资源简介

第一节　集合
新课标要求 真题分布
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集． 3．理解集合间的交、并、补的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 2025年 全国Ⅰ卷T2， 全国Ⅱ卷T3
2024年 新高考Ⅰ卷T1
2023年 新高考Ⅰ卷T1， 新高考Ⅱ卷T2
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A B，A＝A，A＝B， UB UA以及A∩( U B)＝ 两两等价．
3． U(A＝( UA)∪ ( UB)， U(A＝( UA)∩ ( UB)．
回归教材
1.(人教A版必修一P9习题T1(2)改编)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　)
A．1∈A B．{－1}?A
C． A D．{－1，1}＝A
2．(人教A版必修一P14习题T6改编)已知全集U＝A＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(
U B)＝{1，3，5，7}，则B＝(　　)
A．{2，4，6，8} B．{2，4，6，8，10}
C．{0，2，4，6，8，10} D．{0，2，4，6，8，9，10}
3．(人教A版必修一P35复习参考题T9改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A＝A，则实数a＝________．
4．(人教A版必修一P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　元素、集合间的关系
例1 (1)(2026·威海模拟)已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若A＝B，则m＝(　　)
A．0 B．0或2
C．1或2 D．0或1
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．[0，2]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利的找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．
(2)对于用描述法表示的集合，判断集合之间的关系，要从所含元素的特征来分析；若集合的特征性质可以统一形式，则统一形式后判断更方便．
(3)已知B A，求解集合中的参数问题，若集合A，B是连续的数集，不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且还要分B＝ 和B ≠ 两种情况讨论．若集合A，B是不连续的数集，要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性．
　跟踪训练　(1)(2026·景德镇模拟)满足{0} M?{－1，0，1}的集合M的个数为(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＋ax＋2＝0}有且仅有1个真子集，则实数a的取值集合为(　　)
A．{a|－2≤a≤2}
B．{－2，2}
C．{2}
D．{a|a<－2或a>2}
视角二　集合间的运算
例2 (1)(2026·唐山模拟)已知集合M＝{x|x2＋3x≤0}，N＝{x|log3(1－x)≤1}，则M＝(　　)
A．{x|x≥－2}
B．{x|x≥－3}
C．{x|－2≤x<1}
D．{x|－3≤x<1}
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2026·沧州一模)设全集U＝R，集合P＝－2x－3>0}，Q＝{x|x2－(2t＋1)x＋(t2＋t)≤0}，若( UP)＝Q，则(　　)
A．－3≤t≤0 B．－1≤t≤2
C．－2≤t≤2 D．－1≤t≤3
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．
(2)与连续的数集有关的交汇运算，要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组)，此时要注意集合端点的取值．
　跟踪训练　(1)(2026·秦皇岛模拟)集合A＝{y|y＝x2－1，y∈N}，B＝{x||1－x|≤2}，那么A＝(　　)
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}
C．[－1，3] D．
(2)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1( U RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
视角三　集合新定义问题
例3 (2026·南阳模拟)已知全集U＝{－2，－1，3，7，9}，集合A，B，C是全集U的三个子集，定义：|A|表示集合A中元素的个数，若|A＝|B＝|C＝1，A＝ ，则所有的有序子集列(A，B，C)有(　　)
A．360个 B．640个
C．960个 D．1 920个
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
　跟踪训练　(2026·蚌埠模拟)对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝{x，a∈A，b∈B}，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　)
A．5 B．
C． D．
提示：请完成课时作业1
第一节　集合
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：由x2－1＝0，得x＝±1，则A＝{－1，1}，所以1∈A，{－1}?A，{－1，1}＝A，即A、B、D正确；而 A，故C错误．故选C.
答案：C
2．解析：∵全集U＝A＝{x∈N|0≤x≤10}，∴A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∵A∩ ( UB)＝{1，3，5，7}，∴集合A中含有元素1，3，5，7，集合B中不含元素1，3，5，7，∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．故选D.
答案：D
3．解析：因为A＝A，所以B A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.
答案：2
4．解析：因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
答案：[2，＋∞)
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)由A＝B，得B A，因为B＝{1，m}，所以m≠1，因为集合A＝{1，2，}，所以m＝2或m＝，解得m＝2或m＝0(m＝1不合题意舍去)，所以m＝0或2.故选B.
(2)因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|x2－1≤0}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N M，A错误，B正确； RN＝(－∞，0)∪(1，+∞)，M
RN不成立，C错误； RM＝(－∞，－1)∪(1，+∞)，N RM不成立，D错误．故选B.
(3)因为A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，且A B，当a<0时，A＝ ，则A B，符合题意；当a≥0时，A≠ ，因为A B，则0≤a≤2.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2].故选D.
答案：(1)B　
答案：(2)B　
答案：(3)D
跟踪训练　解析：(1)由题意可得M＝{0}，{0，－1}，{0，1}，共3个．故选A.
(2)由集合A＝{x∈R|x2＋ax＋2＝0}有且仅有1个真子集，可得集合A中有且只有一个元素，所以方程x2＋ax＋2＝0有2个相等的实数解，即Δ＝a2－8＝0，解得a＝±2，所以实数a的取值集合为{－2，2}．故选B.
答案：(1)A　
答案：(2)B
视角二
例2　解析：(1)M＝{x|－3≤x≤0}，N＝{x|0<1－x≤3}＝{x|－2≤x<1}，故M＝{x|－3≤x<1}．故选D.
(2)由题得 UP＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，Q＝{x|t≤x≤t＋1}，因为( UP)＝Q，所以( UP) Q，所以解得－1≤t≤2.故选B.
答案：(1)D　
答案：(2)B
跟踪训练　解析：(1)由A＝{y|y＝x2－1，y∈N}，则y可以取0，1，2，…，由B＝{x||1－x|≤2}，得－2≤1－x≤2，解得－1≤x≤3，所以A＝{0，1，2，3}．故选B.
解析：(2)因为B＝{x|12}，又A∪ ( RB)＝R，所以a≤1.故选A.
答案：(1)B　
答案：(2)A
视角三
例3　解析：由|A＝|B＝|C＝1，得从全集U中选择3个元素分别作为A中的元素，不同方法种数是，余下的两个元素中的每一个元素只能是属于A，B，C中的一个或都不属于这3个集合，因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，所以所有的有序子集列(A，B，C)有×42＝960个．故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：根据新定义，集合A＝{1，2}，则A＋A＝{2，3，4}，则(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，}，则可知所有元素之和为.故选D.
答案：D(共56张PPT)
第一节　集合
新课标要求 真题分布
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．
3．理解集合间的交、并、补的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 2025年 全国Ⅰ卷T2，
全国Ⅱ卷T3
2024年 新高考Ⅰ卷T1
2023年 新高考Ⅰ卷T1，
新高考Ⅱ卷T2
知识导图
回归教材
1.(人教A版必修一P9习题T1(2)改编)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　)
A．1∈A B．{－1} A
C． A D．{－1，1}＝A
答案：C
解析：由x2－1＝0，得x＝±1，则A＝{－1，1}，所以1∈A，{－1} A，{－1，1}＝A，即A、B、D正确；而 A，故C错误．故选C.
答案：D
答案：2
4．(人教A版必修一P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0答案：[2，＋∞)
解析：因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
答案：B　
答案：B　
(3)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．[0，2]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
答案：D
(3)因为A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，且A B，当a<0时，A＝ ，则A B，符合题意；当a≥0时，A≠ ，因为A B，则0≤a≤2.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2].故选D.
学霸笔记：(1)集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利的找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．
(2)对于用描述法表示的集合，判断集合之间的关系，要从所含元素的特征来分析；若集合的特征性质可以统一形式，则统一形式后判断更方便．
(3)已知B A，求解集合中的参数问题，若集合A，B是连续的数集，不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且还要分B＝ 和B ≠ 两种情况讨论．若集合A，B是不连续的数集，要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性．
跟踪训练　(1)(2026·景德镇模拟)满足{0} M {－1，0，1}的集合M的个数为(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
答案：A　
答案：B
答案：D　
答案：B
学霸笔记：(1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．
(2)与连续的数集有关的交汇运算，要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组)，此时要注意集合端点的取值．
答案：B　
(2)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
答案：A
解析：因为B＝{x|12}，又A∪ ( RB)＝R，所以a≤1.故选A.
答案：C
学霸笔记：(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
答案：D
1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0　　　 B．3
C．5　　　 D．8
答案：C
解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}， UA中元素的个数为5.故选C.
2．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
答案：D
解析：∵x3＝x，∴x＝0或x＝±1，即B＝{0，1，－1}，又A＝{－4，0，1，2，8}，∴A∩B＝{0，1}．故选D.
3．(2026·鹤壁二模)已知集合A＝{x|y＝ln x，y≤1}，B＝{x||x|>e}，则A∩( RB)＝(　　)
A．(－e，e) B．(0，e]
C．(0，e2] D．(e，e2]
答案：B
解析：∵A＝(0，e]，B＝{x|x>e或x<－e}， RB＝[－e，e]，∴A∩( RB)＝(0，e].故选B.
答案：C
解析：因为集合A＝{0，a}，B＝{1，a－1，2a}，A B，所以0∈B，所以a－1＝0或2a＝0，若a－1＝0，则a＝1，此时A＝{0，1}，B＝{1，0，2}，满足题意；若2a＝0，则a＝0，此时集合A不满足集合元素的互异性，舍去．综上，a＝1.故选C.
5．(2026·保定模拟)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|y＝ln (－x2＋6x－5)}，则A∪B＝(　　)
A. {x|1C．{x|2≤x<5} D．{x|5≤x≤8}
答案：B
解析：因为－x2＋6x－5＝－(x－1)(x－5)>0，解得16．(2026·连云港模拟)已知集合{1，2，m，4}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数m＝(　　)
A．－4　　 B．－3
C．－2　　 D．－1
答案：B
7．(2026·长沙模拟)已知集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则整数集Z可以表示为(　　)
A．M∪N B．( ZM)∪N
C．( ZN)∪M D．( ZM)∩( ZN)
答案：C
解析：由M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，N＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}＝{…，－7，－3，1，5，9，…}，则N真包含于M，M真包含于Z，如图，由韦恩图可知，M∪N≠Z，( ZM)∪N≠Z，( ZN)∪M＝Z，( ZM)∩( ZN)≠Z.故选C.
8．(2026·保定二模)已知集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为(　　)
A．3　　　 B．4
C．7　　　 D．15
答案：D

答案：AC
答案：BC
11．(2026·邢台二模)已知集合M＝{x|ln (x2－x－1)＝0}，N＝{x|x≤a}，则下列结论正确的有(　　)
A．集合M的所有真子集个数是3
B．若M∩N≠ ，M∩N≠M，则－1≤a≤2
C．若M N，则a的最小值为2
D．若M ( RN)，则a的最大值为－1
答案：AC
解析：对于A，由题意M＝{x|ln (x2－x－1)＝0}＝{x|x2－x－1＝1}＝{x|x＝－1或x＝2}，所以集合M的所有真子集个数是3，故A正确；对于B，因为M∩N≠ ，M∩N≠M，所以－1≤a<2，故B错误；对于C，由题易知a≥2，故C正确；对于D， RN＝{x|x>a}，由M ( RN)可知a<－1，故D错误．故选AC.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·衡水模拟)设集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，则ab＝________．

13．(2026·潍坊一模)已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝________．
答案：0或2
解析：因为A∪B＝A，所以B A.根据集合中元素的互异性，可知a2≠1 a≠1且a≠－1.若a2＝0 a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B A.若a2＝a＋2 a2－a－2＝0 (a－2)·(a＋1)＝0 a＝2或a＝－1(舍去)．此时A＝{0，1，4}，B＝{0，4}，满足B A.综上a＝0或2.
14．(2026·芜湖二模)已知有限集合A＝{a1，a2，a3，…，an}，定义集合B＝{ai＋aj|1≤i答案：2 025
解析：若集合A＝{x∈N*|1≤x≤n}，则集合B＝{3，4，…，(n－1)＋n}＝{3，4，…，2n－1}，故|A|＝2n－1－2＝2n－3＝4 047，解得n＝2 025.
答案：C
16．(5分)(2026·保定一模)已知集合S {s|0≤s≤100，s∈N}，定义集合A＝{a|a＝x＋y，x，y∈S}，B＝{b|b＝|x－y|，x，y∈S}，若A∩B＝ ，记card(S)为集合S中元素的个数，则card(S)的最大值为________．
答案：67

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