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章末综合提升
素养一　数学抽象
　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.在本章中，主要表现在互斥事件，对立事件与相互独立事件的判断和概率与频率的概念等.
题型一　互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断
(1)(多选)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A.至少有1个红球与都是红球
B.至少有1个红球与至少有1个白球
C.恰有1个红球与恰有2个红球
D.至多有1个红球与恰有2个红球
(2)(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是(　　 )
A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”
答案：(1)CD　(2)ABD
解析：(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件；
C中两事件是互斥而不对立事件；
D中至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个都是红球的情况，因此它们不对立，D符合题意.故选CD.
(2)在A中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，
所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝×＝，
即P(MN)＝P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确；
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；
在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；
在D中，从9个水果中任意取出1个，取出的是苹果与把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨，这两个事件发生与否没有影响，是相互独立事件，D正确.
故选ABD.
学生用书 第150页
题型二　概率与频率
对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解：(1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.
素养二　数学运算
　　数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章中，数学运算主要体现在概率计算中.
题型三　古典概型
某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标 (x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2 件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15个样本点.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)共6个样本点.所以P(B)＝＝.
题型四　事件的相互独立性
在某校年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终A，B，C，D四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中，对阵形式为：A对阵C，B对阵D，获胜球队进入决赛争夺冠、亚军，失利球队争夺三、四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示：
－ A B C D
A获胜概率 0.3 0.4 0.8
B获胜概率 0.7 0.7 0.5
C获胜概率 0.6 0.3 0.3
D获胜概率 0.2 0.5 0.7
则A队最终获得冠军的概率为　　　　.
答案：0.22
解析：A胜C的概率为0.4，
B胜D且A胜B的概率为0.5×0.3＝0.15，
D胜B且A胜D的概率为0.5×0.8＝0.4，
故A队最终获得冠军的概率为0.4×0.15＋0.4×0.4＝0.22.
学生用书 第151页
题型五　概率与统计的综合应用
某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男生、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5 人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
解：(1)由题意可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3.
设抽取的5 人分别为A，B，C，D，E，其中A，B为男生，C，D，E为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)(A，D)(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个样本点.
事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
素养三　数学建模
　　数学建模主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.在本章中，数学建模主要体现在实际问题的概率求解中.
题型六　概率的实际应用
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理如表.规定：数据≥60，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.2 2 91
良好 [80，89] 4 83.8 4 84.2
及格 [60，79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49
总计 － 20 75.0 20 71.9
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率.
解：(1)样本中合格的学生数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，
所以从样本中随机选取一名学生，这名学生体质健康合格的概率为＝.
(2)设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(A)＝＝.
事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(B)＝＝.
因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.
学生用书 第152页
(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
答案：
解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合.综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P＝＝.
(2024·全国甲卷理)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为　　　　.
答案：
解析：设3次取出的球上的数字依次为a，b，c，则无放回地随机取3 次球的取法有＝120(种)，则｜m－n｜＝＝≤，可得｜a＋b－2c｜≤3.当c＝1时，a，b需要满足“3≤a＋b≤5”，所有可能情况为(2，3)，(3，2)，共2种.当c＝2时，a，b需要满足“3≤a＋b≤7”，所有可能情况为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，(5，1)，(6，1)，共10种.当c＝3时，a，b需要满足“3≤a＋b≤9”，所有可能情况为(1，2)，(2，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，4)，(4，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(4，5)，(5，4)，共16种.当c＝4时，a，b需要满足“5≤a＋b≤11”，所有可能情况为(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(3，6)，(6，3)，(5，6)，(6，5)，共16种.当c＝5时，a，b需要满足“7≤a＋b≤13”，所有可能情况为(1，6)，(6，1)，(2，6)，(6，2)，(3，4)，(4，3)，(3，6)，(6，3)，(4，6)，(6，4)，共10种.当c＝6时，a，b需要满足“9≤a＋b≤15”，所有可能情况为(4，5)，(5，4)，共2种.故共有2＋10＋16＋16＋10＋2 ＝56(种)可能情况，所以所求概率P＝＝.
溯源：(湘教必修第二册习题5.2P226T4)抛掷两枚质地均匀的骰子，试计算下列事件的概率：
(1)两枚骰子的点数相同；
(2)两枚骰子的点数之和是6；
(3)两枚骰子的点数之和不是6；
(4)至少一枚骰子的点数是3.
点评：以上两道高考试题都是考查古典概型的计算，与教材习题基本类似，解题方法一致，但难度较高.
(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β (0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).(　　)
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D.当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
答案：ABD
解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为 1 的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件的和，它们互斥，由选项B知，所求的概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'＝1－α，而0＜α＜0.5，因此P－P'＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)＞0，即P＞P'，故D正确.故选ABD.
(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案：B
解析：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，两点数和为7的所有可能为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝＝，P(丁)＝＝，A：P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，B：P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，C：P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，D：P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故选B.
溯源：(湘教必修第二册P235例1)假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两
学生用书 第153页
种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩.
点评：以上两道高考试题都是考查事件独立性的判断与独立事件概率的计算问题，与教材例题类型相同，解法一致.
(2023·全国甲卷)某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝.故选D.
(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：法一：从2至8的7个整数中任取两个数共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为＝.
法二：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)共7种，故所求概率P＝＝.故选D.
(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝()4＝.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为，故需要进行五场比赛的概率为：P＝1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，，故丙最终获胜的概率P＝＋＋＋＝.
溯源：(湘教必修第二册复习题五P246T19)2022年4月16日“神舟十三号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.在太空停留期间，航天员们组织了两次“天宫课堂”，进行太空授课，这极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某班组织了一次“航天知识答题竞赛”，竞赛规则是共设四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知小楠同学能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否回答正确互不影响.
(1)求小楠同学进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求小楠同学至多进入第三轮考核的概率.
点评：该高考题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题，与教材复习题题型一致，解法相同.
单元检测卷(五)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，则下列说法正确的是(　　 )
A.事件“t＝12”的概率为
B.事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件
C.事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件
D.事件“t＞8且mn＜32”的概率为
答案：D
解析：连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，则
事件“t＝12”的概率为，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，故B错误；
“t＝2”包含在“t≠3”中，所以事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”共有9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；
故选D.
2.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为(　　 )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：依题意，取球次数为4次，即前3次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球.
①若第一次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P1＝×()2×＝，
②若第二次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P2＝×××＝，
③若第三次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为：P3＝()3×＝，所以在此过程中恰有两次取到黑球的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
故选A.
3.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为(　　 )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
故选A.
4.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是(　　 )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：三位数的回文数为ABA，
A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…
共有9×10＝90个，
其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…
其有4×10＝40个，
所以三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝.
故选D.
5.从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，方法有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共4种，其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：(1，2，3)共1种，故所求概率为.故选C.
6.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为(　　 )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：把2只鸡记为m，n，2只兔子记为长耳朵H，和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只全部取出，共有如下24种不同的取法，
(m，n，H，h)，(m，n，h，H).(m，H，n，h)，(m，H，h，n)，(m，h，H，n)，(m，h，n，H)，
(n，m，H，h)，(n，m，h，H)，(n，H，m，h)，(n，H，h，m)，(n，h，H，m)，(n，h，m，H)，
(H，m，n，h)，(H，m，h，n)，(H，n，m，h)，(H，n，h，m)，(H，h，m，n)，(H，h，n，m)，
(h，m，n，H)，(h，m，H，n)，(h，n，m，H)，(h，n，H，m)，(h，H，m，n)，(h，H，n，m)，
其中“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物，则共有6种取法，
则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为＝.故选D.
7.小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为(　　 )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为：
P＝×(1－)＋(1－)×＝.故选A.
8.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场.每场比赛中胜者得1分，否则得0分.若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马，则比赛结束时，齐王得2分的概率为(　　 )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，
所有的基本事件有6种，分别为(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，
比赛结束时，齐王得2分的基本事件为(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共4种，
所以所求概率P＝＝.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列说法正确的是(　　)
A.一共有36种不同的结果
B.两枚骰子向上的点数相同的概率是
C.两枚骰子向上的点数之和为5的概率是
D.两枚骰子向上的点数之差的绝对值小于4的概率为
答案：ABD
解析：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，一共有6×6＝36种不同的结果，A选项正确；对于B选项，事件“两枚骰子向上的点数相同”所包含的基本事件有：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6种不同的结果，所求概率为＝，B选项正确；对于C选项，事件“两枚骰子向上的点数之和为5”所包含的基本事件有：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种不同的结果，所求概率为＝，C选项错误；对于D选项，事件“两枚骰子向上的点数之差的绝对值不小于4”所包含的基本事件有：(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)，共6种不同的结果，因此，事件“两枚骰子向上的点数之差的绝对值小于4”的概率为1－＝，D选项正确.故选ABD.
10.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是(　　 )
A.2个球颜色相同的概率为　
B.2个球不都是红球的概率为　
C.至少有1个红球的概率为　
D.2个球中恰有1个红球的概率为
答案：ACD
解析：甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，
这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，
对于A，2个球颜色相同的概率为P＝×＋×＝，故A正确；
对于B，2个球不都是红球的概率为P＝1－×＝，故B错误；
对于C，至少有1个红球的概率为P＝1－×＝，故C正确；
对于D，2个球中恰有1个红球的概率为P＝×＋×＝，故D正确.
故选ACD.
11.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示，现随机选取一个成员，则(　　)
A.他只属于音乐小组的概率为
B.他只属于英语小组的概率为
C.他属于至少2个小组的概率为
D.他属于不超过2个小组的概率为
答案：CD
解析：由题图知参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60人，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为＝，只属于英语小组的概率为＝.“至少2个小组”包括“2个小组”和“3个小组”两种情况.故他属于至少2个小组的概率为＝，“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“他属于3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－＝.故选CD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)
12.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为　　　　.
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C).
答案：①④
解析：因为口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，
事件A＝ “取出的两球同色”， B＝ “取出的2球中至少有一个黄球”，C＝ “取出的2球中至少有一个白球”， D＝ “取出的两球不同色”， E＝ “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得A与D为对立事件，故①正确；
②，B与C有可能同时发生，故B与C不是互斥事件，故②错误；
③，C与E有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，P(C)＝1－＝，P(E)＝，P(CE)＝，
从而P(C∪E)＝P(C)＋P(E)－P(CE)＝1，故④正确；
⑤，C≠B，P(B)＝1－＝，从而P(B)≠P(C)，故⑤错误.
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
答案：0.18
解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是p＝0.108＋0.072＝0.18.
14.一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中.由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到1号球的概率为　　　　.
答案：
解析：一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取球，
甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球，则甲能取到1号球的概率为P1＝，若编号不为1，则将该球放回袋子中.
由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，
则甲能取到1号球的概率为P2＝××＝，
所以甲能取到1号球的概率为：
P＝P1＋P2＝＋＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植，为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立.
　　　村庄 农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；
(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物B的概率；
(3)经调研，农作物A的亩产量为800斤、900斤、1 000斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率.
解：(1)记“甲村选择种植农作物A”为事件A，“乙村选择种植农作物A”为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2)因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为，，
乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为，.
随机抽取的4户中有0户选择种植农作物B的概率为：
P1＝×××＝，
有1户选择种植农作物B的概率为：
P2＝2××××＋××2××＝，
记“至少有2户选择种植农作物B”为事件C，
则P(C)＝1－P1－P2＝.
(3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D，
则P(D)＝×＋×(＋)＝.
16.(本小题满分15分)有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00 ppm(即百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm)，数据统计如下：
0.07　0.24　0.39　0.54　0.61　0.66　0.73　0.82　0.82　0.82
0.87　0.91　0.95　0.98　0.98　1.02　1.02　1.08　1.14　1.20
1.20　1.26　1.29　1.31　1.37　1.40　1.44　1.58　1.62　1.68
(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的百分位数P80；
(2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔连通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.
①将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
②将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.
解：(1)由题意知，数据的中位数为＝1，
数据的众数为0.82，
数据的极差为1.68－0.07＝1.61，
30×80％＝24，估计这批鱼该项数据的百分位数P80＝＝1.34.
(2)①记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则P(A)＝×＝，
记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，则P(B)＝×＝，
因为事件A与事件B互斥，
所以两条鱼最终在同一水池的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
②记“两条鱼同时从第一个小孔通过”为事件C1，“两条鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2，……依次类推；而两条鱼的游动独立，
所以P(C1)＝P(C2)＝…＝×＝，
记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C，则C与C1∪C2∪…∪C10对立，又由事件C1，事件C2，……事件C10互斥，
所以P()＝P(C1∪C2∪…∪C10)＝10×＝，
即P(C)＝1－P(C1∪C2∪…∪C10)＝.
17.(本小题满分15分)某疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献.荆州市某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有4名、2名、2名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作.现医院根据需要选派2名医生进入隔离病房工作.
(1)求选派的2名医生来自同一个科室的概率；
(2)求选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生的概率.
解：设呼吸科的4名医生分别记为Ai(i＝1，2，3，4)；急诊科的2名医生分别记为Bj(j＝1，2)；
免疫科的2名医生分别记为Ck(k＝1，2).
现从这8名医生中选派2名医生，所有的选派方法有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)共28个基本事件.
(1)记“这2名医生来自同一个科室”为事件A，它包括：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)，(C1，C2)共8个基本事件.
因为每一种情况被抽取的可能性都相等，所以由古典概型的概率计算公式可知，
事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)记“选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生”为事件B，所有的选派方法有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2).共22个基本事件.
因为每一种情况被抽到的可能性都相等，由古典概型的概率计算公式可得，
事件B发生的概率为P(B)＝＝.
18.(本小题满分17分)第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练.甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球乙赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球乙赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率.
解：(1)设乙发球乙赢为事件A，甲发球乙赢为事件B，该局打4个球乙赢为事件C，
由题意得P(A)＝，P(B)＝，
P(C)＝P(BBA)＝×(1－)××＝，
所以该局打4个球乙赢的概率为.
(2)设该局打5个球结束甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
D，E是互斥事件，D＝BB，E＝AAB，F＝D∪E，
所以P(D)＝×(1－)××(1－)×(1－)＝，P(E)＝(1－)××(1－)××＝，P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝＋＝，
所以该局打5个球结束的概率为.
19.(本小题满分17分)某校高二年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在[90，100)的矩形面积为0.16.
求：
(1)分数在[50，60)的学生人数；
(2)这50名学生成绩的中位数(精确到0.01)；
(3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率.
解：(1)由所有的矩形面积和为1可得：
分数在[50，60)的频率为1－(0.04＋0.2＋0.3＋0.24＋0.16)＝0.06，
故分数在[50，60)的人数是50×0.06＝3人，
(2)由0.04＋0.06＋0.2＝0.3，0.04＋0.06＋0.2＋0.3＝0.6，
故中位数落在第四组，
则中位数为70＋×10≈76.67.
(3)分数在[40，50)的有2人，记为a，b，在[50，60)共有3人，记为c，d，e，
从这5名学生任选2人的方法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
两人来自不同组的有ac，ad，ae，bc，bd，be共6种，
所以两人来自不同组的概率＝.
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章末综合提升
　
第5章　概 率
体系构建
返回
分层探究
素养一　数学抽象
　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.在本章中，主要表现在互斥事件，对立事件与相互独立事件的判断和概率与频率的概念等.
题型一　互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断
(1)(多选)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是
A.至少有1个红球与都是红球
B.至少有1个红球与至少有1个白球
C.恰有1个红球与恰有2个红球
D.至多有1个红球与恰有2个红球
典例
1
√
√
根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件；
C中两事件是互斥而不对立事件；
D中至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个都是红球的情况，因此它们不对立，D符合题意.故选CD.
(2)(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是
A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”
√
√
√
在A中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，
题型二　概率与频率
对一批U盘进行抽检，结果如下表：
(1)计算表中次品的频率；
解：表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
典例
2
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9

(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
解：当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9

(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解：设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥ 2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9

素养二　数学运算
　　数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章中，数学运算主要体现在概率计算中.
题型三　古典概型
某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
典例
3
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果；
解：在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15个样本点.
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
题型四　事件的相互独立性
在某校年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终A，B，C，D四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中，对阵形式为：A对阵C，B对阵D，获胜球队进入决赛争夺冠、亚军，失利球队争夺三、四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示：
则A队最终获得冠军的概率为______.
典例
4
－ A B C D
A获胜概率 0.3 0.4 0.8
B获胜概率 0.7 0.7 0.5
C获胜概率 0.6 0.3 0.3
D获胜概率 0.2 0.5 0.7
0.22
A胜C的概率为0.4，
B胜D且A胜B的概率为0.5×0.3＝0.15，
D胜B且A胜D的概率为0.5×0.8＝0.4，
故A队最终获得冠军的概率为0.4×0.15＋0.4×0.4＝0.22.
－ A B C D
A获胜概率 0.3 0.4 0.8
B获胜概率 0.7 0.7 0.5
C获胜概率 0.6 0.3 0.3
D获胜概率 0.2 0.5 0.7
题型五　概率与统计的综合应用
某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男生、女生的优秀人数各为多少？
典例
5
解：由题意可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
素养三　数学建模
　　数学建模主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.在本章中，数学建模主要体现在实际问题的概率求解中.
题型六　概率的实际应用
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理如表.规定：数据≥60，体质健康为合格.
典例
6
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.2 2 91
良好 [80，89] 4 83.8 4 84.2
及格 [60，79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49
总计 － 20 75.0 20 71.9
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.2 2 91
良好 [80，89] 4 83.8 4 84.2
及格 [60，79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49
总计 － 20 75.0 20 71.9
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.2 2 91
良好 [80，89] 4 83.8 4 84.2
及格 [60，79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49
总计 － 20 75.0 20 71.9
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考教衔接
(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_____.
真题
1
真题
2
溯源：(湘教必修第二册习题5.2P226T4)抛掷两枚质地均匀的骰子，试计算下列事件的概率：
(1)两枚骰子的点数相同；
(2)两枚骰子的点数之和是6；
(3)两枚骰子的点数之和不是6；
(4)至少一枚骰子的点数是3.
点评：以上两道高考试题都是考查古典概型的计算，与教材习题基本类似，解题方法一致，但难度较高.
(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β (0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D.当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
真题
3
√
√
√
(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
真题
4
√
溯源：(湘教必修第二册P235例1)假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩.
点评：以上两道高考试题都是考查事件独立性的判断与独立事件概率的计算问题，与教材例题类型相同，解法一致.
真题
5
√
真题
6
√
真题
7
点评：该高考题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题，与教材复习题题型一致，解法相同.
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单元检测卷
√
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√
√
把2只鸡记为m，n，2只兔子记为长耳朵H，和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只全部取出，共有如下24种不同的取法，
(m，n，H，h)，(m，n，h，H).(m，H，n，h)，(m，H，h，n)，(m，h，H，n)，(m，h，n，H)，
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√
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√
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√
12.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为__________.
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C).
①④
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_______.
0.18
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是p＝0.108＋0.072＝0.18.
14.一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中.由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到1号球的概率为______.
15.(本小题满分13分)某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植，为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立.
(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；
　　　村庄
农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
　　　村庄
农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
　　　村庄
农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
　　　村庄
农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
　　　村庄
农作物　　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
16.(本小题满分15分)有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00 ppm(即百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm)，数据统计如下：
0.07　0.24　0.39　0.54　0.61　0.66　0.73　0.82　0.82　0.82
0.87　0.91　0.95　0.98　0.98　1.02　1.02　1.08　1.14　1.20
1.20　1.26　1.29　1.31　1.37　1.40　1.44　1.58　1.62　1.68
(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的百分位数P80；
17.(本小题满分15分)某疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献.荆州市某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有4名、2名、2名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作.现医院根据需要选派2名医生进入隔离病房工作.
(1)求选派的2名医生来自同一个科室的概率；
解：设呼吸科的4名医生分别记为Ai(i＝1，2，3，4)；急诊科的2名医生分别记为Bj(j＝1，2)；
免疫科的2名医生分别记为Ck(k＝1，2).
19.(本小题满分17分)某校高二年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在[90，100)的矩形面积为0.16.
求：
(1)分数在[50，60)的学生人数；
解：由所有的矩形面积和为1可得：
分数在[50，60)的频率为1－(0.04＋0.2＋0.3＋0.24＋0.16)＝0.06，
故分数在[50，60)的人数是50×0.06＝3人，
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