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(共55张PPT)
第四节　一元二次不等式
新课标要求 真题分布
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 2025年 全国Ⅱ卷T4
2023年 新高考Ⅰ卷T1
知识导图
回归教材
1.(人教A版必修一P55习题T1(4)改编)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为(　　)
A．{x|x≤－3，或x≥2} B．{x|x≤－3，或x≥1}
C．{x|－3≤x≤1，或x≥2} D．
答案：D
解析：原不等式可化为3x2－5x＋4<0，计算Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以不等式3x2－5x＋4<0的解集为空集．故选D.

答案：B
答案：(－3，0)
4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元．
答案：[15，20)
解析：设这批削笔器的销售价格定为x元/个，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10视角一　含参的一元二次不等式的解法
例1 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax.
学霸笔记：(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
　跟踪训练　解关于x的不等式：a(x2＋1)≥2x.
答案：ACD
对于C，令y＝ax2＋bx＋c，因为M＝ ，则y＝ax2＋bx＋c图象开口向下，且与x轴有一个交点或无交点，所以a<0且b2－4ac≤0，故C正确；对于D，因为M＝{x|－10，解得x>3或x<0，故D正确．故选ACD.
学霸笔记：(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
答案：D
答案：B
答案：B
题型2　在给定区间上的恒成立问题
例4 (1)若不等式x2＋ax＋1>0对任意x∈(0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
(2)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围．
学霸笔记：(1)若欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
(2)若参数不能分离出来的，则要利用一元二次函数图象按照对称轴分类讨论．
答案：A　

题型3　变换主元解决恒成立问题
例5 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．
　跟踪训练　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．
1．(2026·鹰潭二模)已知集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{y|y＝ln (x2＋1)}，则M∩N＝(　　)
A．(－1，4) B．(－1，0]
C．[0，4) D．(－∞，4)
答案：C
解析：M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－12．设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由x2＋x－2>0，得x<－2或x>1；由|x－2|<1，得－10”是“|x－2|<1”的必要不充分条件．故选B.
3．已知不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，则m的取值集合为(　　)
A．(－4，4)
B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．[－4，4]
答案：D
解析：∵不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，∴不等式x2－mx＋4≥0在R上恒成立，∴Δ＝m2－4×1×4≤0，∴－4≤m≤4，即m的取值范围是[－4，4].故选D.
4．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A．(－2，1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案：A
解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．故选A.
5．(2026·南通模拟)设b，c∈R，不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1，或x>3}，则b＋c＝(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．7
答案：A
解析：由题意可知1和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个根，则由韦达定理可得1＋3＝－b和1×3＝c，即b＝－4，c＝3，所以b＋c＝－1.故选A.

答案：C
答案：D
答案：D
解析：因为集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空，所以x2＋x＋a≤0在[1，＋∞)上有解，则a≤－x2－x在[1，＋∞)上有解，令f(x)＝－x2－x，由二次函数的性质得f(x)在[1，＋∞)上单调递减，可得f(x)max＝－1－1＝－2，即a∈(－∞，－2]，故D正确．故选D.
答案：AB
答案：BD

答案：[0，2)
12．若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是________________．
答案：{m|－3≤m<－2，或4解析：由x2－(m＋1)x＋m<0得(x－m)(x－1)<0，①当m<1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(m，1)，因为解集中恰有3个整数，所以－3≤m<－2；②当m＝1时，不等式(x－m)·(x－1)<0的解集为 ，不符合题意；③当m>1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(1，m)，因为解集中恰有3个整数，所以4四、解答题(共28分)
13．(13分)解关于x的不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4.


14．(15分)已知关于x的不等式2x－1>k(x2－1)．
(1)是否存在实数k，使不等式对任意x∈R恒成立；
(2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求k的取值范围．
答案：C
第四节　一元二次不等式
新课标要求 真题分布
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 2025年 全国Ⅱ卷T4
2023年 新高考Ⅰ卷T1
　必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
回归教材
1.(人教A版必修一P55习题T1(4)改编)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为(　　)
A．{x|x≤－3，或x≥2}
B．{x|x≤－3，或x≥1}
C．{x|－3≤x≤1，或x≥2}
D．
2．(人教B版必修一P75例3改编)不等式≥1的解集为(　　)
A．(－∞，－3)
B．(－∞，3]
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
3．(人教A版必修一P58复习参考题T6改编)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元．
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　含参的一元二次不等式的解法
例1 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax.
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
　跟踪训练　解关于x的不等式：a(x2＋1)≥2x.
视角二　三个二次之间的关系
例2 (多选)(2026·德州模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为M，则下列说法正确的是(　　)
A．若M＝(－1，2)，则a＋b＋c>0
B．若＝＝，则关于x的不等式a′x2＋b′x＋c′>0的解集也为M
C．若M＝ ，则a<0且b2－4ac≤0
D．若M＝{x|－13}
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
　跟踪训练　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{xA．{x|x<－2，或x>}
B．{x|x<－，或x>2}
C．{x}
D．{x}
视角三　一元二次不等式恒成立问题
题型1　在实数集R上的恒成立问题
例3 不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2，2]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2)
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
　跟踪训练　(2026·长沙模拟)命题p： x∈R，ax2＋2x＋5>0为真的一个充分不必要条件是(　　)
A．a< B．a>1
C．a≤ D．a>
题型2　在给定区间上的恒成立问题
例4 (1)若不等式x2＋ax＋1>0对任意x∈(0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
(2)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)若欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
(2)若参数不能分离出来的，则要利用一元二次函数图象按照对称轴分类讨论．
　跟踪训练　(1)已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－，1]
C．[0，＋∞) D．[－1，－]
(2)若对任意x∈[－1，]，x2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
题型3　变换主元解决恒成立问题
例5 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)＞0恒成立 即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零，同理，若f(x)＜0恒成立
　跟踪训练　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．
提示：请完成课时作业4
第四节　一元二次不等式
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：原不等式可化为3x2－5x＋4<0，计算Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以不等式3x2－5x＋4<0的解集为空集．故选D.
答案：D
2．解析：将不等式≥1移项得≥0.不等式≥0等价于解得x≤－3或x>2.故选B.
答案：B
3．解析：当k＝0时，不满足一元二次不等式的条件；当k≠0时，令y＝2kx2＋kx－，∵2kx2＋kx－<0恒成立，∴二次函数y＝2kx2＋kx－的图象开口向下，与x轴没有公共点，∴k<0，且k2＋3k<0，解得－3答案：(－3，0)
4．解析：设这批削笔器的销售价格定为x元/个，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10答案：[15，20)
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：由不等式ax2－2≥2x－ax，可得ax2＋(a－2)x－2≥0，
若a＝0，不等式可化为－2x－2≥0，解得x≤－1，即解集为{x|x≤－1}，
若a≠0，不等式可化为a(x＋1)(x－)≥0，
当a>0时，不等式为(x＋1)(x－)≥0，解得x≤－1或x≥，即不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥}，
当a<0时，不等式为(x＋1)(x－)≤0，
①当－1>，即－2②当－1＝，即a＝－2时，解得x＝－1，解集为{x|x＝－1}；
③当－1<，即a<－2时，解得－1≤x≤，解集为{x|－1≤x≤}．
综上，当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}．
跟踪训练　解析：答案：①当a＝0时，关于x的不等式a(x2＋1)≥2x，即0≥2x，求得x≤0，故不等式的解集为{x|x≤0}．
②当00，求得不等式的解集为.
③当a≥1时，关于x的不等式a(x2＋1)≥2x，即ax2－2x＋a≥0，由于Δ≤0，∴它的解集为R.
④当－10，求得不等式的解集为.
⑤当a＝－1时，即－x2－2x－1＝－(x＋1)2≥0，求得x＝－1，故不等式的解集为{－1}．
⑥当a<－1时，关于x的不等式即ax2－2x＋a≥0，由于它的判别式Δ<0，∴它的解集为 .
视角二
例2　解析：对于A，因为M＝(－1，2)，则a<0，且x＝－1和x＝2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则得到b＝－a，c＝－2a，所以a＋b＋c＝－2a>0，故A正确；对于B，若＝＝＝－1，则a＝a′，b＝b′，c＝c′，此时a′x2＋b′x＋c′>0等价于－ax2－bx－c>0，即ax2＋bx＋c<0，显然一元二次不等式ax2＋bx＋c<0与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0解集不相等，故B错误；对于C，令y＝ax2＋bx＋c，因为M＝ ，则y＝ax2＋bx＋c图象开口向下，且与x轴有一个交点或无交点，所以a<0且b2－4ac≤0，故C正确；对于D，因为M＝{x|－10，解得x>3或x<0，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
跟踪训练　解析：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为－答案：D
视角三
例3　解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，即a≠2时，要使得不等式(a－2)·x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则满足解得－2答案：B
跟踪训练　解析：因为命题p为真，故ax2＋2x＋5>0在R上恒成立，故解得a>，故命题p为真的一个充分不必要条件为(，＋∞)的真子集．故选B.
答案：B
例4　解析： (1)不等式x2＋ax＋1>0对任意的x∈(0，2]恒成立，
等价于－a记f(x)＝x＋，等价于－a因为x∈(0，2]，由基本不等式可得f(x)＝x＋≥2 ＝2，
当且仅当x＝(0所以－a<2，解得a>－2.
因此，实数a的取值范围是{a|a>－2}．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，
当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有当－≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，不符合题意；
当－2<－<2，即－4当－≥2，即a≤－4时，f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，即－7≤a≤－4.综上所述，a的取值范围为[－7，2].
跟踪训练　解析：(1)由x2－2x≤0，求出0≤x≤2，ax2＋2x－1≤0在x∈[0，2]上恒成立，ax2＋2x－1≤0 ax2≤1－2x，当x＝0时，0≤1，a∈R，当x∈(0，2]时，ax2≤1－2x a≤＝(－1)2－1，其中(－1)2－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故a≤－1.综上，a的取值范围为(－∞，－1].故选A.
(2)设f(x)＝x2＋ax＋1，x∈[－1，]，则f(x)min>0，①当－≤－1，即a≥2时，f(x)min＝f(－1)＝2－a>0，解得a<2，无解；②当－1<－<，即－10，解得－20，解得a>－，则－答案：(1)A　
答案：(2)(－，2)
例5　解析：当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即当a∈[－1，1]时，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立．设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0，所以即解得x>3或x<1.
答案：(－∞，1)
跟踪训练　解析：改变主元，将m视为主变元，将原不等式化为m(x2－1)－(2x－1)<0，
令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立，
只需即
解得得故x的取值范围是()．

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