资源简介

第五节　基本不等式
新课标要求 真题分布
1.掌握基本不等式 (a≥0，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2025年 北京卷T6
2024年 新高考Ⅱ卷T8
2022年 新高考Ⅱ卷T12
　必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
如果a>0，b>0，则≤ ，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数， 是a，b的平方平均数．
回归教材
1.(人教A版必修一P48习题T1(1)改编)已知x>1，则x＋的最小值为(　　)
A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4
2．(人教A版必修一P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则实数a＝(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
3．(人教A版必修一P49习题T5改编)已知x>0，则2－3x－的最大值为________．
4．(人教A版必修一P48练习T2改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为________m时，菜园面积最大，最大面积是________m2．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　利用基本不等式求最值
题型1　常值代换法
例1 若x>0，y>0，x＋y＝1，则(1＋)(1＋)的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)整式部分和分式分母部分一致．
(2)整式与分式直接相乘，再乘.
(3)在保证取等条件可取到的前提下，直接运用基本不等式求最值．
　跟踪训练　(2026·河南周口模拟)已知x>0，y>0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)
A．8　　　 B．9 C．10　　　D．11
题型2　万能“k”法
例2 已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)求谁假设谁是k.
(2)转化为一元二次方程．
(3)用判别式Δ≥0求k的取值范围．
　跟踪训练　已知x，y为正实数，且2x＋3y＝10，则xy的最大值为________．
题型3　分子分母不齐次
例3 若x>3，则的最小值为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：当遇到求分子分母不齐次的式子的最值时，通常采用低次换元法(注意换元后的取值范围)，再利用基本不等式求最值．
　跟踪训练　函数y＝的最大值为______．
题型4　消元法求最值
例4 已知x<0，且x－y＝1，则x＋的最大值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：把已知条件变形为两个函数关系，然后代入所求式子中，再利用凑项或换元法将式子恰当变形，再利用基本不等式求解．注意“一正，二定，三相等”．
　跟踪训练　若a>0，b>0，ab＝2，则的最小值为________．
题型5　找关系法
例5 已知x，y，z>0，且x2＋y2＋z2＝1，则的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：当遇到三元的式子求最值时，若不能用消元法，就要想到找关系法求解．
　跟踪训练　实数a，b，c满足a2＋4b2＋2c2＝5，则2ab＋3c的最大值为________．
视角二　基本不等式的综合应用
题型1　利用基本不等式解恒成立问题
例6 已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．64　　　B．25 C．13　　　D．12
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
　跟踪训练　(2026·吉林白城模拟)已知x>0，y>0，且x＋y＝5，若≥2m＋1恒成立，则实数m的取值范围是________．
题型2　基本不等式的实际应用
例7 某学校计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地．因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为x米(4≤x≤6)．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为场地前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28 800元；乙队给出的整体报价为×6k×104元(k>0)．假设甲、乙工程队均不考虑其他因素．
(1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数k的取值范围．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：利用基本不等式解决实际问题的策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
　跟踪训练　(1)设计用96 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是(　　)
A．8 m3 B．32 m3
C．4 m3 D．64 m3
(2)某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
提示：请完成课时作业5
第五节　基本不等式
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2(x＝0舍去)时，等号成立，此时x＋取得最小值3.故选C.
答案：C
2．解析：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，等号成立，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.故选C.
答案：C
3．解析：因为x>0，所以3x>0，且>0，所以2－3x－＝2－(3x＋)≤2－2 ＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以2－3x－的最大值是2－4.
答案：2－4
4．解析：设矩形菜园平行于墙的一边的长为x m，与之相邻的边的长为y m，菜园的面积为S m2，则x＋2y＝30，S＝xy.由基本不等式得S＝·2xy＝x·2y≤×()2＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时，菜园的面积最大，最大面积是 m2.因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15 m，与之相邻的边的长为 m时，菜园的面积最大，其最大面积是 m2.
答案：15　
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝4＋＋1≥5＋2 ＝9，当且仅当x＝y＝时等号成立．
答案：9
跟踪训练　解析：由4x＋y－xy＝0，x>0，y>0，则＝1，所以x＋y＝(x＋y)()＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y＝6时，等号成立．故选B.
答案：B
例2　解析：设x＋y＝k(k>0)，则y＝k－x，代入xy＋2x＋4y＝41，得x(k－x)＋2x＋4(k－x)＝41，即x2＋(2－k)x－4k＋41＝0，所以Δ＝(2－k)2－4(41－4k)≥0，解得k≥8或k≤－20，因为k>0，所以k≥8，所以x＋y取得最小值8.
答案：8
跟踪训练　解析：设xy＝k，则y＝，代入2x＋3y＝10得2x2－10x＋3k＝0，所以Δ＝(－10)2－4×2×3k≥0，解得k≤，所以xy的最大值为.
答案：
例3　解析：令x－3＝t>0，所以x＝t＋3，所以＝＝＝t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝，即t＝，x＝3＋时，等号成立．故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：令＝t≥1，则x2＝t2－1，所以y＝＝＝，当且仅当t＝，即t＝时等号成立．
答案：
例4　解析：因为x－y＝1，所以x＝y＋1<0，所以y<－1，所以x＋＝y＋1＋.令2y＋1＝t<－1，则y＝，所以x＋＝y＋1＋＝＋1＋＝＝－[(－)＋(－)]＋≤－，当且仅当－＝－时等号成立，即t＝－＜－1时符合题意，所以x＋的最大值为.
答案：
跟踪训练　解析：因为ab＝2，所以a＝，所以＝＝＝＝＝2(b＋)≥
2×2 ＝4，当且仅当b＝即b＝1时等号成立．
答案：4
例5　解析：因为x2＋y2≥2xy，x2＋y2＋z2＝1，所以1－z2≥2xy，所以＝＝＝4，当且仅当1－z＝z时，即z＝时，且x＝y时等号成立，所以的最小值为4.
答案：4
跟踪训练　解析：因为a2＋4b2≥2＝4|ab|，所以5－2c2＝a2＋4b2≥4|ab|，所以2|ab|≤－c2，所以2ab＋3c≤－c2＋3c＝－(c－)2＋，当且仅当c＝时，且|a|＝2|b|时等号成立，所以2ab＋3c的最大值为.
答案：
视角二
例6　解析：a>0，b>0，则a＋b>0，不等式恒成立，即m≤()(a＋b)恒成立，()(a＋b)＝()·(a＋b)＝13＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：设a＝x＋1，b＝y＋2，则a＋b＝x＋y＋3＝8，且a>1，b>2，＝＝)(a＋b)＝(4＋1＋)≥(5＋2 )＝，当且仅当＝，即时，等号成立，∴()min＝，∴2m＋1≤ m≤.
答案：(－∞，]
例7　解析： (1)若运动场地前面墙体的长为x米(4≤x≤6)，则左右两面墙宽度为米，
则甲工程队整体报价为400×6x＋300×6××2＋28 800＝2 400x＋＋28 800，
2 400x＋＋28 800≥2＋28 800＝57 600，当且仅当2 400x＝，即当x＝6时，“＝”成立，
因此至少要付给甲工程队57 600元．
(2)若乙队要确保竞标成功则×6k×104<2 400x＋＋28 800，
所以6k×104<＝×102，
则6k×102<＝＝24x＋240＋＝24x＋240＋＝24(x＋2)＋＋192，
因为4≤x≤6，所以函数y＝24(x＋2)＋＋192在[4，6]上单调递增，故ymin＝24×6＋＋192＝400，
故6k×102<400，则k<，所以实数k的取值范围是.
跟踪训练　解析：(1)设长方体车厢(无盖)的长为a，高为b，a>0，b>0，则由题得2a＋2ab＋2×2b＝96，即96－2ab＝2a＋4b，所以96－2ab＝2a＋4b≥2＝4·，即ab＋2·－48≤0，当且仅当a＝2b时，等号成立，由a>0，b>0，解ab＋2·－48≤0，得0<≤4，即0(2)由题意知，年平均费用为y＝＝(x∈N*)．因为x>0，则y＝≥2 ＝＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，此时函数y有最小值，所以这套设备年平均费用最少时的年限为9年．故选C.
答案：(1)D　
答案：(2)C(共65张PPT)
新课标要求 真题分布
2025年 北京卷T6
2024年 新高考Ⅱ卷T8
2022年 新高考Ⅱ卷T12
知识导图
答案：C
答案：C
4．(人教A版必修一P48练习T2改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为________m时，菜园面积最大，最大面积是________m2．


答案：9

　跟踪训练　(2026·河南周口模拟)已知x>0，y>0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)
A．8　　　 B．9 C．10　　　D．11
答案：B
题型2　万能“k”法
例2 已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为________．
答案：8
解析：设x＋y＝k(k>0)，则y＝k－x，代入xy＋2x＋4y＝41，得x(k－x)＋2x＋4(k－x)＝41，即x2＋(2－k)x－4k＋41＝0，所以Δ＝(2－k)2－4(41－4k)≥0，解得k≥8或k≤－20，因为k>0，所以k≥8，所以x＋y取得最小值8.
学霸笔记：(1)求谁假设谁是k.
(2)转化为一元二次方程．
(3)用判别式Δ≥0求k的取值范围．
跟踪训练　已知x，y为正实数，且2x＋3y＝10，则xy的最大值为________．


答案：C
学霸笔记：当遇到求分子分母不齐次的式子的最值时，通常采用低次换元法(注意换元后的取值范围)，再利用基本不等式求最值．



学霸笔记：把已知条件变形为两个函数关系，然后代入所求式子中，再利用凑项或换元法将式子恰当变形，再利用基本不等式求解．注意“一正，二定，三相等”．
答案：4
答案：4
学霸笔记：
当遇到三元的式子求最值时，若不能用消元法，就要想到找关系法求解．
　跟踪训练　实数a，b，c满足a2＋4b2＋2c2＝5，则2ab＋3c的最大值为________．

答案：B
学霸笔记：
对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
(2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数k的取值范围．
学霸笔记：利用基本不等式解决实际问题的策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
答案：D　
答案：C

答案：C
答案：B
答案：B
答案：B
答案：B
6．(2026·昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
答案：C
答案：D
答案：D

答案：AD
10．(2026·眉山模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝2ab，则下列说法一定正确的是(　　)
A．a＋b≥4 B．a＋2b≥4
C．ab≥3 D．a2＋4b2≥8
答案：BD
答案：4
答案：7
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1)求ab的最大值及此时a，b的值；







答案：A

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