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一轮复习07 三次函数的图像与性质
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 4
题型一：三次函数的单调性问题 4
题型二：三次函数的图像问题 7
题型三：三次函数的最值、极值问题 10
题型四：三次函数的零点问题 13
题型五：三次函数的对称问题 17
题型六：三次函数的切线数量问题 20
题型七：三次函数根与系数的问题 26
重难专题分层过关练 30
巩固过关 30
创新提升 38
1、三次函数的图象
对于三次函数的判别式为，不妨设的两个实根是,且,则有以下情况：

图象
图象

2、三次函数的零点
对于三次函数（、、、且），其导数为
当，其导数有两个解，，原函数有两个极值，．
①当时，原方程有且只有一个实根
②当时，原方程有两个实数根
③当时，原方程三个实数根．
3、三次方程韦达定理
若一元三次方程存在三个实数根，则：
4、三次函数的对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
5、三次函数的切线问题
对于任意三次函数，过其图象的对称中心作切线，坐标平面会被切线与的图象分割为四个区域，相关结论如下：
（1）过区域II、区域III内的任意一点及的对称中心作的切线，有且仅有1条；
（2）过切线上的点或图象上除对称中心外的点作的切线，有且仅有2条；
（3）过区域I、区域IV内的任意一点作的切线，有且仅有3条。
6、极值点与对称中心的关系
设三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，则．
题型一：三次函数的单调性问题
典例1-1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
典例1-2．已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)；
(2)见解析.
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
又，，
整理可得曲线在点处的切线方程为；
（2），
若，由可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，
可得或，
所以在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
综上可得：
若，
在上为增函数，在上为减函数，
当时， 在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，在 为减函数，在上为增函数.
变式1-1．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在上单调递增，恒成立，
，，，，
，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.
变式1-2．已知函数．
(1)若在点处的切线方程为，求的值；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为过点，所以解得，
又因为，在点处的切线方程为，
所以，，
所以.
（2）因为，令，
解得，，
①当即时，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数；
②当即时，，
在上为增函数；
③当即时，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，递减区间为.
题型二：三次函数的图像问题
典例2-1．三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【详解】函数，求导得，
观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，
函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；
由，得则，，得，排除C；
由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.
故选：D
典例2-2．设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①函数有极大值
②函数有极小值
③函数有极大值
④函数有极小值
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】由题图知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值是，极小值是，①④正确，
故选：B
变式2-1．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
变式2-2．（多选）已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】根据导函数的图象，可知，时，
时，时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故其大致图象如下：

则有故，则正确；
又可得，所以正确；
又有导函数的图象，结合知，，，，故正确；
因为，则，
又导函数在单调递增，故，所以错误.
故选：
题型三：三次函数的最值、极值问题
典例3-1．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三次函数为，可得，
设，可得，
因为为极值点，所以，
令，可得为函数极值点，
将代入，可得，所以，
则，
即，
即，即，
可得，解得.
故选：C
典例3-2．已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，由题意得，解得，
，，
令得或，令得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取得极小值，
又，令，
即，变形得到，即，
故或，即，
要想在区间上存在最小值，需满足，
解得.
故选：C
变式3-1．（多选）已知三次函数，则（ ）
A．函数一定有两个极值点 B．当时，
C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B，，
而，故，故，所以，
故B正确；
对于C，，
若，则，此时当或时，，
当时，，故在处取极小值；
若，则，此时当或时，，
当时，，故在处取极小值；
故C正确；
对于D，当，时，
则当或时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
取，则，
考虑方程在上是否有解，
设，则，
，
由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则,
则在上的值域为，
故D成立，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可.
变式3-2．在上对任意都存在使，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，在上无最小值，又，
,.
则在，上递增，在上递减，
当时，，不满足题意；
②时，为使不存在，则；
③时，为使不存在，则，
即.综上，．
故答案为：.
题型四：三次函数的零点问题
典例4-1．设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】由且知，当时，，当或时，，则函数在上单调增，
在上单调减，在上单调增，又，则，
则，所以，
又，所以函数有三个零点.
故选：D．
典例4-2．已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由题意可知：；
（2）令，
设，
当或时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的极大值是，极小值是，
且当时，，时，，
因为若函数在R上有三个不同零点，
故所求为.
变式4-1．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是；单调递增是和.
(2)
(3)
【详解】（1）根据图象可知时，，即单调递减；
和时，，即 单调递增；
故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.
（2）由已知可得：和是的两个根，
由（1）可得的极大值在处取得，故
解得：
故答案为：
（3）由（2）知，的极小值为：
结合的单调性可作其草图，如下所示
函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.
故答案为：
变式4-2．（多选）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由可得，
要使有三个不同的零点，
则有两个不相等的实数根，故，
即，A正确，
由于为二次函数，关于对称，因此
，
故关于对称，
因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确，
当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示，
由于，故，故C错误，

对于D，根据，
展开可得，
故，
同理可得的三个实数根为，
则，
故，
因此，
故，
即得，故D正确，
故选：ABD
关键点点睛：根据因式分解可得，进而根据求解.
题型五：三次函数的对称问题
典例5-1．（多选）三次函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点 B．当时， 方程有三个实根
C．当时， D．的图象关于点对称
【答案】BCD
【详解】对于A：函数的定义域为，又，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，且，，故A错误，
对于B：由A可知的图象如下所示：
由图可知当时，与有三个交点，即方程有三个实根，故B正确；
对于C：当时，，又在上单调递减，所以，故C正确；
对于D：因为
，
所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：BCD
典例5-2．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数的图象关于点对称，求的值.
【答案】(1)极大值为；极小值为；
(2).
【详解】（1）当时，，求导得，
由，可得，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
（2）由函数的图象关于点对称，得，
，
整理得，又，
于是，则，解得，
所以.
变式5-1．（多选）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．当时，
D．若在上有最小值，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，且，
所以，解得，
所以，A正确；
对于B，由A可得，
令0，得或；令，得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以是函数的极小值点，B错误；
对于C，当时，，，，
又由B分析可知函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，，C正确；
对于D，由BC分析可知，在上有最小值，
则，D正确.
故选：ACD.
变式5-2．函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，
①证明：函数图象关于对称；
②求的值．
【答案】(1)答案见解析.
(2)①证明见解析；②0.
【详解】（1）的定义域为，．
①当时，，在上单调递增；
②当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
③当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）①证明：依题意，，
则，所以，
，所以，
所以，所以函数图象关于对称；
②设，则，，
所以，的值为0．
题型六：三次函数的切线数量问题
典例6-1．（多选）已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【详解】设切点为，
切线的方程为.
代入点，可得，即.
因为切线过点恰能作2条曲线的切线，所以方程有2解.
令函数.
当或时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
所以的极大值为，的极小值为，
所以或，解得或.
故选：BC.
典例6-2．已知函数，.
(1)求曲线过点处的切线；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，
设切点为，，
所以切线为，
又切线过点，所以，解得或，
所以切线方程为或.
（2）因为，所以，
设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，
因此，
整理得，
设，
则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”.
因为.
所以、与的变化情况如下：
0 1
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以是的极大值，是的极小值.
当，即时，
此时在区间和上分别至多有个零点，
所以至多有个零点，
当，即时，
此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点.
当且，即时，
因为，，
所以分别在区间，和上恰有个零点.
由于在区间和上单调，
所以分别在区间和上恰有个零点.
综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是.
变式6-1．（多选）已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．当时，点是曲线的对称中心
C．当时，过点可以作曲线的2条切线
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】ABD
【详解】对于A，，
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值.
所以A正确；
对于B，当时，，
，
，所以点是曲线的对称中心，所以B正确；
对于C，当时，，令，
，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
化简得：，，
所以过点不可以作曲线的切线，所以C不正确；
对于D，，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得：，令
所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
,
则在上单调递增，在上单调递减，
，如下图所示，
当时，过点可以作曲线的3条切线.
故D正确.
故选：ABD.
变式6-2．已知函数
(1)求在区间上的最值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
(3)若过点作曲线的切线，可以作出几条？
【答案】(1)最大值是18，最小值
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1），令得，
1 3
0 0
单调递增 2 单调递减 单调递增 18
在上最大值是18，最小值.
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，
因为过点代入切线，有，
即，
令，所以与的图象有三个交点，
，令得：或，
0 2
0 0
单调递减 单调递增 2 单调递减
作出函数的图象如下：
由图可知：的取值范围.
（3）由（2）知切线方程为，
因为过点代入切线，有，
，
令，
，令得：或，
当时，，所以在上单调递减，所以只有一条切线；
当时
0
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以当时，有三条切线；
当或时，有两条切线；
当或时，有一条切线；
当时，
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
当时，有三条切线；
当或时，有两条切线；
当或时，有一条切线；
综上所述：当时，有一条切线
当时，
若时，有三条切线；
若或时，有两条切线；
若或时，有一条切线；
当时，
若时，有三条切线；
若或时，有两条切线；
若或时，有一条切线；
题型七：三次函数根与系数的问题
典例7-1．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因方程（）有个不同的根，，，
则，经比较系数可得，
则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围，
即图象与有三个交点时，k的范围，
注意到，
令；令，
则在上单调递增，在上单调递减，
则极大值为，极小值为，
则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即.
故选：C.
典例7-2．已知函数．
(1)若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；
(2)若函数在上是增函数，求的取值范围；
(3)设为方程的三个根，且，， ，求证：或．
【答案】(1)不能，理由见解析
(2)，
(3)证明见解析
【详解】（1）解：当时，，
因为，
所以，函数的图象不能总在直线的下方．
（2）解：法一、
由，得，
令，解得或，
①当时，由，解得，
所以在上是增函数，与题意不符，舍去；
②当时，由，
所以在上是减函数，与题意不符，舍去；
③当时，由，解得，
所以在上是增函数，
又在上是增函数，所以，解得，
综上，的取值范围为，．
法二、
由，得，
要使函数在上是增函数，
则需对任意恒成立，
即对任意恒成立，
也就是对任意恒成立，
因为在上为增函数，所以．
所以，的取值范围为，．
（3）证明：因为方程最多只有3个根，
由题意，方程在区间内仅有一根，
所以，
方程在区间内仅有一根，
所以，
当时，由得，，即，
由得，，即，
因为，所以，即；
当时，由得，，即，
由得，，即，
因为，所以，即；
当时，因为，所以有一根0，
这与题意不符．
或．
变式7-1．已知函数在上为增函数，在上为减函数，且方程的三个根分别为．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
【答案】（1） ； （2）.
【详解】（1）求导函数得，
由题设两根为，则，所以.
（2）由（1）和条件得 ,，则，
所以
所以是方程的两根，
所以，解得，又，
所以
所以.
所以的范围是.
变式7-2．（多选）设函数，若，直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，且，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由题意得，令得，
因为，所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
时，，为增函数.
因为直线与函数的图象有三个交点，所以，解得，A不正确；
因为，所以关于对称，
因为成等差数列，所以，由可得，解得，B正确；
由可得，因为均为的根，
所以，
展开可得，
所以，C正确；
由A选项可知，
由C选项可知，，，
所以，即；
由可得，即，解得，D正确.
故选：BCD
巩固过关
1．（多选）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．的解集为
【答案】ACD
【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，
设，则，可得，
由奇函数的定义可得，即，
所以，可得，则，
由题意可得，可得，则，
由图可知，函数的单调递增区间为，
故不等式的解集为，所以，
对于A选项，由题意可知，，
由导数的定义可得，故A正确；
对于B选项，，，
由，，所以，故B错误；
对于C选项，，所以，故C正确；
对于D选项，由，
可得，解得或，
因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：ACD
2．已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意可知，，当且仅当时取等号，
则由对勾函数性质可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，又，，
所以在上的值域为.
又函数，则，
令，得，，
当，，则在区间上单调递增；
当，，则在区间上单调递减；
所以当时，取到极大值也是最大值，
又，，所以在上的值域为，
由对于任意，都存在，使得，
则得，即，解得.
故选：D.
3．若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意得，
设过坐标原点的直线与曲线相切于点，
则，
且切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，因此，
整理得，
设，
则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”，
，当x变化时，与的变化情况如下表：
x 0 1
＋ 0 － 0 ＋
当时，，当时，，
所以，解得.
4．（多选）已知函数，则下列正确的选项有（ ）
A．是函数的极小值点
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是
D．关于的不等式的解集为
【答案】BC
【详解】由，得，
当或时，，当时，，
故在上均单调递增，在上单调递减，
故是函数的极大值点，A错误；
，
即函数的图象关于点中心对称，B正确；
结合A的分析可知，在时取极大值，在时取极小值，
，
令，即，解得或；
故要使得函数在区间上既有最大值也有最小值，需满足，C正确；
对于，令，则，即得
由以上分析可知，当时，单调递增，故，
即，
即的解集为，D错误，
故选：BC
5．对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称. 已知函数的“拐点”为，则点坐标为 ，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，由函数，得，
则，由，解得，
又，
所以函数的“拐点”的坐标为；
由，得，
所以在点的切线方程为，即，
所以，
若存在，使不等式成立，
即若存在，使不等式成立，
即成立，即成立，
令，则，
由，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
即存在，使不等式成立，.
故答案为：；.
6．（多选）设函数．则（ ）
A．是的极小值点 B．的对称中心是
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【详解】由，所以.
由或；由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以是的极小值点，故A正确；
因为时，，且函数在上单调递增，所以，故C错误；
当时，，设，则在上单调递增，在上单调递减，
又，，，所以.
即当时，，故D正确；
因为，，所以函数的图象不关于原点对称，故B错误.
故选：AD
7．若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，则，
由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然，
故需满足，解得.
故答案为：.
8．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则
①
②函数的对称中心为
③过引曲线的切线，有且仅有1条
④若成等差数列，则
【答案】①②④
【详解】由，令可得或，令可得，
在上单调递增，在上单调递减.
对于①，若有3个零点，则，
即，解得：，故①正确；
对于②，令，则
，由可知函数的对称中心为，故②正确；
对于③，当函数的零点为切点时，此时有一条切线；
当零点不为切点时，由图知此时函数有一条经过点的切线，
即过引曲线的切线不只一条，故③错误；
对于④，
，
（*）
若成等差数列，则，则，
代入（*）得：，故④正确.
故答案为：①②④.
9．已知函数，，在上的极小值也是在上的最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】已知，其，
在，，，函数的单调递减，
在，，函数单调递增，
则的极小值为，令，
设方程的根为，则，
即，所以，
因为有两个相等实根，所以必有一根为，
设另一个根为，则，
所以，即，，即．
因为函数在区间上的极小值也是的最小值，
则，解得，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
10．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）定义域为R，，
令，解得或，
①当时，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
②当时，则在R上单调递增；
③当时，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
综上，当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知时，在和单调递增，在单调递减，
所以为的极小值点，此时的极小值为，
所以，解得；
时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意；
时，在和单调递增，在单调递减，
所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意；
综上，，即的取值范围是.
创新提升
1．（多选）已知函数，其中，且当时，，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．若关于的方程有3个不同的实数根，则
D．若对任意都有，则
【答案】ABC
【详解】对于A，当时，，又因为当时，，所以此时，对恒成立，故，
当时，，同样因为当时，，所以此时，
对恒成立，故，
所以，即，故A正确；
对于B，由选项A可知，对求导，
，
令，即，解得或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以为的极小值点，故B正确；
对于C，由选项B可知，为的极大值点，为的极小值点，
又，，
要使方程有个不同的实数根，则，即，也即，因为，解得，故C正确；
对于D，，
则，
由题意可知恒成立，
显然当时，成立，
显然当时，当，，故不恒成立，
所以当时，即恒成立，
所以，
解得或，故D错误。
故选：ABC．
2．（多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，拐点处的切线方程为
B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是
C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是
D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点
【答案】ACD
【详解】对于A，当时，，则，，
令，解得，
又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确；
对于B，当时，，则，
所以当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取得极小值，
又由，得到，解得或，
要使函数在区间内存在最小值，
所以，解得，即的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，整理得，
令，则，
所以当时，当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，，
因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点，
所以，即的取值范围是，故C正确，
对于D，由，可得，
即，显然在定义域上单调递增，
所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确.
故选：ACD.
3．若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 .
【答案】
【详解】定义域为R，
，时，恒成立，
故在R上单调递增，不会有三个零点，舍去，
故，解得，
设的三个相异的零点为，，故，
又①，②，③，
式子①-②得，
即，
故，
因为，所以④，
式子③-②得，
即，
故，
因为，所以⑤，
式子④-⑤得，
即，
因为，所以，
因为，所以，解得，
将其代入②得，，
即，，
又，故，又，解得.
故答案为：
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一轮复习07 三次函数的图像与性质
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 4
题型一：三次函数的单调性问题 4
题型二：三次函数的图像问题 4
题型三：三次函数的最值、极值问题 6
题型四：三次函数的零点问题 6
题型五：三次函数的对称问题 7
题型六：三次函数的切线数量问题 9
题型七：三次函数根与系数的问题 10
重难专题分层过关练 11
巩固过关 11
创新提升 12
1、三次函数的图象
对于三次函数的判别式为，不妨设的两个实根是,且,则有以下情况：

图象
图象

2、三次函数的零点
对于三次函数（、、、且），其导数为
当，其导数有两个解，，原函数有两个极值，．
①当时，原方程有且只有一个实根
②当时，原方程有两个实数根
③当时，原方程三个实数根．
3、三次方程韦达定理
若一元三次方程存在三个实数根，则：
4、三次函数的对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
5、三次函数的切线问题
对于任意三次函数，过其图象的对称中心作切线，坐标平面会被切线与的图象分割为四个区域，相关结论如下：
（1）过区域II、区域III内的任意一点及的对称中心作的切线，有且仅有1条；
（2）过切线上的点或图象上除对称中心外的点作的切线，有且仅有2条；
（3）过区域I、区域IV内的任意一点作的切线，有且仅有3条。
6、极值点与对称中心的关系
设三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，则．
题型一：三次函数的单调性问题
典例1-1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
典例1-2．已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
变式1-1．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．已知函数．
(1)若在点处的切线方程为，求的值；
(2)求的单调区间．
题型二：三次函数的图像问题
典例2-1．三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
典例2-2．设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①函数有极大值
②函数有极小值
③函数有极大值
④函数有极小值
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-1．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（多选）已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
题型三：三次函数的最值、极值问题
典例3-1．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）

A． B． C． D．
典例3-2．已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（多选）已知三次函数，则（ ）
A．函数一定有两个极值点 B．当时，
C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为
变式3-2．在上对任意都存在使，则实数的取值范围是 ．
题型四：三次函数的零点问题
典例4-1．设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
典例4-2．已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围．
变式4-1．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.
变式4-2．（多选）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
题型五：三次函数的对称问题
典例5-1．（多选）三次函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点 B．当时， 方程有三个实根
C．当时， D．的图象关于点对称
典例5-2．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数的图象关于点对称，求的值.
变式5-1．（多选）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．当时，
D．若在上有最小值，则
变式5-2．函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，
①证明：函数图象关于对称；
②求的值．
题型六：三次函数的切线数量问题
典例6-1．（多选）已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
典例6-2．已知函数，.
(1)求曲线过点处的切线；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围.
变式6-1．（多选）已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．当时，点是曲线的对称中心
C．当时，过点可以作曲线的2条切线
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
变式6-2．已知函数
(1)求在区间上的最值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
(3)若过点作曲线的切线，可以作出几条？
题型七：三次函数根与系数的问题
典例7-1．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
典例7-2．已知函数．
(1)若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；
(2)若函数在上是增函数，求的取值范围；
(3)设为方程的三个根，且，， ，求证：或．
变式7-1．已知函数在上为增函数，在上为减函数，且方程的三个根分别为．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
变式7-2．（多选）设函数，若，直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，且，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
巩固过关
1．（多选）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．的解集为
2．已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
4．（多选）已知函数，则下列正确的选项有（ ）
A．是函数的极小值点
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是
D．关于的不等式的解集为
5．对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称. 已知函数的“拐点”为，则点坐标为 ，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 .
6．（多选）设函数．则（ ）
A．是的极小值点 B．的对称中心是
C．当时， D．当时，
7．若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为 .
8．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则
①
②函数的对称中心为
③过引曲线的切线，有且仅有1条
④若成等差数列，则
9．已知函数，，在上的极小值也是在上的最小值，则实数的取值范围是 ．
10．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
创新提升
1．（多选）已知函数，其中，且当时，，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．若关于的方程有3个不同的实数根，则
D．若对任意都有，则
2．（多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，拐点处的切线方程为
B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是
C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是
D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点
3．若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 .
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