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6.2　数学建模——从自然走向理性之路
学习目标 通过伽利略研究自由落体运动的过程的学习，了解如何提出数学建模问题，掌握数学建模的一般步骤，体会数学建模的思想方法，提升数学建模的核心素养.
一、数学建模的基本过程
二、实例说明如何建模
在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？
【建立模型】
经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：
(1)通过路口的车辆长度都相等；
(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.
将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理.
另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶.
资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s.
延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理，用tn
学生用书 第156页
表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是
tn*－tn＝＝5.55 (s).
用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)＞0的n的最大值，其中
Sn(t)＝
【求解模型】
代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如表：
汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8
位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1
由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过.因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车.
【检验结果】
到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.
[应用体验]
妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你.如图1所示.
模型假设
(1)假设蛋糕是平放在桌面上的，即蛋糕表面与水平面是平行的.
(2)假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形.
模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲
线(无论什么形状).P是曲线所围成的图形上一点.(如图2)
求证：存在一条过P点的直线L，将这个图形的面积二等分.
模型求解　过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线.现在，我们考虑S1≠S2的情形：
不失一般性，设S1＞S2，首先，建立如图的坐标轴：x轴.设直线L与x轴的初始夹角为α0.
以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化.即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数.
令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)＞0.
f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)＜0.
根据零点定理，存在一点c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)＝S1(c)－S2(c)＝0，
即存在一点c∈(α0，α0＋π)使得S1(c)＝S2(c).
模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知：
对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块.
模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决.
学生用书 第157页(共12张PPT)
6.2　数学建模——从自然走向理性之路
　
第6章　数学建模
学习目标
通过伽利略研究自由落体运动的过程的学习，了解如何提出数学建模问题，掌握数学建模的一般步骤，体会数学建模的思想方法，提升数学建模的核心素养.
一、数学建模的基本过程
二、实例说明如何建模
在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？
【建立模型】
经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：
(1)通过路口的车辆长度都相等；
(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.
典例
【求解模型】
代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置， 如表：
由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过.因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车.
汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8
位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1
【检验结果】
到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.
应用体验
妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你.如图1所示.
模型假设
(1)假设蛋糕是平放在桌面上的，即蛋糕表面与水平面是平行的.
(2)假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形.
模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲
线(无论什么形状).P是曲线所围成的图形上一点.(如图2)
求证：存在一条过P点的直线L，将这个图形的面积二等分.
模型求解　过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线.现在，我们考虑S1≠S2的情形：
不失一般性，设S1＞S2，首先，建立如图的坐标轴：x轴.设直线L与x轴的初始夹角为α0.
以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化.即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数.
令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)＞0.
f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)＜0.
根据零点定理，存在一点c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)
＝S1(c)－S2(c)＝0，
即存在一点c∈(α0，α0＋π)使得S1(c)＝S2(c).
模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知：
对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块.
模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决.

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