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(共57张PPT)
第三节　不等式的性质
新课标要求 真题分布
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 近几年未单独考查
知识导图



答案：B
2．(人教A版必修一P43习题T5)已知2答案：(2，5)
解析：∵23．(人教A版必修一P43习题T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________．

4．(人教A版必修一P43习题T12)火车站有某公司待运的甲种货物1 530吨，乙种货物1 150吨，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货厢；25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有________种方案．若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，则最少运费为________万元．
答案：3　31

答案：D　
(2)若正实数a，b，c满足cA．aaC．ab答案：C
学霸笔记：(1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号．
(2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法．
答案：B　
答案：A
答案：C　

答案：ABD
学霸笔记：根据不等式的性质判断不等式是否成立是综合利用不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断．
　

答案：A　
答案：BC
视角三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 (2026·鹤壁模拟)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是(　　)
A．{z|－7≤z≤26} B．{z|－1≤z≤20}
C．{z|4≤z≤15} D．{z|1≤z≤15}
答案：B
学霸笔记：利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时必须严格运用不等式的性质，另外在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，因此涉及已知a1x＋b1y，a2x＋b2y的范围，求解形如a3x＋b3y(aibi≠0，i＝1，2，3)的范围问题，可利用待定系数法与整体代换法求解．
跟踪训练　已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为________．
1．若x，y∈[2，＋∞)，则p＝xy＋2与q＝2x＋y的大小关系是(　　)
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p答案：A
解析：由题意有p－q＝(xy＋2)－(2x＋y)＝(1－x)(2－y)，因为x，y∈[2，＋∞)，所以1－x<0，2－y≤0，所以p－q≥0，即p≥q.故选A.

答案：A
3．(2026·临汾二模)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的范围是(　　)
A．[8，9] B．[4，8]
C．[5，8] D．[5，12]
答案：D
解析：由3≤a≤5，－2≤b≤1可得6≤2a≤10，－1≤－b≤2，故5≤2a－b≤12.故选D.
4．设a∈R，下列各式成立的是(　　)
A．a2≥2a＋1 B．a2>2a－1
C．4a2－a≥3a－1 D．a2－3a>a－4
答案：C

答案：D

答案：C
7．(2026·三明模拟)已知a，b，c，d是实数，则“a>b且c>d”是“a·c＋b·d>b·c＋a·d”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A

答案：D

答案：AC
答案：AB


12．设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是____________．
答案：aabb>abba



(2)已知a＝x3＋y3，b＝x2y＋xy2，其中x>0，y>0且x≠y，比较a，b的大小．
答案：因为a＝x3＋y3，b＝x2y＋xy2，
所以a－b＝x3＋y3－(x2y＋xy2)＝x3＋y3－x2y－xy2＝(x－y)2(x＋y)，
因为x>0，y>0且x≠y，所以x＋y>0，(x－y)2>0，
所以a－b>0，即a>b.


(2)若将条件变为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”．
①求x的取值范围；
②求x－2y的取值范围．

15.(5分)(2026·玉溪二模)已知x>0，x2－2xy＋z2＝0，x2A．y>z>x B．x>y>z
C．y>x>z D．z>x>y
答案：A
答案：c新课标要求 真题分布
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 近几年未单独考查
　必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．与倒数有关的结论：
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0，0.
(4)02．两个重要不等式：若a>b>0，m>0，则
(1)<<(b－m>0)．
(2)<<(b－m>0)．
回归教材
1.(人教A版必修一P43习题T8)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a2．(人教A版必修一P43习题T5)已知23．(人教A版必修一P43习题T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________．
4．(人教A版必修一P43习题T12)火车站有某公司待运的甲种货物1 530吨，乙种货物1 150吨，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货厢；25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有________种方案．若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，则最少运费为________万元．
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　比较数与式的大小
例1 (1)已知a>0>b且a＋b>0，则(　　)
A．a3C．a＋b>1＋ab D．<
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若正实数a，b，c满足cA．aaC．ab[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号．
(2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法．
　跟踪训练　(1)设P＝，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小顺序是(　　)
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
(2)若a>0，b>0，则p＝与q＝abba的大小关系是(　　)
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p视角二　不等式的性质
例2 (1)(2026·沧州模拟)已知a>b>c，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab>bc B．ac2>bc2
C．> D．a(a－c)>b(b－c)
(2)(多选)已知c<0A．ac＋bC．< D．>
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：根据不等式的性质判断不等式是否成立是综合利用不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断．
　跟踪训练　(1)若a>b>0，cA．> B．>
C．< D. >
(2)(多选)(2026·深圳模拟)已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．若c>0，且>，则aB．若>，则|a|<|b|
C．若a>0，且<，则a>b
D．若abc>0，且ab＋
视角三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 (2026·鹤壁模拟)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是(　　)
A．{z|－7≤z≤26} B．{z|－1≤z≤20}
C．{z|4≤z≤15} D．{z|1≤z≤15}
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时必须严格运用不等式的性质，另外在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，因此涉及已知a1x＋b1y，a2x＋b2y的范围，求解形如a3x＋b3y(aibi≠0，i＝1，2，3)的范围问题，可利用待定系数法与整体代换法求解．
　跟踪训练　已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为________．
提示：请完成课时作业3
第三节　不等式的性质
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，当c＝0时，若a>b>0，则ac2＝bc2，故A不符合题意；对于B，∵a>b>0，∴a2>b2，故B符合题意；对于C，∵aa·b，即a2>ab，∴a·b>b·b，即ab>b2，故C不符合题意；对于D，∵a，故D不符合题意．故选B.
答案：B
2．解析：∵2答案：(2，5)
3．解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为.糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，所以＞.
答案：＞
4．解析：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z，所以所以解得x≥28且x≤30.又因为x∈N*，所以或或所以共有3种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节．因为z＝0.5x＋0.8y＝40－0.3x，所以当x＝30时，总运费最少，此时z＝40－0.3×30＝31(万元)．
答案：3　31
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)对于A，由a>0>b，得a3>0>b3，故A错误；对于B，由a>0>b，可得a－b>0，又a＋b>0，∴a2－b2＝(a＋b)·(a－b)>0，则a2>b2，故B错误；对于C，令a＝，b＝－，则a＋b＝>0，且满足条件a>0>b，1＋ab＝1－＝，而a＋b<1＋ab，故C错误；对于D，由a>0>b且a＋b>0，则＝＝<0，∴<，故D正确．故选D.
解析：(2)∵c是正实数，且c<1，∴01，∴ab0，∴()a<1，即aa答案：(1)D　
答案：(2)C
跟踪训练　解析：(1)∵P－R＝－()＝2>0，∴P>R，R－Q＝－()＝()－()，而()2＝9＋2，()2＝9＋2，而18>14，∴>，即R>Q.综上P>R>Q.故选B.
(2)＝＝＝，若a>b>0，则>1，a－b>0，∴>1；若01；若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A.
答案：(1)B　
答案：(2)A
视角二
例2　解析：(1)对于A，当a＝1，b＝－1，c＝－2时，不满足ab>bc，故A错误；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，因为a>b>c，所以a－c>0，所以>0，则>，故C正确；对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－3时，不满足a(a－c)>b(b－c)，故D错误．故选C.
(2)因为c<0，故C错误；因为c<0>0 < >，故D正确．故选ABD.
答案：(1)C　
答案：(2)ABD
跟踪训练　解析：(1)对于A，当a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1时，＝＝－1，＝＝－1，此时＝，故A错误；对于B，由c>0，又因为a>b>0，所以a2>b2>0，根据不等式的性质可得>，故B正确；对于C，由c－d>0，则>>0，a>b>0，根据不等式的性质可得>>0，可得<<0，故C正确；对于D，由前面分析可知>>0，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以 > ，故D正确．故选A.
解析：(2)对于A，若c>0，且>，则>，即<0，不知道ab的符号，则a－b的符号无法确定，即a，则c2>0，且>，所以a20，且<，则ab＋bb，C正确；对于D，a＋－b－＝(a－b)(1＋)，若abc>0，且a0，所以(a－b)(1＋)<0，所以a＋答案：(1)A　
答案：(2)BC
视角三
例3　解析：令m＝x－y，n＝4x－y，联立方程组解得则9x－y＝＝n－m，因为－4≤m≤－1，－1≤n≤5，可得≤－m≤，－n≤，所以－1≤n－m≤20，所以－1≤9x－y≤20，即－1≤z≤20.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得由已知得－(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－.上面两式相加，得－≤a＋3b≤1.
答案：[－，1]

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