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第八节　函数的图象
新课标要求 真题分布
1.了解用图象表示函数的方法，会画简单函数的图象，理解函数图象的作用． 2．能够借助不同的情境识别函数的图象并能够应用函数的图象解决实际问题． 2025年 全国Ⅰ卷T8， 北京卷T4
2024年 全国甲卷T7
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
回归教材
1.(人教A版必修一P82探究改编)函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
2.(人教A版必修一P161复习参考题T7改编)已知指数函数y＝()x的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是________．
3．(人教A版必修一P161复习参考题T13改编)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________．
4．(人教A版必修一P140习题T6改编)将某种药物首次注射进患者的血液中，血液中药物含量Q(单位：mg)随时间t(单位：h)变化的图象如图所示．在注射期间，Q与t成正比；停止注射后，血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减．根据图中提供的信息，写出血液中的药物含量Q与时间t的函数关系式为______________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数图象的识别
题型1　由式选图
例1 (2026·合肥一模)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
学霸笔记：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置．
(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)由函数的周期性，判断图象是否循环往复．
(5)由函数的特殊点，排除不符合要求的函数图象．
跟踪训练　函数f(x)＝x2－ln |x|的图象大致是(　　)
题型2　由图选式
例2 (2026·周口模拟)已知函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以为(　　)
A．f(x)＝－|x|3
B．f(x)＝－2x3＋2x
C．f(x)＝x3ln |x|－x
D．f(x)＝x3－6x ln |x|
学霸笔记：(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性．
(3)从图象的对称性，观察函数的奇偶性．
(4)从图象是否循环往复，观察函数的周期性．
(5)从图象与x轴的交点情况，观察函数的零点．
跟踪训练 (2026·金昌二模)如图是函数f(x)的部分图象，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－
视角二　利用图象研究函数的性质
例3 (多选)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[－1.8]＝－2，[3.5]＝3，称f(x)＝[x]为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是(　　)
A．f(x)在R上单调递增，且图象关于原点对称
B．函数y＝x－f(x)的值域为[0，1)
C．函数y＝x·f(x)在[1，＋∞)上单调递增
D．函数y＝(x>0)与函数y＝的图象没有交点
学霸笔记：对于已知解析式，且易画出其在给定区间上图象的函数，常借助图象研究其性质：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
跟踪训练　已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
视角三　利用图象解不等式
例4 (2026·晋城模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)＝f(4)＝0，当02时，f(x)单调递增，则不等式≤0的解集为(　　)
A．(－∞，－1]∪[0，3]∪[4，＋∞）
B．[－4，－1]∪(0，1]∪(3，4]
C．(－∞，－4]∪[－1，1]∪(3，＋∞)
D．[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4]
学霸笔记：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练　已知函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝0，当x>2时，f(x)＝ln (x－2)，则不等式xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，1)∪(2，3)
B．(－∞，0)∪(0，1)∪(2，3)
C．(1，2)∪(3，＋∞)
D．(0，1)∪(2，3)
视角四　利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
学霸笔记：利用函数图象求参数范围问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数问题．
跟踪训练　设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(x－2)．若对任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，＋∞) D．[，＋∞)
提示：请完成课时作业13
第八节　函数的图象
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．故选A.
答案：A
2．解析：由题图知函数为减函数，则0<<1，二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标为x＝－，∵0<<1，∴0<<，－<－<0，即横坐标的取值范围是(－，0)．
答案：(－，0)
3．解析：由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
4．解析：在注射期间，Q与t成正比，当t∈[0，2)时，设Q(t)＝kt(k∈R)，则Q(2)＝2k＝1 920，解得k＝960，所以Q(t)＝960t；停止注射后，血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减，由题图可知，当t∈[2，＋∞)时，Q(t)＝1 920×()t－2＝3 000×()t.综上所述，药物含量Q与时间t的函数关系式为Q(t)＝
答案：Q(t)＝
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：由ex－e－x≠0，解得x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C；设g(x)＝ex－e－x，显然该函数单调递增，故当x>0时，g(x)>g(0)＝0，则当x∈(0，)时，y＝cos (πx)>0，故f(x)>0，当x∈()时，y＝cos (πx)<0，故f(x)<0，当x∈()时，y＝cos (πx)>0，故f(x)>0，排除D当x∈(，3)时，y＝cos (πx)<0，故f(x)<0，排除B.故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：由f(x)＝x2－ln |x|，可得定义域为(－∞，0)又f(－x)＝(－x)2－ln |－x|＝x2－ln |x|＝f(x)，函数为偶函数，故排除D；又f(3)＝9－ln 3>0，结合题图可知排除BC.故选A.
答案：A
例2　解析：由题图可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，该函数为奇函数，且f(1)>0，对于A，函数f(x)＝－|x|3的定义域为{x|x≠0}，f(1)＝2－1＝1，f(－1)＝－2－1＝－3，则f(－1)≠－f(1)，即函数f(x)不是奇函数，排除A.对于B，函数f(x)＝－2x3＋2x的定义域为{x|x≠0}，f(1)＝1－2＋2＝1，f(－x)＝－2·(－x)3－2x＝－＋2x3－2x＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x4－2x3＋2x＝x(x3－2x2＋2)，令g(x)＝x3－2x2＋2，则g′(x)＝3x2－4x＝x(3x－4)，当0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故当x>0时，g(x)≥g()＝()3－2×()2＋2＝>0，故当x>0时，f(x)＝x(x3－2x2＋2)＝xg(x)>0，与题意不符，排除B.对于C，函数f(x)＝x3ln |x|－x的定义域为{x|x≠0}，f(1)＝－1<0，与题意不符，排除C.对于D，函数f(x)＝x3－6x ln |x|的定义域为{x|x≠0}，f(1)＝1>0，f(－x)＝(－x)3＋6x ln |－x|＝－x3＋6x ln |x|＝－f(x)，f(x)为奇函数，符合题意．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：由题图可知，函数图象关于y轴对称，因此f(x)为偶函数，对于B，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－f(x)，奇函数，对于D，f(x)＝－的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－＝－f(x)，奇函数，因此排除BD这两个奇函数；由题图知，若x取一个很小的正数，比如x＝0.000 1，对于A，f(0.000 1)＝>0，函数值为正数，因此排除A；对于C，f(x)＝－的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－＝f(x)，f(0.000 1)＝－<0，综上只有C符合．故选C.
答案：C
视角二
例3　解析：对于A，当x＝2.1时，[－x]＝[－2.1]＝－3，[x]＝[2.1]＝2，[－x]≠－[x]，且当x∈[2，3)时，f(x)＝2，故f(x)在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误；对于B，如图，
由于x－1<[x]≤x，所以0≤x－[x]<1，所以函数y＝x－[x]的值域是[0，1)，故B正确；对于C，y＝xf(x)＝x·[x]＝满足函数单调递增的条件，故C正确；对于D，当0由图可知，函数y＝(x>0)在(0，＋∞)上的值域为(，1]故其与函数y＝的图象没有交点，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
跟踪训练　解析：由题意f(x)＝＝2＋，则该函数的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图．由图象可得，函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，故A正确；函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误；函数f(x)的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A，B，使得直线AB∥x轴，故D错误．故选A.
答案：A
视角三
例4　解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(1)＝f(4)＝0，所以f(－1)＝f(－4)＝0.根据题意作出f(x)的大致图象如图所示，≤0等价于或由图可得x∈[－4，－1]故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：因为f(2－x)＋f(2＋x)＝0，可知函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．又因为当x>2时，f(x)＝ln (x－2)，所以函数f(x)的大致图象如图．结合图象可知，当x>0时，要使xf(x)<0，需f(x)<0，则x∈(0，1)；当x<0时，要使xf(x)<0，需f(x)>0，此时x不存在．故不等式xf(x)<0的解集为(0，1)故选D.
答案：D
视角四
例5　解析：由y＝|f(x)|的图象(如图所示)知，①当x>0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立；当x<0时，不等式等价为x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2，0].故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：由于f(x＋2)＝f(x)，故f(x)＝f(x－2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝x(x－2)∈[－1，0]，即当x∈(2，4]时，x－2∈(0，2]，故f(x)＝(x－2)(x－4)∈[－，0]，同理当x∈(4，6]时，f(x)＝(x－4)(x－6)∈[－，0]；当x∈(6，8]时，f(x)＝(x－6)(x－8)∈[－，0].以此类推，当x>6时，都有f(x)>－.函数f(x)和函数y＝－在(0，8]上的图象如图所示，由图可知，f(m)＝(m－4)(m－6)＝－，m∈(5，6)，解得m＝，即对任意x∈[，＋∞)，都有f(x)≥－，即m的取值范围是[，＋∞)．故选A.
答案：A(共79张PPT)
第八节　函数的图象
新课标要求 真题分布
1. 了解用图象表示函数的方法，会画简单函数的图象，理解函数图象的作用．
2．能够借助不同的情境识别函数的图象并能够应用函数的图象解决实际问题． 2025年 全国Ⅰ卷T8，
北京卷T4
2024年 全国甲卷T7
知识导图

答案：A
解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．故选A.
答案：－1
解析：由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
4．(人教A版必修一P140习题T6改编)将某种药物首次注射进患者的血液中，血液中药物含量Q(单位：mg)随时间t(单位：h)变化的图象如图所示．在注射期间，Q与t成正比；停止注射后，血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减．根据图中提供的信息，写出血液中的药物含量Q与时间t的函数关系式为______________．


答案：A
学霸笔记：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置．
(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)由函数的周期性，判断图象是否循环往复．
(5)由函数的特殊点，排除不符合要求的函数图象．
跟踪训练　函数f(x)＝x2－ln |x|的图象大致是(　　)
答案：A
答案：D
学霸笔记：
(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性．
(3)从图象的对称性，观察函数的奇偶性．
(4)从图象是否循环往复，观察函数的周期性．
(5)从图象与x轴的交点情况，观察函数的零点．
答案：C
答案：BCD
解析：对于A，当x＝2.1时，[－x]＝[－2.1]＝－3，[x]＝[2.1]＝2，[－x]≠－[x]，且当x∈[2，3)时，f(x)＝2，故f(x)在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误；对于B，如图，
学霸笔记：对于已知解析式，且易画出其在给定区间上图象的函数，常借助图象研究其性质：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

答案：A
答案：D
学霸笔记：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练　已知函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝0，当x>2时，f(x)＝ln (x－2)，则不等式xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，1)∪(2，3)
B．(－∞，0)∪(0，1)∪(2，3)
C．(1，2)∪(3，＋∞)
D．(0，1)∪(2，3)
答案：D
答案：D
解析：由y＝|f(x)|的图象(如图所示)知，①当x>0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立；当x<0时，不等式等价为x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2，0].故选D.
学霸笔记：利用函数图象求参数范围问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数问题．
答案：A
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝|f(x－1)|＋1的图象大致为(　　)
答案：C
解析：先将y＝f(x)图象向右平移1个单位得到y＝f(x－1)的图象，
然后将x轴下方图象翻折到x轴上方得到y＝|f(x－1)|，
最后将图象向上平移1个单位得到y＝|f(x－1)|＋1的图象．故选C.
答案：D

答案：A
解析：当b为偶数时，f(x)恒大于0，所以b为奇数，当x＝－a时，f(x)＝0，从题图可知此时－a<0，即a>0.
4．(2026·杭州二模)下列可以作为方程x3＋y3＝4xy的图象的是(　　)
答案：D
解析：当x<0时，x3＝4xy－y3＝y(4x－y2)<0，若y<0，则4x－y2>0，即y2<4x<0，不符合，故x<0，y<0不可能同时成立，即方程x3＋y3＝4xy在第三象限没有图象，故ABC错误．故选D.
答案：D
答案：D
答案：A
答案：A
当a>0时，无法满足a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤2b}，故舍去．故选A.
答案：AD

答案：AC
11．已知函数f(x)＝f(－x)，且f(x)的图象的对称中心为(1，0)，当x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)的最小值是－1
B．f(x)在(－3，－2)上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝－2对称
D．f(x)在(3，4)上的函数值大于0
答案：AC
解析：根据f(x)＝f(－x)可得f(x)为偶函数，又f(x)的图象的对称中心为(1，0)，结合x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，可画出f(x)的部分图象如图所示，由图象可知，f(x)的最小值是－1，f(x)在(－3，－2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x＝－2对称，f(x)在(3，4)上的函数值小于0，故AC正确，BD错误．故选AC.
12．把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
答案：2
解析：把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln |x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.
13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)单调递增，则f(ex－1)＋f((1－e)x)<0的解集为________．
答案：(0，1)
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以由f(ex－1)＋f((1－e)x)<0得f(ex－1)<－f((1－e)x)，即f(ex－1)答案：－9
15．(5分)(2026·新余模拟)P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其解析式为r＝|2sin 2θ|＋|sin 4θ|，则P的轨迹可能为(　　)
答案：B
答案：②③

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