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(共74张PPT)
第二节　函数的单调性与最值
新课标要求 真题分布
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．
2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 2025年 未单独考查
2024年 新高考Ⅰ卷T6
2023年 新高考Ⅰ卷T4，北京卷T4
知识导图

答案：BCD
答案：C
(－∞，－2]
4．(人教A版必修一P100复习参考题T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为____________________．

答案：A
对于D，当x<0时，f(x)＝sin (－x)＝－sin x，由y＝sin x的单调性知，y＝sin x在(－∞，0)不具备严格的单调性，所以f(x)＝sin |x|在(－∞，0)上不具备严格的单调性，故D错误．故选A.
(2)函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为____________．
(－∞，－1)
解析：函数f(x)＝log2(x2－3x－4)中，x2－3x－4>0，解得x<－1或x>4，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，u＝x2－3x－4在(－∞，－1)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而y＝log2u在(0，＋∞)单调递增，于是得f(x)＝log2(x2－3x－4)在(－∞，－1)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为(－∞，－1)．
视角二　函数单调性的应用
题型1　比较大小
例2 (2026·哈尔滨模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且 x1，x2∈(－∞，2](x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(0)，f(3)，f(π)的大小关系是(　　)
A．f(0)C．f(0)答案：B
解析：由函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由 x1，x2∈(－∞，2](x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，根据函数单调性的定义，可得函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，结合对称性知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因为3<π<4，所以f(3)学霸笔记：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
答案：D
题型2　解不等式
例3 已知函数f(x)的定义域为R，f(1＋x)＝f(3－x)，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－3)>f(3)的解集是(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，2)
C．(3，＋∞) D．(2，3)
答案：D
解析：由函数f(x)的定义域为R，f(1＋x)＝f(3－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－3)>f(3) |2x－3－2|<|3－2|，即－1<2x－5<1，解得2学霸笔记：求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
跟踪训练　(2026·烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(2t)<2，则实数t的取值范围是________.
答案：B
学霸笔记：(1)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还有注意衔接点的取值．
答案：C
答案：B
(2)定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x}，则f(x)的最大值是________．
2





答案：D
答案：C
3．已知函数f(x)＝ex－e－x，则满足f(1－m)>f(m＋1)的实数m的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B．(－2，0)
C．(0，2) D．(－∞，0)
答案：D
解析：因为y＝ex，y＝－e－x均为R上的增函数，则f(x)为R上的增函数，所以若f(1－m)>f(m＋1)，则1－m>m＋1，解得m<0.故选D.
4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，在(－∞，1)上单调递减，若x1<12，则(　　)
A．f(x1)>f(x2) B．f(x2)>f(2－x1)
C．f(x1)>f(2－x2) D．f(x2)答案：B
解析：由x1＋x2>2，则得x2>2－x1，因为x1<1f(2－x1)，故B正确．故选B.
答案：B
答案：A

答案：D

答案：D
9．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增
B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减
C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值
D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值
答案：ABD

答案：BCD
11．函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是_______________．
(－∞，0]，[1，2]
解析：函数f(x)＝|x(x－2)|的图象即为y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数f(x)＝|x(x－2)|的图象，如图所示．由图可知函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是(－∞，0]，[1，2].
(1，＋∞)
(2)当a>0时，求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的最小值．

(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
因为x1>x2>1，所以x1＋x2>2，x1x2>1，
所以(x1＋x2)x1x2>2，
且当x1→1，x2→x1时，(x1＋x2)x1x2→2.
所以要使a<(x1＋x2)x1x2恒成立，则a≤2.
即实数a的取值范围为(－∞，2].



答案：C
16．(5分)(2026·蚌埠模拟)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(2)＝2，对于任意正数x，y，都有f(xy)＋1＝f(x)＋f(y)，若当x>1时，f(x)>1，则不等式f(2x－1)≤4的解集为________．
第二节　函数的单调性与最值
新课标要求 真题分布
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 2025年 未单独考查
2024年 新高考Ⅰ卷T6
2023年 新高考Ⅰ卷T4，北京卷T4
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减．
2．与函数运算有关的单调性结论
(1)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(2)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(3)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
回归教材
1.(多选)(人教A版必修一P86习题T3改编)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝1－ D．f(x)＝|x|
2．(人教A版必修一P81例5改编)已知函数f(x)＝(x∈(2，6])，则(　　)
A．f(x)的最大值为2，最小值为
B．f(x)的最大值为2，没有最小值
C．f(x)没有最大值，最小值为
D．f(x)的最大值与最小值都没有
3．(人教A版必修一P86习题T7改编)函数f(x)＝的单调递减区间是________．
4．(人教A版必修一P100复习参考题T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数的单调性
例1 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
学霸笔记：函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法．
跟踪训练　(1)下列函数中，在(－∞，0)上是单调递增函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝ex＋e－x
C．f(x)＝ D．f(x)＝sin |x|
(2)函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为________．
视角二　函数单调性的应用
题型1　比较大小
例2 (2026·哈尔滨模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且 x1，x2∈(－∞，2](x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(0)，f(3)，f(π)的大小关系是(　　)
A．f(0)B．f(3)C．f(0)D．f(π)学霸笔记：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
跟踪训练　(2026·承德模拟)已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
题型2　解不等式
例3 已知函数f(x)的定义域为R，f(1＋x)＝f(3－x)，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－3)>f(3)的解集是(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，2)
C．(3，＋∞) D．(2，3)
学霸笔记：求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
跟踪训练　(2026·烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(2t)<2，则实数t的取值范围是________.
题型3　求参数取值范围
例4 (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
学霸笔记：(1)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还有注意衔接点的取值．
跟踪训练　已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．(0，)
C．[) D．()
视角三　函数的最值(值域)
例5 (1)已知函数f(x)＝(a>0)在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．15 D．3或15
(2)定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x}，则f(x)的最大值是________．
(3)函数y＝2x＋的最大值为________．
学霸笔记：(1)分离常数法：分子分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)换元法：对于形如y＝ax＋b＋的值域，可通过换元将原函数转化为二次函数．
跟踪训练　(1)函数f(x)＝x＋的值域为________．
(2)函数y＝的值域是______________．
提示：请完成课时作业7
第二节　函数的单调性与最值
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：利用单调性定义可证明函数f(x)＝在(2，6]上单调递减，所以f(x)有最小值为f(6)＝，没有最大值．故选C.
答案：C
3．解析：设t＝x2＋3x＋2，由t≥0可得，x≥－1或x≤－2，则函数y＝，由t＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－在(－∞，－2]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，而y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，－2].
答案：(－∞，－2]
4．解析：函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝，当≤5或≥20，即k≤40或k≥160时，f(x)在[5，20]上是单调函数，所以实数k的取值范围为(－∞，40]
答案：(－∞，40]
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：方法一　任取x1，x2∈(－1，1)，且x1f(x)＝a()＝a(1＋)，
则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二　f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
跟踪训练　解析：(1)对于A，因为x<0，f(x)＝＝－在(－∞，0)上单调递增，故A正确；对于B，f(x)＝ex＋e－x，当x<0时，f′(x)＝ex－e－x＝<0，所以f(x)＝ex＋e－x在(－∞，0)上单调递减，故B错误；对于C，f(x)＝＝的定义域为R，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，因为>0，所以由幂函数的性质知f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，由偶函数的性质可得f(x)＝在(－∞，0)上单调递减，故C错误；对于D，当x<0时，f(x)＝sin (－x)＝－sin x，由y＝sin x的单调性知，y＝sin x在(－∞，0)不具备严格的单调性，所以f(x)＝sin |x|在(－∞，0)上不具备严格的单调性，故D错误．故选A.
(2)函数f(x)＝log2(x2－3x－4)中，x2－3x－4>0，解得x<－1或x>4，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，u＝x2－3x－4在(－∞，－1)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而y＝log2u在(0，＋∞)单调递增，于是得f(x)＝log2(x2－3x－4)在(－∞，－1)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为(－∞，－1)．
答案：(1)A　(2)(－∞，－1)
视角二
例2　解析：由函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由 x1，x2∈(－∞，2](x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，根据函数单调性的定义，可得函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，结合对称性知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因为3<π<4，所以f(3)答案：B
跟踪训练　解析：易知函数y＝2x和y＝－在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又>>，故f()>f()>f()，即c>b>a.故选D.
答案：D
例3　解析：由函数f(x)的定义域为R，f(1＋x)＝f(3－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－3)>f(3) |2x－3－2|<|3－2|，即－1<2x－5<1，解得2答案：D
跟踪训练　解析：已知f(x)＝ln x＋2x，其中y＝ln x和y＝2x均为单调递增函数，且y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋21＝2，可得f(2t)答案：(0，)
例4　解析：当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝＋a2－a，若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：当x<1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a是减函数，所以3a－1<0，即a<；当x≥1时，f(x)＝logax也是减函数，故0答案：C
视角三
例5　解析：(1)f(x)＝＝＝2＋.因为a>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间[2，6]上的最大值为f(2)＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3.故选B.
(2)在同一平面直角坐标系中作出y＝2x＋3，y＝x2＋1，y＝5－3x的图象，则f(x)的图象为图中实线部分所示．可得f(x)的最大值点为y＝x2＋1与y＝5－3x在第一象限的交点．联立又x>0，解得所以f(x)max＝2.
(3)令t＝，则2x＝1－t2(t≥0)，所以y＝－t2＋t＋1，函数在[0，]上单调递增，在[，＋∞)上单调递减，所以最大值在t＝时取得，ymax＝－＋1＝.
答案：(1)B　(2)2　(3)
跟踪训练　解析：(1)函数f(x)＝x＋的定义域为[，＋∞)，函数y＝x，y＝分别在[，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)在[，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f()＝，无最大值，所以原函数的值域为[，＋∞)．
(2)函数y＝＝＝x＋1＋，令t＝x＋1，则y＝t＋(t≠0)，当t>0时，>0，所以y＝t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝，即t＝1，即x＝0时，等号成立，当t<0时，－t>0，－>0，所以(－t)＋(－)≥2 ＝2，即－t－≥2，则t＋≤－2，当且仅当－t＝－，即t＝－1，即x＝－2时，等号成立，所以y＝t＋≤－2.综上，函数y＝的值域是(－∞，－2]
答案：(1)[，＋∞)　(2)(－∞，－2]

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