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第九节　函数与方程
新课标要求 真题分布
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解用二分法求方程近似解的一般步骤． 2025年 北京卷T8
2024年 新高考Ⅰ卷T7， 新高考Ⅱ卷T6
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别地，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．
回归教材
1.(人教A版必修一P155习题T4改编)函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3，4) B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
2．(多选)(人教A版必修一P155习题T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 136.136 15.552 －3.92
x 4 5 6
f(x) 10.88 －52.488 －232.064
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
3．(人教A版必修一P160复习参考题T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
4．(人教A版必修一P160复习参考题T4改编)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　零点所在区间的判定
例1 (1)(2026·绵阳模拟)方程lg x＋x＝0在下列哪个区间内有实数解(　　)
A．[－10，－0.1] B．[0.1，1]
C．[1，10] D．(－∞，0]
(2)函数f(x)＝|sin x|＋2cos x－sin 的一个零点所在区间为(　　)
A．() B．()
C．() D．()
学霸笔记：(1)定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)＜0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练　(1)(2026·沧州二模)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
(2)已知函数f(x)＝81ln x－()x－3－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
视角二　零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋f(－x)，则函数g(x)的零点个数为________．
学霸笔记：(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练　(1)(2026·河南洛阳模拟)函数f(x)＝－log2x的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
视角三　根据零点情况确定参数
题型1　根据零点的个数求参数
例3 已知函数f(x)＝函数g(x)＝4－f(x)，若函数y＝3f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2，3]
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
学霸笔记：(1)形如g(x)＝f(x)－m的含参数函数的零点问题可转化为f(x)＝m求解．
(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题，若能够将参数分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函数图象后利用数形结合思想求解．
跟踪训练　(2026·安庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x>0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，) B．(0，)
C．(1，) D．(－∞，)
题型2　根据所在区间求参数范围
例4 函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　)
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
学霸笔记：根据零点所在区间求参数范围问题常用方法：首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理构建不等式组求解．
跟踪训练　已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m的零点在区间(1，3]上，则m的取值范围为(　　)
A．(－，0)
B．(－∞，－
C．(－∞，－
D．[－，0)
提示：请完成课时作业14
第九节　函数与方程
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：函数y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，在定义域上其图象是一条不间断的曲线，又f(2)＝－ln 2>0，f(3)＝1－ln 3<0，由零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在区间可能为(2，3)．故选B.
答案：B
2．解析：由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．故选BCD.
答案：BCD
3.解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3的图象及直线y＝－x，如图所示．由图可知b>c>a.故选B.
答案：B
4.解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)由于y＝lg x，y＝x均为(0，＋∞)上的单调递增函数，故f(x)＝lg x＋x为(0，＋∞)上的单调递增函数，且f(0.1)＝lg 0.1＋0.1＝－1＋0.1<0，f(1)＝lg 1＋1＝0＋1>0，因此f(x)＝lg x＋x在[0.1，1]内有零点，故方程lg x＋x＝0在[0.1，1]内有实数解．故选B.
(2)由题意知f(x)＝|sin x|＋2cos x－，当x∈[0，π]时，f(x)＝sin x＋2cos x－，当x∈[0，]时，cos x≥0，x＋∈[]，sin (x＋)∈[1，]，所以f(x)≥sin x＋cos x－＝sin (x＋)－>0，所以f(x)在()和()上无零点，故AB均不正确；当x∈[，π]时，由y＝sin x，y＝cos x在[，π]上单调递减，所以f(x)＝sin x＋2cos x－，在[，π]上单调递减，由f()＝>0，f()＝<0，所以f()·f()<0，所以f(x)在()上有唯一零点，在()内无零点，故C正确，D不正确．故选C.
答案：(1)B　(2)C
跟踪训练　解析：(1)因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f()＝＋ln －1＝－1－ln 2，因为－1<，ln 2>ln ＝，所以f()＝－1－ln 2<0，又因为f(1)＝2＋ln 1－1＝1>0，所以函数f(x)的零点所在区间是(，1)．故选B.
(2)函数f(x)＝81ln x－()x－3－80是增函数，f(2)＝81ln 2－3－80<0，f(3)＝81ln 3－1－80>0，f(2)f(3)<0，所以函数的零点在(2，3)内，所以k＝2.故选B.
答案：(1)B　(2)B
视角二
例2　解析：(1)令f(x)＝0，即ex|ln x|－1＝0，则|ln x|＝＝()x，所以y＝|ln x|与y＝()x的交点个数就是函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数．如图所示，由图象知交点个数为2.故选C.
(2)当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点，当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1，因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)·g(1)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减，又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0，则g(－1)·g(0)<0，所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点．综上，g(x)的零点个数为3.
答案：(1)C　(2)3
跟踪训练　解析：(1)由f(x)＝0，得＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与y＝的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图，
观察图象知，函数y＝log2x与y＝|()x－1|的图象有唯一公共点，所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1.
(2)方法一(直接法)　由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x>0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.
方法二(图象法)　作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.
答案：(1)A　(2)B
视角三
例3　解析：由题意得当y＝3f(x)－g(x)＝4[f(x)－1]＝0时，即方程f(x)＝1有4个解，又由函数y＝a－|x＋1|与函数y＝(x－a)2的大致形状可知，直线y＝1与函数的左、右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f(x)的最大值为a，即a>1，同时在[－1，1]上f(x)＝a－|x＋1|的最小值为f(1)＝a－2，当a>1时，在(1，a]上，函数x→1＋时的极限为(1－a)2，要使y＝3f(x)－g(x)恰有4个零点，则满足解得2答案：B
跟踪训练　解析：当0≤x≤2时，f(x)＝x2，此时f(x)单调递增，当x>2时，f(x)＝()x＋1，此时f(x)单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数f(x)图象．因为函数y＝f(x)－m仅有4个零点，所以函数y＝f(x)与y＝m有4个交点，根据图象可知1答案：C
例4　解析：当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0，可得k＋log2x－＝0，令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均为增函数，故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上为增函数，因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，所以解得－1答案：D
跟踪训练　解析：由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上均为增函数，所以函数f(x)在(1，3]上为增函数，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m的零点在区间(1，3]上，则即解得－≤m<0.因此，实数m的取值范围是[－，0)．故选D.
答案：D(共77张PPT)
第九节　函数与方程
新课标要求 真题分布
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解用二分法求方程近似解的一般步骤． 2025年 北京卷T8
2024年 新高考Ⅰ卷T7，
新高考Ⅱ卷T6
知识导图
【重要结论】
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别地，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．
答案：B
2．(多选)(人教A版必修一P155习题T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 136.136 15.552 －3.92
x 4 5 6
f(x) 10.88 －52.488 －232.064
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
答案：BCD
解析：由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．故选BCD.
3．(人教A版必修一P160复习参考题T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
答案：B
解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3的图象及直线y＝－x，如图所示．由图可知b>c>a.故选B.
(0，1)
解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．
视角一　零点所在区间的判定
例1 (1)(2026·绵阳模拟)方程lg x＋x＝0在下列哪个区间内有实数解(　　)
A．[－10，－0.1] B．[0.1，1]
C．[1，10] D．(－∞，0]
答案：B
解析：由于y＝lg x，y＝x均为(0，＋∞)上的单调递增函数，故f(x)＝lg x＋x为(0，＋∞)上的单调递增函数，且f(0.1)＝lg 0.1＋0.1＝－1＋0.1<0，f(1)＝lg 1＋1＝0＋1>0，因此f(x)＝lg x＋x在[0.1，1]内有零点，故方程lg x＋x＝0在[0.1，1]内有实数解．故选B.

答案：C
学霸笔记：(1)定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)＜0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
答案：B
答案：B
视角二　零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点，当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1，因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)·g(1)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减，又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0，则g(－1)·g(0)<0，所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点．综上，g(x)的零点个数为3.
3
学霸笔记：(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
答案：A
答案：B
解析：方法一(直接法)　由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x>0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.
解析：方法二(图象法)　作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.
答案：B
故实数a的取值范围是(2，3].故选B.
学霸笔记：(1)形如g(x)＝f(x)－m的含参数函数的零点问题可转化为f(x)＝m求解．
(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题，若能够将参数分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函数图象后利用数形结合思想求解．
答案：C
题型2　根据所在区间求参数范围
例4 函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　)
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
答案：D
学霸笔记：根据零点所在区间求参数范围问题常用方法：首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理构建不等式组求解．
答案：D

答案：B
答案：A
解析：当x≤1时，f(x)＝3x＋1>1≠0，不存在零点．当x>1时，f(x)＝log3(3x－3)－2，由f(x)＝0，可得3x＝12.因为32＝9<12，33＝27>12，所以f(x)的零点在区间(2，3)内．故选A.
答案：C
解析：函数f(x)＝x2－a cos x＋2，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－a cos (－x)＋2＝x2－a cos x＋2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．由于偶函数图象关于y轴对称，且f(x)有且仅有一个零点，所以有f(0)＝0，即f(0)＝－a＋2＝0，所以a＝2.故选C.
答案：B
答案：D
6．已知函数f(x)＝2x+1＋x－1的零点为m，函数g(x)＝ln (x－1)＋x＋2的零点为n，函数h(x)＝x3－3x2＋4x－1的零点为t，则(　　)
A．mC．t答案：A
解析：令f(x)＝2x+1＋x－1＝0，则2x+1－1＝－x，则m为y＝2x+1－1的图象与y＝－x交点的横坐标，同理可得n为y＝ln (x－1)＋2与y＝－x交点的横坐标，t为y＝(x－1)3与y＝－x交点的横坐标，结合图象可知m∈(－1，0)，n∈(1，2)，t∈(0，1)．综上可得m答案：C
8．(2026·成都模拟)函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和为(　　)
A．9　　　 B．10 C．11　　　D．12
答案：D

答案：BCD
对于D，因为f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－1)f(3)<0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确．故选BCD.
答案：BC
11．已知f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是(　　)
A．若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)
B．若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5)
C．若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5
D．若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞)
答案：AC
13．已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个．
4
解析：函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点．
[－1，1]
答案： B
16．(5分)已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|

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