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(共67张PPT)
第六节　指数与指数函数
新课标要求 真题分布
1. 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 2025年 —
2023年 新高考Ⅰ卷T4
知识导图
【重要结论】
1．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0答案：D
2．(人教A版必修一P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a答案：D
解析：b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b答案：B
答案：1



学霸笔记：(1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底指数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

答案：C　

答案：31
视角二　指数函数的图象及应用
例2 (2025·全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
答案：B
解析：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以，x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示，易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B.
学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
答案：CD

答案：B　
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：D
学霸笔记：函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断．
答案：B　

答案：A　
(2)函数y＝4x－3·2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是(　　)
A．[－31，1) B．[－35，－31]
C．[－35，1) D．(－∞，－31]
答案：C
解析：令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，则4x－3·2x＋2＋1＝t2－12t＋1，令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35，又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函数y＝4x－3·2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1)．故选C.
学霸笔记：(1)对于函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域(最值)结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解．
(2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元，再研究其性质．

答案：D　

(2)用定义法证明f(x)的单调性；
(3)当x∈[1，4]时，f(kx)＋f(－x2－4)>0恒成立，求实数k的取值范围．
学霸笔记：涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成．

答案：ACD

答案：A
2．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
答案：C
解析：因为y＝1.5x是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>a>1，又y＝0.7x是减函数，所以c＝0.70.6<0.70＝1，则b>a>c.故选C.
3．函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(1，2)
答案：A
4．(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A．00 B．a>1，且b>0
C．00
答案：C
答案：C
答案：A
答案：B
8．已知正实数a，b，c，且a>b，若2a·3a－b＋3c－b＝1＋2b，则(　　)
A．b>c，2b≥a＋c B．bC．b>c，2b≤a＋c D．b答案：A

答案：ABD
答案：BCD

答案：－1
12．若函数f(x)＝|2－x－1|－m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．
答案：[1，＋∞)
解析：作出y＝|2－x－1|的图象如图，由图可知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线y＝1，因此将此函数图象向下平移1个单位长度可得，在y轴右侧，函数图象无限接近于直线y＝0，不再经过第一象限，满足题意，因此m的取值范围为[1，＋∞)．
13．(13分)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)，且f(x)为偶函数．
(1)求a的值；
答案：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x，
即(2x－2－x)(a－1)＝0恒成立，则a－1＝0，得a＝1.
(2)若方程k＝f(2x)－3f(x)在x∈[0，1]上有解，求实数k的取值范围．

(2)若函数y1＝|f(x)＋m|与函数y2＝|f(－x)＋m|在[1，2]上都单调，且具有相同的单调性，求实数m的取值范围．

答案：A
16．(5分)若函数f(x)＝4x+1－b在[m，n]上的值域是[2m，2n]，则实数b的取值范围是________．第六节　指数与指数函数
新课标要求 真题分布
1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 2025年 —
2023年 新高考Ⅰ卷T4
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是02．与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y＝ax－a－x，y＝，y＝，y＝(a>0，且a≠1)均为奇函数．
(2)函数y＝ax＋a－x为偶函数．
回归教材
1.(人教A版必修一P109习题T2(1))设a>0，则下列运算中正确的是(　　)
A.＝a B.a÷＝
C.＝0 D.()4＝a
2．(人教A版必修一P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a3．(人教A版必修一P110习题T8改编)已知＋＝5，则x＋x－1的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
4．(人教A版必修一P161复习参考题T12改编)函数f(x)＝a－(a∈R)为奇函数，则a＝________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　指数式的化简与求值
例1 计算与化简：
(1)计算：－()0＋×(－)－4；
(2)化简(a>0，b>0)；
(3)已知＝，求.
学霸笔记：(1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底指数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练　(1)化简·÷(－)的结果为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
(2)计算：－＋()6＝________.
视角二　指数函数的图象及应用
例2 (2025·全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练　(多选)已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列不可能成立的有(　　)
A．a＝b B．0>b>a
C．b>a>0 D．0>a>b
视角三　指数函数的性质及应用
题型1　单调性
例3 (1)函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．[－4，－] B．[－，1]
C．(－∞，－] D．[－，＋∞)
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
学霸笔记：函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断．
　跟踪训练　(1)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)在区间(4，6)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．[，1)
C．[] D．[，1)
(2)函数y＝的单调递增区间是________.
题型2　值域(最值)
例4 (1)已知函数f(x)＝的最大值为2 025，则a的值为(　　)
A． B．－1
C．1 D．或－1
(2)函数y＝4x－3·2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是(　　)
A．[－31，1) B．[－35，－31]
C．[－35，1) D．(－∞，－31]
学霸笔记：(1)对于函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域(最值)结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解．
(2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元，再研究其性质．
跟踪训练　(1)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(0，2) B．[2，＋∞)
C．(0，) D．[，＋∞)
(2)函数f(x)＝9－x＋()x－1＋在[－1，＋∞)上的最大值为________．
题型3　综合应用
例5 (2026·沈阳一模)已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，a，b∈R.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明f(x)的单调性；
(3)当x∈[1，4]时，f(kx)＋f(－x2－4)>0恒成立，求实数k的取值范围．
学霸笔记：涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成．
跟踪训练　(多选)(2026·延边模拟)已知函数f(x)＝＋3，则(　　)
A．f(x)的定义域为(－∞，0)
B．f(x)在R上单调递减
C．f(x)为奇函数
D．f(x)无最值
提示：请完成课时作业11
第六节　指数与指数函数
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，＝＝；对于B，＝＝；对于C，＝a0＝1；对于D，()4＝a.故选D.
答案：D
2．解析：b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b答案：D
3．解析：因为＋＝5，所以＋)2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23.故选B.
答案：B
4．解析：由f(－x)＝－f(x)，得a－＝－a＋，即2a＝，∵＝＝＝2，∴a＝1.
答案：1
多元视角·拓展教材
视角一
例1　答案：(1)－()0＋×(－)－4＝－4－1＋0.8×4＝－1.8.
答案：(2)原式＝＝＝ab－1.
答案：(3)因为(＋)2＝a＋a－1＋2＝(－)2＋4＝5＋4＝9.又因为＋>0，所以＋＝3.
跟踪训练　解析：(1)原式×(－)＝＝－＝－6ab－1＝－.故选C.
(2)原式＝－＋＝4－27＋54＝31.
答案：(1)C　 (2)31
视角二
例2　解析：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以，x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示，易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：作出函数y＝()x和y＝()x的图象如图所示，设()a＝()b＝m，m>0，当m>1时，由图可知ab>0.故选CD.
答案：CD
视角三
例3　解析：(1)设t＝4－3x－x2，则由t＝4－3x－x2≥0，得－4≤x≤1，即函数的定义域为[－4，1].又t＝4－3x－x2＝－(x＋)2＋，所以t＝4－3x－x2在[－，1]上单调递减，即函数f(x)在[－，1]上单调递减．故选B.
(2)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝(x－)2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.
答案：(1)B　
答案：(2)D
跟踪训练　解析：(1)由题意知，函数y＝(a>0且a≠1)在(4，6)上单调递增，要使函数f(x)＝(a>0且a≠1)在(4，6)上单调递减，则解得≤a<1.故选B.
(2)函数y＝的定义域满足－x2＋x＋2≥0，即x∈[－1，2].设u＝＝，(－1≤x≤2)，则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数u的单调递增区间为[－1，]，单调递减区间为[，2].又∵指数函数y＝()u在其定义域内为减函数，∴由复合函数的单调性可知y＝的单调递增区间为[，2].
答案：(1)B　
答案：(2)[，2]
例4　解析：(1)令y＝()t，t＝ax2－2x＋2a，因为y＝()t单调递减，又因为函数f(x)＝()ax2－2x＋2a的最大值为2 025，则t＝ax2－2x＋2a的最小值为－1，所以a>0，且当x＝－＝时，tmin＝＝－1，即得2a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝－1，所以a＝.故选A.
解析：(2)令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，则4x－3·2x＋2＋1＝t2－12t＋1，令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35，又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函数y＝4x－3·2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1)．故选C.
答案：(1)A　
答案：(2)C
跟踪训练　解析：(1)令t＝x2－x－，则t＝(x－)2－1≥－1，当且仅当x＝时，等号成立，又y＝2t为R上的单调递增函数，故y＝2t≥2－1＝，即f(x)＝2x2－x－，故函数f(x)＝2x2－x－的值域为[，＋∞)．故选D.
解析：(2)令()x＝t，因为x∈[－1，＋∞]，故t∈(0，3]，则y＝t2＋3t＋＝(t＋)2－，t∈(0，3]，由二次函数的图象可知函数y＝t2＋3t＋在(0，3]上单调递增，所以当t＝3时，ymax＝.
答案：(1)D　 (2)
例5　解析： (1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝＝0，得b＝－2，
又f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2，
则f(x)＝，经检验符合题意，所以a＝2，b＝－2.
(2)证明：由已知得f(x)＝，则f(x)＝－1＋，
任取x1，x2，且令x10，得到f(x1)－f(x2)>0，故f(x1)>f(x2)，则f(x)是减函数．
答案：(3)由题意得f(kx)>－f(－x2－4)在x∈[1，4]时恒成立，
因为f(x)是单调递减的奇函数，
所以f(kx)>f(4＋x2)在x∈[1，4]时恒成立，即kx<4＋x2在x∈[1，4]时恒成立，
得到k又x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时等号成立，
得到g(x)min＝4，得到k<4，即k∈(－∞，4)．
跟踪训练　解析：ex－1≠0，所以x≠0，故A正确．因为f(x)在x＝0处没有意义，故B错误．f(x)＝＋3＝3，则f(－x)＝3＝3＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故C正确． x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)为奇函数，则f(x)在(－∞，0)上也单调递减，当x→0＋时，f(x)→＋∞；当x→0－时，f(x)→－∞，故函数f(x)无最值，故D正确．故选ACD.
答案：ACD

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