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第二节　常用逻辑用语
新课标要求 真题分布
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 2025年 北京卷T7
2024年 新高考Ⅱ卷T2
2023年 新高考Ⅰ卷T7
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．命题p与p的否定的真假性相反．
回归教材
1.(人教A版必修一P22习题T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是b2－4ac≥0(a≠0)的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(人教A版必修一P34复习参考题T4(3)改编)“x∈A”是“x∈A”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(人教A版必修一P31习题T3(3)改编)命题“ x∈R，x＋1≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，x＋1<0
B． x∈R，x＋1>0
C． x∈R，x＋1<0
D． x∈R，x＋1>0
4．(多选)(人教A版必修一P31习题T1，2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．有些菱形是正方形
C．对任意负数x，x的平方是正数
D．梯形的对角线相等
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
　视角一　充分、必要条件的判断
例1 (1)(2026·黄冈模拟)给出条件p：△ABC的三边既成等差数列又成等比数列，q：△ABC为正三角形，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：根据p q，q p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难时，可举反例判断．
(2)集合法：如果条件p和结论q都是集合，那么若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
　跟踪训练　(1)(2026·山东日照二模)“log3a>log3b”是“a>b>0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2026·深圳模拟)已知a，b是非零向量，则“a与b是相等向量或相反向量”是“(a＋b)·(a－b)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
视角二　充分、必要条件的应用
例2 (1)(2026·秦皇岛一模)已知λ>0，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)<0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为(　　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个公共根的充要条件是A＝90°.
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．
(2)证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
　跟踪训练　(1)已知p：|3－x|≤4，q：x2－4x＋4－9m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
(2)设函数y＝a2x2＋a2x＋1，a∈R且a≠0，证明：对于 x∈R，a2x2＋a2x＋1≥0的充要条件是0<|a|≤2.
视角三　全称量词命题与存在量词命题
例3 (1)(2026·保定一模)已知命题p： n∈N*，>lg n，则 p为(　　)
A． n∈N*，≤lg n B． n∈N*，>lg n
C． n∈N*，≤lg n D． n N*，≤lg n
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1，命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)已知m∈R，命题p： x∈R，x2－3x－m≤0；命题q： x∈R，x2－2mx＋9≥0.若命题p是假命题， q是真命题，则实数m的取值范围为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可．
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成由 p的真假求参数的范围．
　跟踪训练　(1)(2026·哈尔滨二模)命题“ x>0，ex＋1≤3x”的否定是(　　)
A． x≤0，ex＋1>3x
B． x>0，ex＋1≤3x
C． x>0，ex＋1>3x
D． x>0，ex＋1>3x
(2)已知命题p： x∈R，x2＋2x＋1>0；命题q：＋3x0＋1≤0，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
(3)(2026·洛阳模拟)命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[－3，1]
D．(－3，1)
提示：请完成课时作业2
第二节　常用逻辑用语
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，所以“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的充要条件．故选C.
答案：C
2．解析：因为A＝{x|x∈A且x∈B}，故由x∈A得不出x∈即p不是q的充分条件；而由x∈A可得x∈A且x∈B，故必有x∈A成立，即p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：因为命题“ x∈R，x＋1≥0”，所以其否定为 x∈R，x＋1<0.故选A.
答案：A
4．解析：对于A，“每一个末位是0的整数都是5的倍数”，“每一个”是全称量词，为全称量词命题．末位是0的整数符合5的倍数特征，是真命题．对于B，“有些菱形是正方形”，“有些”是存在量词，为存在量词命题，不符合要求．对于C，“对任意负数x，x的平方是正数”，“任意”是全称量词，为全称量词命题．负数的平方是正数，是真命题．对于D，“梯形的对角线相等”，默认为全称量词命题，但只有等腰梯形对角线相等，是假命题．故选AC.
答案：AC
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)若△ABC的三边既成等差数列又成等比数列，则2b＝a＋c，b2＝ac，所以()2＝ac，a＝c，所以a＝c＝b，即△ABC的形状是等边三角形，即p q，p是q的充分条件；若△ABC为正三角形，则三边a＝b＝c，因为a＝b＝c，所以2b＝a＋c，满足等差数列定义，公差为0；又因为a＝b＝c，所以b2＝ac，满足等比数列定义，公比为1，即三边既成等差数列又成等比数列，所以q p，p是q的必要条件，所以p是q的充分必要条件．故选C.
解析：(2)若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立．所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A.
答案：(1)C　
答案：(2)A
跟踪训练　解析：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)单调递增，所以log3a>log3b等价于a>b>0，所以“log3a>log3b”是“a>b>0”的充要条件．故选A.
解析：(2)若a＝－b，则a＋b＝0，所以(a＋b)·(a－b)＝0，若a＝b，则a－b＝0，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故由“a＝－b或a＝b”推得出“(a＋b)·(a－b)＝0”，即充分性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，则a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以由“(a＋b)·(a－b)＝0”推不出“a＝－b或a＝b”，故必要性不成立．所以“a与b是相等向量或相反向量”是“(a＋b)·(a－b)＝0”的充分不必要条件．故选A.
答案：(1)A　
答案：(2)A
视角二
例2　解析：(1)A＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－10，解得0<λ≤3，所以λ的取值范围为(0，3].故选B.
答案：(2)证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0的公共根为m，
则m2＋2am＋b2＝0，m2＋2cm－b2＝0，两式相加，得m＝－(a＋c)或m＝0(因为b≠0，所以m＝0不成立，故舍去)，
将m＝－(a＋c)代入m2＋2am＋b2＝0，得[－(a＋c)]2＋2a[－(a＋c)]＋b2＝0，
整理得a2＝b2＋c2，所以A＝90°，因此，必要性成立．
充分性：当A＝90°时，a2＝b2＋c2.
x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
所以方程x2＋2ax＋b2＝0的两根为x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c).
同理，由x2＋2cx－b2＝0可得[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以方程x2＋2cx－b2＝0的两根为x3＝－(c＋a)，x4＝－(c－a).
显然x1＝x3，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．
故关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个公共根的充要条件是A＝90°.
答案：(1)B　
(2)见解析
跟踪训练　解析：(1)由p：|3－x|≤4可得－4≤3－x≤4，即－1≤x≤7，
由q：x2－4x＋4－9m2≤0(m>0)可得(x－2)2≤9m2(m>0)，
即－3m＋2≤x≤3m＋2(m>0)，
又因为q是p的充分不必要条件，
所以[－3m＋2，3m＋2](m>0)是[－1，7]的真子集，
所以或解得m∈(0，1].
(2)证明：因为a≠0，所以函数y＝a2x2＋a2x＋1图象的对称轴为直线x＝－＝－，
所以ymin＝(－)2a2－a2＋1＝－a2＋1.
先证充分性：因为0<|a|≤2，且ymin＝－a2＋1≥－×22＋1＝0，所以a2x2＋a2x＋1≥0；
再证必要性：因为对于 x∈R，a2x2＋a2x＋1≥0，所以ymin≥0，即－a2＋1≥0，从而0<|a|≤2.
综上可知，对于 x∈R，a2x2＋a2x＋1≥0的充要条件是0<|a|≤2.
答案：(1)m∈(0，1]　(2)见解析
视角三
例3　解析：(1)全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以 p为“ n∈N*，≤lg n”．故选A.
(2)对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B.
(3)若p是假命题，则 p： x∈R，x2－3x－m>0是真命题，则(－3)2＋4m<0，解得m<－.若命题q： x∈R，x2－2mx＋9≥0是真命题，则4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，此时 q是假命题，若 q是真命题，可得m<－3或m>3.若命题p是假命题， q是真命题，则实数m的取值范围为(－∞，－3)．
答案：(1)A　(2)B　(3)(－∞，－3)
跟踪训练　解析：(1)命题“ x>0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，其否定为 x>0，ex＋1>3x.故选C.
(2)注意到当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，则p是假命题， p是真命题；又注意到x＝－1时＋3x0＋1＝－1，则q为真命题， q是假命题；所以 p和q都是真命题．故选B.
(3)由已知可得，命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1<0”的否定，即命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1≥0”为真命题，根据二次函数的性质可得Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.故选C.
答案：(1)C　
答案：(2)B　
答案：(3)C(共63张PPT)
第二节　常用逻辑用语
新课标要求 真题分布
1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2．理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．
3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 2025年 北京卷T7
2024年 新高考Ⅱ卷T2
2023年 新高考Ⅰ卷T7
知识导图
【重要结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．命题p与p的否定的真假性相反．
回归教材
1.(人教A版必修一P22习题T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是b2－4ac≥0(a≠0)的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，所以“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的充要条件．故选C.
答案：B
3．(人教A版必修一P31习题T3(3)改编)命题“ x∈R，x＋1≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，x＋1<0 B． x∈R，x＋1>0
C． x∈R，x＋1<0 D． x∈R，x＋1>0
答案：A
解析：因为命题“ x∈R，x＋1≥0”，所以其否定为 x∈R，x＋1<0.故选A.
4．(多选)(人教A版必修一P31习题T1，2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．有些菱形是正方形
C．对任意负数x，x的平方是正数
D．梯形的对角线相等
答案：AC
解析：对于A，“每一个末位是0的整数都是5的倍数”，“每一个”是全称量词，为全称量词命题．末位是0的整数符合5的倍数特征，是真命题．对于B，“有些菱形是正方形”，“有些”是存在量词，为存在量词命题，不符合要求．对于C，“对任意负数x，x的平方是正数”，“任意”是全称量词，为全称量词命题．负数的平方是正数，是真命题．对于D，“梯形的对角线相等”，默认为全称量词命题，但只有等腰梯形对角线相等，是假命题．故选AC.
　视角一　充分、必要条件的判断
例1 (1)(2026·黄冈模拟)给出条件p：△ABC的三边既成等差数列又成等比数列，q：△ABC为正三角形，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C　
(2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立．所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A.
学霸笔记：充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：根据p q，q p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难时，可举反例判断．
(2)集合法：如果条件p和结论q都是集合，那么若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
跟踪训练　(1)(2026·山东日照二模)“log3a>log3b”是“a>b>0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A　
解析：因为函数y＝log3x在(0，＋∞)单调递增，所以log3a>log3b等价于a>b>0，所以“log3a>log3b”是“a>b>0”的充要条件．故选A.
(2)(2026·深圳模拟)已知a，b是非零向量，则“a与b是相等向量或相反向量”是“(a＋b)·(a－b)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a＝－b，则a＋b＝0，所以(a＋b)·(a－b)＝0，若a＝b，则a－b＝0，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故由“a＝－b或a＝b”推得出“(a＋b)·(a－b)＝0”，即充分性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，则a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以由“(a＋b)·(a－b)＝0”推不出“a＝－b或a＝b”，故必要性不成立．所以“a与b是相等向量或相反向量”是“(a＋b)·(a－b)＝0”的充分不必要条件．故选A.
视角二　充分、必要条件的应用
例2 (1)(2026·秦皇岛一模)已知λ>0，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)<0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为(　　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
答案：B　
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个公共根的充要条件是A＝90°.
答案：证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0的公共根为m，
则m2＋2am＋b2＝0，m2＋2cm－b2＝0，两式相加，得m＝－(a＋c)或m＝0(因为b≠0，所以m＝0不成立，故舍去)，
将m＝－(a＋c)代入m2＋2am＋b2＝0，得[－(a＋c)]2＋2a[－(a＋c)]＋b2＝0，
整理得a2＝b2＋c2，所以A＝90°，因此，必要性成立．
充分性：当A＝90°时，a2＝b2＋c2.
x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，所以方程x2＋2ax＋b2＝0的两根为x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c).
同理，由x2＋2cx－b2＝0可得[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以方程x2＋2cx－b2＝0的两根为x3＝－(c＋a)，x4＝－(c－a).
显然x1＝x3，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．
故关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个公共根的充要条件是A＝90°.
学霸笔记：(1)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．
(2)证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
跟踪训练　(1)已知p：|3－x|≤4，q：x2－4x＋4－9m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案：m∈(0，1]　

(2)设函数y＝a2x2＋a2x＋1，a∈R且a≠0，证明：对于 x∈R，a2x2＋a2x＋1≥0的充要条件是0<|a|≤2.
答案：A　
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1，命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
答案：B　
(3)已知m∈R，命题p： x∈R，x2－3x－m≤0；命题q： x∈R，x2－2mx＋9≥0.若命题p是假命题， q是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案：(－∞，－3)
学霸笔记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可．
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成由 p的真假求参数的范围．
跟踪训练　(1)(2026·哈尔滨二模)命题“ x>0，ex＋1≤3x”的否定是(　　)
A． x≤0，ex＋1>3x
B． x>0，ex＋1≤3x
C． x>0，ex＋1>3x
D． x>0，ex＋1>3x
答案：C　
答案：B　
答案：C
1．(2026·南通模拟)已知命题p： x∈R，|x|≥0，则 p：(　　)
A． x R，|x|≥0 B． x∈R，|x|<0
C． x R，|x|<0 D． x∈R，|x|<0
答案：D
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，则 p： x∈R，|x|<0.故选D.
2．(2026·泉州模拟)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由a2＝b2，得a＝b或a＝－b，由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
3．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且A＝50°，则“50°A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
答案：A
5．若p：1－x>0是q：2x≤a的必要不充分条件，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>2 B．a≥2
C．a<2 D．a≤2
答案：C
6．(2026·南阳模拟)已知a∈R，若“ x∈R，a＝2x＋1”为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案：C
解析：命题“ x∈R，a＝2x＋1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为 x∈R，a≠2x＋1，而函数y＝2x＋1的值域为(1，＋∞)，由“ x∈R，a＝2x＋1”为假命题，得“ x∈R，a≠2x＋1”为真命题，则a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1].故选C.
7．(2026·福州模拟)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案：A
解析：假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题，由乙“x＝3是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为2－3＝－1，此时两根为3和－1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真，方程的根为3和－1，不含1，所以甲“x＝1是该方程的根”为假，此情况符合题意；假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题，由甲“x＝1是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1，此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立；
假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题，由甲“x＝1是该方程的根”和乙“x＝3是该方程的根”可知，方程的两根为1和3，此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立；假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题，由甲“x＝1是该方程的根”和乙“x＝3是该方程的根”可知，方程的两根为1和3，此时两根之和为1＋3＝4，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立．综上所述，只有甲是假命题．故选A.
答案：D

答案：BD

答案：BD
11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，则m的取值范围是________．
答案：[2，3]
12．已知f(x)＝x2－mx＋4，g(x)＝log2x，若“ x1∈[1，4]， x2∈[2，4]，使得f(x1)>g(x2)成立”为真命题，则实数m的取值范围是________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·齐齐哈尔模拟)已知p：(x＋4)(x－1)≤0，q：x2－(2m＋1)x＋m2＋m≤0.
(1)若m＝1，p，q有且只有一个为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
14．(15分)已知函数f(x)＝sin x－ax cos x，a∈R.
记p： t>0，使得对 x∈(0，t)，都有|f(x)|≤2x；q： t>0，使得对 x∈(－t，t)，都有|f(x)|≤2|x|.
证明：p是q的充要条件．
证明：必要性：若q成立，即存在t>0，使得对任意x∈(－t，t)，都有|f(x)|≤2|x|，则对任意x∈(0，t)，|f(x)|≤2|x|＝2x，即p成立．
充分性：若p成立，即存在t>0，使得对任意x∈(0，t)，都有|f(x)|≤2x.
当x∈(0，t)时，有|f(x)|≤2x＝2|x|；当x＝0时，有|f(x)|＝2|x|＝0；
当x∈(－t，0)时，－x∈(0，t)，由f(－x)＝sin (－x)－a(－x)·cos (－x)＝－f(x)，知f(x)是奇函数．所以|f(x)|＝|－f(－x)|＝|f(－x)|≤2|－x|＝2|x|.
于是对任意x∈(－t，t)，都有|f(x)|≤2|x|，即q成立．
综上，p是q的充要条件．
15.(5分)已知定义在R上的函数f(x)，集合A＝{x0| x∈(x0，＋∞)，f(x)A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若A＝[0，2]，则x0∈[0，2]，由 x∈(x0，＋∞)，f(x)16．(5分)已知命题p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是________.
答案：(0，＋∞)

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