3)，指出下列事件的含义：
(1)A1∩A2；
(2)A1∩A2∩；
(3)；
(4)∩∩.
解：(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标.
(3)表示第1次和第2次都没击中目标.
(4)∩∩表示三次都没击中目标.
11.(5分)(多选)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是(　　)
A.A C B.A∩B＝
C.A∪B＝C D.B∩C＝
答案：ABC
解析：易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以选项A，B，C正确，选项D不正确.
12.(15分)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”.
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个基本事件，记作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，
则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，B∩D＝A4＝{4}，B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}.
学生用书 第135页(共57张PPT)
5.1.2　事件的运算
　
第5章　5.1　随机事件与样本空间
学习目标
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，理解事件的关系和运算，培养数学抽象、逻辑推理核心素养.
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念，提升数学抽象核心素养.
新知形成
知识点　事件的运算
1.包含关系
知识梳理
定义 事件A中的____________都在B中，则称A包含于B，或B包含A
含义 A发生导致B发生
符号表示 A____B(或B____A)
图形表示

特殊情形 如果A____B且B____A，则称A与B等价，或称A与B______，记作________
每个样本点




相等
A＝B
2.事件的交(或事件的积)
定义 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B______发生，则称该事件为事件A与事件B的交(或积)，由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成
含义 A与B同时发生
符号表示 ________(或______)
图形表示

同时
A∩B
AB
3.事件的并(或事件的和)
定义 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与事件B的并(或和)，由至少属于事件A或B之一的样本点组成
含义 A与B至少一个发生
符号表示 ________或(________)
图形表示

A∪B
A＋B
4.互斥(互不相容)
定义 如果事件________为不可能事件，即____________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ____________
图形表示

推广 如果事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥
A∩B
A∩B＝
A∩B＝
5.事件的差
定义 如果某事件发生当且仅当事件A______而事件B________，则称该事件为事件A与B的差
含义 A发生且B不发生
符号表示 ________
图形表示

发生
不发生
A\B
6.对立事件
定义 如果某事件发生当且仅当事件A________，则称该事件为A的对立事件
含义 A不发生
符号表示
图形表示

点拨　对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B对立，则A，B一定互斥，且A∪B是必然事件；若事件A，B互斥，则A，B不一定对立.
不发生
Ω\A
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件. (　　)
(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件. (　　)
(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件. (　　)
(4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件. (　　)
自主检测
√
×
√
√
2.掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是
A.A B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
√
由题意知，事件A表示出现的点数是1或2或3 ；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
3.袋内红、白、黑球分别为3 个、2 个、1 个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是
A.至少有一个白球；红、黑球各1 个
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；都是白球
√
至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件.
4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为__________.
B∪D∪E
由题意可知，事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.
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合作探究
探究点一　事件关系的判断
(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A.两次都中靶 B.至少有一次中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
典例
1
√
事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
A.恰有一次击中 B.三次都没击中
C.三次都击中 D.至多击中一次
√
根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
判断事件间关系的方法
1.要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.
2.考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
规律方法
对点练1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
√
由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
探究点二　事件的运算
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
解：因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
典例
2
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解：因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
事件运算应注意的2个问题
1.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
2.在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
规律方法
探究点三　互斥事件与对立事件
(1)同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为
A.一个是5点，另一个是6点
B.一个是5点，另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
典例
3
√
同时抛掷两枚均匀的骰子，“都不是5点且都不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C.
(2)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有
A.2个小球不全为红球
B.2个小球恰有1个红球
C.2个小球至少有1个红球
D.2个小球都为绿球
√
√
口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A，事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故A错误；对于B，事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故B正确；对于C，事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故D正确.故选BD.
辨析互斥事件与对立事件的思路
1.从发生的角度看
(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
2.从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
规律方法
对点练3.(1)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是
A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶
C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶
√
至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，至少有一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B错误；恰有两次中靶，与至多有一次中靶不可能同时发生，但不对立，属于互斥不对立事件，C正确；至少两次中靶与至多有一次中靶为对立事件，故D错误.故选C.
(2)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为_______.
②
①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.
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随堂评价
1.从1，2，3，…，9中任取两个数，给出下列各组事件：
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”；
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
其中是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.①③
√
从1，2，3，…，9中任取两数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.故选C.
2.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.全部未击中
√
A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是__________.(填序号)
①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②B C；③A与C是互斥事件；④A＝D.
①②④
试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，根据题意，A＝{4，5，6}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，D＝{4，5，6}.
因为A∩B＝ ，A∪B＝{1，2，4，5，6}≠Ω，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，①正确；
因为B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，所以B C，②正确；
因为A∩C＝{4}，所以A与C不是互斥事件，③错误；
因为A＝{4，5，6}，D＝{4，5，6}，所以A＝D，④正确.
4.在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
解：由题意可知试验E的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
解：由题意可知试验E的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B＝{(1，5)}≠ ，A∩C＝{(1，4)}≠ ，B∩C＝ ，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解：由题意可知试验E的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
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课时分层
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为
A.A∪B B.A∩B
C.A B D.A＝B
√
由题意可得：A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，
所以A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故选B.
2.袋内分别有红、白、黑球1，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是
A.至少有一个白球；都是白球
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.恰有一个白球；红、黑球各一个
√
对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明白球个数为2，这两个事件可以同时发生，故不互斥；对于B，当两球为一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“恰有一个白球”发生时，“红、黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选D.
3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是
A.至少有一名男同学与都是男同学
B.至少有一名男同学与都是女同学
C.恰有一名男同学与恰有两名男同学
D.至少有一名男同学与至少有一名女同学
√
从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.故选C.
4.(多选)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是
A.至少有一个白球与都是白球
B.恰有一个红球与白、黑球各一个
C.至少一个白球与至多有一个红球
D.至少有一个红球与两个白球
√
√
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立.故选BD.
5.(多选)下列各组事件中，是互斥事件的是
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70％与合格率低于70％
√
√
√
对于B，设事件A1为“平均分不低于90分”，事件A2为“平均分不高于90分”，则A1∩A2为“平均分等于90分”，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件.而A，C，D显然都是互斥事件.
2，4，5，6
7.甲、乙两人下象棋，设“甲获胜”为事件A，“两人下成和棋”为事件B，则事件“甲不输”为__________，事件“乙获胜”为__________.(用A，B表示)
A＋B
8.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”.现给出下列结论：①A∪B＝C；②B∪D是必然事件；③A∪C＝B；④A∪D＝C.其中正确的结论为_________.(写出序号即可)
①②
由于C同时包括了事件A与事件B的发生，故①A∪B＝C成立；
B∪D是必然事件，因为它包括了所有发生的事件，故②B∪D是必然事件成立；
由于事件A∪C表示事件C，而C≠B，故③A∪C＝B不成立；
由于A∪D表示事件“至多有一件次品”，即事件D，而D≠C，故④A∪D＝C不成立.
9.(10分)判断下列各对事件是不是互斥事件，若是互斥事件，再判断是不是对立事件，并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
解：是互斥事件，不是对立事件.
理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”的实质是“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
解：不是互斥事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生，所以不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
解：不是互斥事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件.
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
解：既是互斥事件，又是对立事件.
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
10.(10分)设某人向一个目标射击3次，用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i＝1，2，3)，指出下列事件的含义：
(1)A1∩A2；
解：A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
11.(5分)(多选)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是
A.A C B.A∩B＝
C.A∪B＝C D.B∩C＝
√
√
√
易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以选项A，B，C正确，选项D不正确.
12.(15分)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”.
(1)说明以上4个事件的关系；
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个基本事件，记作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，
则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个基本事件，记作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，
则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，B∩D＝A4＝{4}，B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}.
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