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5.4　随机事件的独立性
学习目标 1.结合有限样本空间，理解事件相互独立的概念，培养和发展数学抽象核心素养. 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养和发展逻辑推理和数学运算核心素养.
知识点　随机事件的独立性
1.设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立.
2.若事件A，B独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B).
3.若事件A，B独立，则A与，与B，与也独立.
[点拨]　如果三个事件A，B，C两两互斥，那么概率加法公式P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)成立.但当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.(　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立.(　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.(　　)
(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为　　　.
答案：0.56
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
4.下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
解：(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件.
学生用书 第146页
探究点一　相互独立事件的判断
一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球.记事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D＝“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则(　　)
A.A与B相互独立 B.A与D相互独立
C.B与C相互独立 D.B与D相互独立
答案：C
解析：由题意可知，P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝，
P(AB)＝＝，P(BC)＝，P(AD)＝＝，P(BD)＝＝，
因为P(A)P(B)＝×＝≠P(AB)，所以A与B不相互独立，故选项A错误；
因为P(A)P(D)＝×＝≠P(AD)，所以A与D不相互独立，故选项B错误；
因为P(B)P(C)＝×＝＝P(BC)，所以B与C相互独立，故选项C正确；
因为P(B)P(D)＝×＝≠P(BD)，所以B与D不相互独立，故选项D错误.
故选C.
两种方法判断两事件是否具有独立性
1.定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.公式法：若对两件事A，B有P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B相互独立.
对点练1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
答案：B
解析：事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
对点练2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件(　　)
A.A1，A2，A3相互独立
B.A2，A3，A4相互独立
C.A1，A2，A3两两独立
D.A2，A3，A4两两独立
答案：C
解析：将一枚硬币独立地掷两次的样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
A1＝{(正，正)，(正，反)}，A2＝{(正，正)，(反，正)}，
A3＝{(正，反)，(反，正)}，A4＝{(正，正)}，
A1A2＝{(正，正)}，A2A3＝{(反，正)}，A1A3＝{(正，反)}，A2A4＝{(正，正)}，A1A2A3＝ .
所以，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
且P(A1A2)＝，P(A2A3)＝，P(A1A3)＝，P(A2A4)＝，P(A1A2A3)＝0，
从而有：
①P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，
②P(A2A3)＝P(A2)P(A3)，
③P(A1A3)＝P(A1)P(A3)，
④P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3)，
⑤P(A2A4)≠P(A2)P(A4).
故：A1，A2，A3两两独立但不相互独立；A2，A3，A4不两两独立更不相互独立，故选C.
探究点二　相互独立事件的概率计算
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率；
(3)求3人均未被选中的概率.
解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(3)方法一：三人均未被选中的概率
P＝P()＝××＝.
方法二：由(2)知，
三人至少有1人被选中的概率为，
所以三人均未被选中的概率：P＝1－＝.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1.首先确定各事件之间是相互独立的；
2.确定这些事件可以同时发生；
3.求出每个事件的概率，再求积.
对点练3.错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
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(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
解：(1)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2，
已知P＝，P＝，且Ai与Bi相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为P1＝P＝PPPP＝.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为P2＝P＝PPPP＝.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝，
乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝，
所以甲做对1题，乙做对1题的概率为P3＝×＝.
因为这三种情况互斥，所以P(“郴队”在两轮比赛中做对2题) ＝＋＋＝.
(2)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2.
已知P＝，P＝，P＝，P＝，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为P＝PP＝，
乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝，
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为×＝.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝，
乙做对2题的概率为P2＝P＝P(B1)P(B2)＝，
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为×＝.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为＋＝.
探究点三　相互独立事件概率的综合应用
计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
求较为复杂事件的概率的方法
1.列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
2.理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
对点练4.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p＞q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率.
解：(1)设A＝{甲同学答对第一题}，B＝{乙同学答对第一题}，则P(A)＝p，P(B)＝q.
设C＝{甲、乙二人均答对第一题}，D＝{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则C＝AB，D＝A＋B.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
所以A与B相互独立，AB互斥，
所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)，
P(D)＝P(A＋B)
＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B).
由题意可得
即
由于p＞q，所以p＝，q＝.
(2)设Ai＝{甲同学答对了i道题}，Bi＝{乙同学答对了i道题}，i＝0，1，2.
由题意得，P(A1)＝×＋×＝，
P(A2)＝×＝，
P(B1)＝×＋×＝，
P(B2)＝×＝.
设E＝{甲、乙二人共答对3道题}，则E＝A1B2＋A2B1.
由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1互斥，所以P(E)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝.
所以，两人共答对3道题的概率为.
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1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
答案：D
解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件.故选D.
2.一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：加工零件A停机的概率是×＝，
加工零件B停机的概率是×＝，
所以这台机床停机的概率是＋＝，故选A.
3.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是　　　　.
答案：
解析：两个都不命中的概率为×＝，故至少有一人命中的概率是.
4.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
解：(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i＝1，2，3，4，5)，则P(Ai)＝，P(Bi)＝.
设事件A＝“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B＝“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.
则P(A)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝，
P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋×＝，P(C)＝P(AB)＝×＝.
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.
(2)设事件D＝“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E＝“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件F＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则P(D)＝P(A3)＝××＝，P(E)＝P(B3)＝××＝，
P(F)＝P(AE＋DB)＝×＋×＝.
课时分层评价39　随机事件的独立性
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
答案：C
解析：因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
2.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.故选B.
3.两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设P(A)＝x，P(B)＝y，因为P()P()＝，P()P(A)＝P()P(B)，所以得x＝.故选D.
4.某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得
即m＋n＝.故选C.
5.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　)
A.P(B)＝
B.事件B与事件A1相互独立
C.事件B与事件A2相互独立
D.A1，A2互斥
答案：AD
解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，A正确；
又P(A1B)＝，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；
同理可以求得P(A2B)≠P(A2)P(B)，C错误；
A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，
故选AD.
6.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为　　　　　　　.
答案：
解析：记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用.
则D＝A＋BC.
P(A)＝×＝，P＝2××＝，P(C)＝，
P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝＋×＝.
7.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
满意度 评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 合计
高一 1 3 6 6 4 20
高二 2 6 5 5 2 20
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90 评分≥90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为　　　　.
答案：0.42
解析：由题意可得：
满意度等级 不满意 满意 非常满意
高一 4 12 4
高二 8 10 2
所以若高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级，
则有当高二年级抽到不满意时，高一要抽到满意或非常满意，当高二年级抽到满意时，高一要抽到非常满意.
所以P(A)＝×＋×＝0.42.
8.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是　　　　.
答案：
解析：青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
9.(10分)某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.
解：用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A)∪(B)，D＝C∪(AB).
(1)由题意知，A与B是相互独立事件，
P(B)＝1－P()＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.
(2)由于事件AB互斥，所以恰有一件是正品的概率为
P(C)＝P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.96×0.05＋0.04×0.95
＝0.086.
(3)由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P[(AB)∪C]
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.
10.(10分)排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛：
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 ，乙发球时甲赢1分的概率为 ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 x(x≤4) 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x).
解：(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，
所以甲队最后赢得整场比赛的概率为 ＋×＝.
(2)根据比赛规则，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为，甲接下来可以以16∶14 或17∶15赢得比赛，故x的取值只能为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x取值为2，即两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为 P(x＝2)＝×＝ ；
若甲、乙比分为17∶15，则x取值为4，即两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为 P(x＝4)＝×××＋×××＝.
11.(5分)(多选)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.抽到某一指定号码即中奖，如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中(　　)
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5
答案：CD
解析：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5，A错误.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P()＝P()P()＝0.95×0.95＝0.902 5，B错误；
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示.由于事件AB互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095，C正确；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(A)∪(B)表示.由于事件AB，AB两两互斥，据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5，D正确.故选CD.
12.(15分)某公司的录用考试有三道题目，张明和李华答对每道题目的概率都是p.每位应试者都有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则考试通过，否则就一直抽题到第三次为止.张明和李华两人对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的，并且约定两人都知道结果时一起离开考场.
(1)若p＝0.8，求第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场的概率；
(2)如果张明和李华都通过考试的概率大于0.81，求p的取值范围.
解：(1)设张明和李华第i轮考试答对的事件分别为Ai，Bi，其中i＝1，2，3，
记“第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场”为事件A，
则P(A)＝P(A2B1＋A1B2＋A2B2)
＝P(A2B1)＋P(A1B2)＋P(A2B2)
＝(1－p)p2＋p(1－p)p＋(1－p)2p2，
当p＝0.8时，P(A)＝.
(2)记“张明和李华都通过考试”为事件B，
则P(B)＝[1－P()][1－P()]＝[1－(1－p)3]2，
即[1－(1－p)3]2＞0.81，
解得p＞1－，
所以p的取值范围是(1－，1).
学生用书 第149页(共63张PPT)
5.4　随机事件的独立性
　
第5章　概 率
学习目标
1.结合有限样本空间，理解事件相互独立的概念，培养和发展数学抽象核心素养.
2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养和发展逻辑推理和数学运算核心素养.
新知形成
知识梳理
P(A)P(B)
P(A)P(B)
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立. (　　)
(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件. (　　)
自主检测
√
√
×
√
√
3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为_____.
0.56
由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
4.下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
解：一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
解：由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
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合作探究
探究点一　相互独立事件的判断
一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球.记事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D＝“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则
A.A与B相互独立 B.A与D相互独立
C.B与C相互独立 D.B与D相互独立
典例
1
√
两种方法判断两事件是否具有独立性
1.定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.公式法：若对两件事A，B有P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B相互独立.
规律方法
对点练1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是
A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
√
对点练2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件
A.A1，A2，A3相互独立 B.A2，A3，A4相互独立
C.A1，A2，A3两两独立 D.A2，A3，A4两两独立
√
将一枚硬币独立地掷两次的样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
A1＝{(正，正)，(正，反)}，A2＝{(正，正)，(反，正)}，
A3＝{(正，反)，(反，正)}，A4＝{(正，正)}，
A1A2＝{(正，正)}，A2A3＝{(反，正)}，A1A3＝{(正，反)}，A2A4＝{(正，正)}，A1A2A3＝ .
典例
2
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1.首先确定各事件之间是相互独立的；
2.确定这些事件可以同时发生；
3.求出每个事件的概率，再求积.
规律方法
典例
3
求较为复杂事件的概率的方法
1.列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
2.理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
规律方法
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随堂评价
1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
√
根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件.故选D.
√
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课时分层
√
√
√
√
√
√
7.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 合计
高一 1 3 6 6 4 20
高二 2 6 5 5 2 20
满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90 评分≥90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为________.
0.42
满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90 评分≥90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
满意度等级 不满意 满意 非常满意
高一 4 12 4
高二 8 10 2
8.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是_______.
11.(5分)(多选)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.抽到某一指定号码即中奖，如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5
√
√
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