资源简介

5.2　概率及运算
5.2.1　古典概型
学习目标 1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点，结合概率的定义，了解概率的基本性质，培养数学抽象核心素养. 2.掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率，理解有放回与无放回等抽样方法对样本代表性的影响，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养.
知识点一　古典概型
1.事件的概率
我们把随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，事件A的概率用P(A)表示.
2.概率的定义：
设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同.当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)＝为事件A发生的概率，简称为A的概率.
3.古典概型的定义
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点出现的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
[点拨]　(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率为P(A)＝(n(A)为事件A包含样本点的个数，n(Ω)为样本空间的样本点的个数).
知识点二　概率的基本性质
性质1：根据古典概型的定义，对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1.
性质2：必然事件包含Ω中的所有样本点，因而P(Ω)＝1.
性质3：不可能事件不包含任何样本点，因而P( )＝0.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点.(　　)
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(　　)
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(　　)
(4)任一事件的概率总在(0，1)内.(　　)
(5)不可能事件的概率不一定为0.(　　)
(6)必然事件的概率一定为1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
2.(多选)下列试验中，不是古典概型的为(　　)
A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
学生用书 第136页
D.在区间[0，5]内任取一点，求此点小于2的概率
答案：ABD
解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选ABD.
3.从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)共4个，所求概率为P＝＝.故选D.
4.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点的个数是　　　.
答案：8
解析：从装有红白两球的袋中有放回地取出，所有取法有：
共8 个样本点.
探究点一　古典概型的判断
下列试验是古典概型的是　　　　.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
答案：①②④
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
　　判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.
对点练1.(多选)下列不是古典概型的是(　　)
A.任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将任意的正整数作为基本事件时
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
答案：ABD
解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会有无限个，故D不是.故选ABD.
探究点二　古典概型的概率计算
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解：(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，且每种结果发生的可能性是相等的.
从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，且每种结果发生的可能性是相等的.
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P＝＝.
求古典概型概率的步骤
1.判断是否为古典概型；
2.算出基本事件的总数n；
3.算出事件A中包含的基本事件个数m；
4.算出事件A的概率，即P(A)＝.
对点练2.某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券.设事件 A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”.①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖.请替该店定出各个等级奖依次对应的事件并求相应概率.
解：由题意知样本空间
Ω＝{1－1，1－2，1－3，1－4，1－5，1－6，2－1，2－2，2－3，2－4，2－5，2－6，3－1，3－2，3－3，3－4，3－5，3－6，4－1，4－2，4－3，4－4，4－5，4－6，5－1，5－2，5－3，5－4，5－5，5－6，6－1，6－2，6－3，6－4，6－5，6－6}，其中共36个样本点.
因为设事件A＝两个连号；事件B＝两个同点；事件C＝同奇偶但不同点，
所以事件A＝{1－2，2－1，2－3，3－2，3－4，4－3，4－5，5－4，5－6，6－5}，n(A)＝10，
P(A)＝＝，
事件B＝{1－1，2－2，3－3，4－4，5－5，6－6}，n(B)＝6，
P(B)＝＝，
事件C＝{1－3，1－5，2－4，2－6，3－1，3－5，4－2，4－6，5－1，5－3，6－2，6－4}，n(C)＝12，
所以P(C)＝＝，
因为P(B)＜P(A)＜P(C)，
所以事件B：“两个同点”对应一等奖，概率为，
事件A：“两个连号”对应二等奖，概率为，
事件C：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为，
其余事件为感谢奖，概率为：1－－－＝.
学生用书 第137页
探究点三　“放回”与“不放回”问题
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解：(1)每次取一件，取后不放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，
事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点
1.关于不放回抽样：计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
2.关于有放回抽样：应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
对点练3.一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率.
解：(1)从袋中随机取两个球，样本空间为Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，记“从袋中随机取出的两个球的编号之和不大于4”为事件A，则A＝{(1，2)，(1，3)}，因此所求事件的概率为P(A)＝＝.
(2)先从袋中随机地取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中取一个球，记下编号为n，则样本空间为Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，记“满足n≥m＋2的事件”为事件B，则B＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)}，因此所求概率为P(B)＝.
探究点四　较复杂的古典概型的概率计算
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件样本空间Ω与点集S＝{(x，y)｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1).
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以P(C)＝，
因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
学生用书 第138页
　　解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
(2)计算基本事件的数目时，需做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.
对点练4.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率.
解：将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为4，5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
1.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，
乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，
如果按(甲，乙)方法得出总共的结果为36个，
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个，
所以甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是＝，故选A.
2.在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为(　　)
A.0.18 B.0.2
C.0.28 D.0.32
答案：C
解析：用(x，y)表示两位老师的打分，则(x，y)的所有可能情况有10×10＝100种.
当x＝50时，y可取50，51，共2种；
当x＝51，52，53，54，55，56，57，58时，y的取值均有3种；
当x＝59时，y可取58，59，共2种；
综上可得，两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种，
由古典概型的概率公式，可得所求概率P＝＝0.28.故选C.
3.某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为　　　　.
答案：
解析：甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率P＝＝.
4.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.
某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
男生 选考方案确定的有5人 5 5 2 1 2 0
选考方案待确定的有7人 6 4 3 2 4 2
女生 选考方案确定的有6人 3 5 2 3 3 2
选考方案待确定的有2人 1 2 1 0 1 1
(1)在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？
(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数有2人.
(2)由统计表可知，已确定选考科目5名男生中，有2人选择物理、化学和生物，记为a1，a2，有1人选择物理、化学和历史，记为b，有2人选择物理、化学和地理，记为c1，c2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有10种选法，分别为：a1a2，a1b，a1c1，a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2，两名学生选考科目完全相同的有2种选法，分别为：a1a2，c1c2，设事件A为“从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两名学生选考科目完全相同”，则P(A)＝＝.
课时分层评价36　古典概型
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12，3，4)，(12，4，3)，(3，12，4)，(4，12，3)，(3，4，12)，(4，3，12)，有6种分法；
第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1，23，4)，(4，23，1)，(23，1，4)，(23，4，1)，(1，4，23)，(4，1，23)，有6种分法；
第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1，2，34)，(2，1，34)，(34，1，2)，(34，2，1)，(1，34，2)，(2，34，1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P＝＝.故选B.
2.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《数书九章》《缉古算经》《缀术》，是了解我国古代数学的重要文献，这6部专著中有4部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这6部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意，将产生于汉、魏、晋、南北朝时期的专著依次记为a，b，c，d，剩下2本记为e，f，从6部专著中任选2部，共有15种不同的选法，分别为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，其中所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，共有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df 8种选法，所以所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为P＝.故选C.
3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.从5类元素中任选2类元素，样本空间包含的基本事件有：金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土，总计10个，2类元素相生包含的基本事件有5个：金水，水木，木火，火土，土金，则2类元素相生的概率P＝＝.故选A.
4.设集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点P＝(x，y)，记“点P＝(x，y)满足条件x2＋y2≤16”为事件C，则P(C)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，
分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P(x，y)，共有6×6＝36种不同情况，其中P(x，y)满足条件x2＋y2≤16的有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8个，
所以事件C的概率P(C)＝＝，故选A.
5.(多选)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则概率不是的为(　　)
A.颜色全相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不同 D.无红球
答案：BCD
解析：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有6种，其概率为＝；无红球的情况有8种，其概率为.
6.若a，b∈{－1，0，1，2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为　　　　.
答案：
解析：因为a，b∈{－1，0，1，2}，
所以列举可得总的方法种数为：
(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)共16个，
其中要满足f(x)＝ax2＋2x＋b有零点，则Δ≥0，即ab≤1，则满足的有：
(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)共13个，
所以所求概率P＝.
7.已知集合A＝，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为　　　　.
答案：
解析：集合A＝，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，分别为－2，2，所以所求概率P＝＝＝.
8.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是　　　　.
答案：
解析：用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).
乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).
根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.
9.(15分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如表所示：
类别 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78 m以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.
解：(1)由题意知，从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，这一试验E的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.
设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78 m以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，所以P(M)＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型.
设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝.
10.(15分)某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮测足球基础知识，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中抽6人组成一个小组，若从6人中随机选2人担任小组负责人，求这2人来自第3，4组各1人的概率.
解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x＋0.02)×5＝1，所以x＝0.04.
所以成绩的平均值为0.05×＋0.35×＋0.30×＋0.20×＋0.10×＝87.25.
(2)第3组学生人数为0.30×40＝12，第4组学生人数为0.20×40＝8，第5组学生人数为0.10×40＝4，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1.
第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4组的2人分别记为B1，B2，第5组的1人记为C，则从中选出2人的基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15个，
记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M，
则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6个，
所以P(M)＝＝.
(11、12每小题5分，共10分)
11.设函数f(x)＝ax＋(x＞1)，若a是从1，2，3三个数中任取一个，b是从2，3，4，5四个数中任取一个，那么f(x)＞b恒成立的概率为　　　　.
答案：
解析：x＞1，a＞0，故x－1＞0，a(x－1)＞0，
f(x)＝ax＋＝ax＋＋1
＝a(x－1)＋＋1＋a≥2＋1＋a
＝(＋1)2，
当且仅当x＝＋1＞1时，取“＝”，
所以f(x)min＝(＋1)2，
于是f(x)＞b恒成立就转化为(＋1)2＞b成立.
因为 a是从1，2，3三个数中任取一个， b是从2，3，4，5四个数中任取一个，构成(a，b)，
所有基本事件总数为12个，即
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)；
(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)；
(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，
设事件A：“f(x)＞b恒成立”，则事件A包含事件：(1，2)，(1，3)；(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)；
(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)共10个，
因此f(x)＞b恒成立的概率为＝.
12.有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3，5，第三组有3个数为7，9，11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为3的倍数的数为93，99，105.故所求概率P＝.故选B.
学生用书 第139页(共62张PPT)
5.2.1　古典概型
　
第5章　5.2　概率及运算
学习目标
1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点，结合概率的定义，了解概率的基本性质，培养数学抽象核心素养.
2.掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率，理解有放回与无放回等抽样方法对样本代表性的影响，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养.
新知形成
知识点一　古典概型
1.事件的概率
我们把随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，事件A的概率用________表示.
2.概率的定义：
设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同.当Ω
中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)＝____为事件A发生的概率，简称为A的概率.
知识梳理
P(A)
有限
相等
知识点二　概率的基本性质
性质1：根据古典概型的定义，对任意的事件A，都有0____P(A)____1.
性质2：必然事件包含Ω中的所有样本点，因而P(Ω)＝___.
性质3：不可能事件不包含任何样本点，因而P( )＝___.
≤
≤
1
0
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点. (　　)
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. (　　)
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. (　　)
(4)任一事件的概率总在(0，1)内. (　　)
(5)不可能事件的概率不一定为0. (　　)
(6)必然事件的概率一定为1. (　　)
自主检测
×
√
√
×
×
√
2.(多选)下列试验中，不是古典概型的为
A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0，5]内任取一点，求此点小于2的概率
√
√
√
对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选ABD.
√
4.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点的个数是_____.
8
从装有红白两球的袋中有放回地取出，所有取法有：
共8 个样本点.
返回
合作探究
探究点一　古典概型的判断
下列试验是古典概型的是__________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
典例
1
①②④
①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
　　判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.
规律方法
对点练1.(多选)下列不是古典概型的是
A.任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将任意的正整数作为基本事件时
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
√
√
√
A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会有无限个，故D不是.故选ABD.
典例
2
规律方法
对点练2.某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券.设事件 A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”.①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖.请替该店定出各个等级奖依次对应的事件并求相应概率.
解：由题意知样本空间
Ω＝{1－1，1－2，1－3，1－4，1－5，1－6，2－1，2－2，2－3，2－4，2－5，2－6，3－1，3－2，3－3，3－4，3－5，3－6，4－1，4－2，4－3，4－4，4－5，4－6，5－1，5－2，5－3，5－4，5－5，5－6，6－1，6－2，6－3，6－4，6－5，6－6}，其中共36个样本点.
典例
3
解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点
1.关于不放回抽样：计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
2.关于有放回抽样：应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
规律方法
探究点四　较复杂的古典概型的概率计算
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备
参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
典例
4
　　解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
(2)计算基本事件的数目时，需做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.
规律方法
返回
随堂评价
√
2.在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为
A.0.18 B.0.2
C.0.28 D.0.32
√
3.某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为_______.
4.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.
某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
男生 选考方案确定的有5人 5 5 2 1 2 0
选考方案待确定的有7人 6 4 3 2 4 2
女生 选考方案确定的有6人 3 5 2 3 3 2
选考方案待确定的有2人 1 2 1 0 1 1
(1)在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？
解：由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数有2人.
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
男生 选考方案确定的有5人 5 5 2 1 2 0
选考方案待确定的有7人 6 4 3 2 4 2
女生 选考方案确定的有6人 3 5 2 3 3 2
选考方案待确定的有2人 1 2 1 0 1 1
(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
男生 选考方案确定的有5人 5 5 2 1 2 0
选考方案待确定的有7人 6 4 3 2 4 2
女生 选考方案确定的有6人 3 5 2 3 3 2
选考方案待确定的有2人 1 2 1 0 1 1
返回
课时分层
√
√
√
√
√
√
√
6.若a，b∈{－1，0，1，2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为______.
8.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是______.
用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).
类别 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
类别 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(2)用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高
中生中抽6人组成一个小组，若从6人中随机选2
人担任小组负责人，求这2人来自第3，4组各1人
的概率.
解：第3组学生人数为0.30×40＝12，第4组学生
人数为0.20×40＝8，第5组学生人数为0.10×40＝4，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1.
第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4组的2人分别记为B1，B2，第5组的1人记为C，则从中选出2人的基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15个，
√
返回

展开更多......

收起↑