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(共32张PPT)
微专题1　多变量最值问题

答案：4
学霸笔记：
双换元求最值的关键在于合理换元、准确确定新变量的取值范围以及选择合适的方法求最值．



答案：6　
(2)已知2x＋3y＋6z＝12，则x2＋y2＋z2的最小值为________．

学霸笔记：用柯西不等式求最值的核心在于凑出柯西不等式的形式和凑出定值．常用于一些带有平方和的结构或者二次根式和的结构求最值．
答案：9

答案：B　
答案：36
学霸笔记：
权方和不等式常用于求一些分式和的最值．
答案：2　
答案：9

答案：B

答案：D

答案：A

答案：B
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若2x＋3y＋z＝7，则x2＋y2＋z2的最小值为________.



01.多元视角拓展教材
0T·SC中，1N1径XN
解析：设(2x+y2=m(m>0),(x-2y)2=n(m>0),可得m+n=(2x+y)2+(x-2y)2
=5+=15,则x+-m*m后+日=2+品+片≥2+2
后骨告当且仅当郎m=计、等号成立
解折：令品x6y则0.0，a-b-对x+-1,所以x+
1+2少+2=4，放+=+=
:+2y+1)-2
3
3
X+1y+1
X+1
y+1
X+1
V+1
1+收+1+2+2)-3-5+2g9+293-5+2
20+D.2K+1
X+1
x+1
y+1
-当且仅当22，
即x=3’
y-3
即a=4,
b=2时，等号成立，
故
x+1
y+1
日+的最大值为
解析：x1=V2,y=1,x2=Va+2,y2=Vb+1,代入柯西不等式，又a≥0，
b≥0，a+b=9,所以(W2a+4+Vb+1)2≤(2+1)(a+2+b+1)=3×12=36,所
以V2a+4+Vb+1≤6，当且仅当V2√b+1=Va+2,即a=6,b=3时，等号
成立，所以v2a+4+Vb+1的最大值为6.
解析：
解析：(1)由柯西不等式得(a2+b2)(22+32)≥(2a+3b)2,即(2a+
2V26
326,散2-3动区当E父当气22
即
13
时
3V26
等号成立，所以2a+3b的最大值为√26.
(2)因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,所以三+元+=(a
3c
2b+3c)+6+3)≥(
S2=9,当且仅当a=2b
=3c=
时，等号成立，
2
故+2元十的最小值为9，
30微专题1　多变量最值问题
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　双换元求最值
例1 (1)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，则的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知a，b，c均为正实数，ab＋ac＝4，则的最小值是________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：双换元求最值的关键在于合理换元、准确确定新变量的取值范围以及选择合适的方法求最值．
　跟踪训练　(1)若正数a，b满足2a＋b＝1，则的最小值是________．
(2)已知a>1，b>＝1，则的最大值为________．
视角二　柯西不等式求最值
(1)二维形式的柯西不等式：)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立．
(2)三维形式的柯西不等式：)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或＝＝时等号成立．
例2 (1)已知a≥0，b≥0，a＋b＝9，则的最大值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知2x＋3y＋6z＝12，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：用柯西不等式求最值的核心在于凑出柯西不等式的形式和凑出定值．常用于一些带有平方和的结构或者二次根式和的结构求最值．
　跟踪训练　(1)已知a，b均为正实数，且满足a2＋b2＝2，则2a＋3b的最大值为________．
(2)已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则的最小值为________．
视角三　权方和不等式求最值
1．二维形式的权方和不等式：若a，b，x，y>0，则，当且仅当＝时，等号成立．
推广1：，当＝＝时，等号成立．
推广2：若ai>0，bi>0，则＝，当ai＝λbi时，等号成立．
2．一般形式的权方和不等式：若ai>0，bi>0，m>0，则＝，当ai＝λbi时，等号成立．
例3 (1)函数f(x)＝(0A．16 B．25
C．36 D．49
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：权方和不等式常用于求一些分式和的最值．
　跟踪训练　(1)已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则的最小值为________．
(2)已知a，b，c为正实数，且满足a＋4b＋9c＝4，则的最小值为________．
提示：请完成微专题1
微专题1　多变量最值问题
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)设(2x＋y)2＝m(m>0)，(x－2y)2＝n(n>0)，可得m＋n＝(2x＋y)2＋(x－2y)2＝5(x2＋y2)＝15，则＝(m＋n)()＝(2＋)≥(2＋2 )＝.当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立．
解析：(2)设a＝x，b＋c＝y，原题转化为已知x>0，y>0，且xy＝4，求的最小值．此时有＝)＋＝(y＋x)＋≥2＝2＝4，当且仅当(y＋x)＝，xy＝4，即x＝y＝2时，等号成立，所以的最小值为4.
答案：(1)　
答案：(2)4
跟踪训练　解析：(1)设u＝2－2a，v＝2－b，则a＝，b＝2－v，可得u＋v＝3(u，v>0)，所以＝＝＝(u＋v)()－＝(3＋)－(3＋2 )－＝1＋＝，当且仅当＝，即v＝6－3，u＝3－3时，等号成立，取得最小值．
解析：(2)令＝x，＝y，则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1，所以x＋1＋2y＋2＝4，故＝＝＝3－＝3－)(x＋1＋2y＋2)＝3－[5＋]≤3－[5＋2 ]＝，当且仅当＝，即x＝，y＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，故的最大值为.
答案：(1)　
答案：(2)
视角二
例2　解析：(1)x1＝，y1＝1，x2＝，y2＝，代入柯西不等式，又a≥0，b≥0，a＋b＝9，所以()2≤(2＋1)(a＋2＋b＋1)＝3×12＝36，所以≤6，当且仅当·＝，即a＝6，b＝3时，等号成立，所以的最大值为6.
解析：(2)由柯西不等式可知(x2＋y2＋z2)(4＋9＋36)≥(2x＋3y＋6z)2＝144，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
答案：(1)6　
答案：(2)
跟踪训练　解析：(1)由柯西不等式得(a2＋b2)(22＋32)≥(2a＋3b)2，即(2a＋3b)2≤26，故2a＋3b≤，当且仅当即时，等号成立，所以2a＋3b的最大值为.
(2)因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，所以＝(a＋2b＋3c)()≥( ＋ ＋ )2＝9，当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立，故的最小值为9.
答案：(1)　
答案：(2)9
视角三
例3　解析：(1)因为a，b，x，y>0，则，当且仅当＝时，等号成立，又00，于是得f(x)＝＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以函数f(x)＝(0解析：(2)＝＝36，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
答案：(1)B　
答案：(2)36
跟踪训练　解析：(1)＝＝2，当且仅当即x＝1，y＝时，等号成立．所以的最小值为2.
解析：(2)由权方和不等式，可知＝＝＝9，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立，所以的最小值为9.
答案：(1)2　
答案：(2)9

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