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第四节　函数性质的综合应用
答案：A
答案：B
学霸笔记：(1)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用单调性比较大小．
(2)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
答案：B
(2)(2026·临沂模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式(x－2)f(x)<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，3)
B．(－3，0)∪(2，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，0)∪(3，＋∞)
答案：B
视角二　函数的单调性与对称性
例2 已知定义在R上的函数f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且对 x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，若f(a－1)≤f(3a)，则实数a的取值范围是____________________．
学霸笔记：此类问题可结合对称性与单调性画出函数的简图，由与对称轴的距离远近及单调性可去掉“f”．
(－2，2)
答案：D
根据f(x)为偶函数，且关于点(1，0)对称，最小正周期为4，易知f(x)的所有对称轴为直线x＝2k(k∈Z)，故B错误．故选D.
学霸笔记：解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用，事实上，对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个．
4 048
视角四　函数性质的综合应用
例4 (多选)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是(　　)
A．f(0)＝f(2)
B.f(x)的最小正周期T＝2
C．f(x)在(1，2]上单调递减
D．f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)
答案：AC
解析：由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，故A正确．由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又图象关于点(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误．因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增．因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确．
根据f(x)的周期为4，可得f(2 025)＝f(1)，f(2 026)＝f(2)，f(2 027)＝f(－1)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立，故D错误．故选AC.
学霸笔记：对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

答案：C
解析：由①，有f(x＋6)＝f(－x＋6)，所以f(x)关于直线x＝6对称；由②，令t＝2＋x，则x＝t－2，有f(6－t)＝－f(t)，所以f(x)关于点(3，0)对称；则f(6－x)＝－f(x)，又因为f(－x＋12)＝f(x)，则f(6－x)＝－f(－x＋12)，则f(x)＝－f(x＋6)，则f(x＋6)＝－f(x＋12)，则f(x)＝f(x＋12)，则f(x)的周期为12，故f(121)＝f(1)；由③，知f(x)在(0，3)上单调递增，因为f(x)关于点(3，0)对称，所以f(x)在(3，6)上单调递增，又f(x)在R上连续，所以f(x)在(0，6)上单调递增，故有f(1)答案：D
答案：B
3．(2026·新乡模拟)设函数f(x)＝ex－e－x＋x3，则使得f(2x－3)＋f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
答案：C
解析：由f(x)＝ex－e－x＋x3求导得f′(x)＝ex＋e－x＋3x2>0，所以f(x)＝ex－e－x＋x3在R上是增函数，又因为f(－x)＝e－x－ex＋(－x)3＝－(ex－e－x＋x3)＝－f(x)，所以f(x)＝ex－e－x＋x3是奇函数，则f(2x－3)＋f(x)>0 f(2x－3)>－f(x) f(2x－3)>f(－x)，根据f(x)＝ex－e－x＋x3在R上是增函数，所以2x－3>－x x>1.故选C.
4．(2026·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－3)f(x)的图象关于点(3，0)中心对称，若g(－1)＝－4，则f(5)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：因为g(x)＝(x－3)f(x)，g(－1)＝－4，所以g(－1)＝－4f(－1)＝－4，所以f(－1)＝1，因为f(x)是偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝1，故g(1)＝－2f(1)＝－2，又因为g(x)的图象关于点(3，0)中心对称，所以g(5)＝－g(1)＝2，即g(5)＝2f(5)＝2，故f(5)＝1.故选A.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝f(5－x)，且 x1，x2∈(5，＋∞)，x1≠x2，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(　　)
A．f(5.5)B．f(2.7)>f(3.2)
C．f(7.3)>f(7.9)
D．f(2.7)>f(5.2)
答案：C
解析：因为f(5＋x)＝f(5－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝5对称，由条件可知f(x)在(5，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，5)上单调递增．对于A，f(5.5)＝f(10－5.5)＝f(4.5)，故A错误；对于B，因为2.7<3.2<5，所以f(2.7)f(7.9)，故C正确；对于D，因为f(2.7)＝f(10－2.7)＝f(7.3)且5<5.2<7.3，所以f(2.7)＝f(7.3)
答案：C
7．(2026·郑州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且f(2x－1)为奇函数，则一定有(　　)
A．f(0)＝0 B．f(2)＝0
C．f(3)＝0 D．f(4)＝0
答案：C
解析：∵函数f(2x－1)为奇函数，∴f(－1)＝0，又∵f(x＋2)＝f(－x)，∴f(3)＝f(1＋2)＝f(－1)＝0，故C正确．其他三个选项条件不足无法计算．故选C.
答案：C
答案：CD
10．设函数f(x)的定义域为R，f(x－2)为奇函数，f(x－1)为偶函数，则(　　)
A．f(x)为偶函数
B．f(x)关于直线x＝2k＋1，k∈Z对称
C．f(x)＝f(3－x)
D．f(x)是以4为周期的周期函数
答案：BD
11．(2026·镇江模拟)已知定义域在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，且当x∈(0，3]时，f(x)＝4x－x2，则下列说法正确的有(　　)
A．f(0)＝0
B．当x∈[－3，0)时，f(x)＝－4x＋x2
C．x＝8是f(x)的极小值点
D．f(log215)>f(sin 2)
答案：ACD
解析：对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，得f(0)＝0，A正确；对于B，当x∈[－3，0)时，－x∈(0，3]，所以f(－x)＝－4x－(－x)2＝－4x－x2，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝4x＋x2，B错误；对于C，因为f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3＋x)＝f(3－x)，即f(6＋x)＝f(－x)，当x∈(6，9)时，－x∈(－9，－6)，6－x∈(－3，0)，所以f(6－x)＝4(6－x)＋(6－x)2＝x2－16x＋60，所以f(x)＝f(6－x)＝x2－16x＋60，即x∈(6，9)时，f(x)＝x2－16x＋60，由二次函数的性质可知，f(x)在(6，8)上单调递减，在(8，9)上单调递增，所以x＝8是f(x)的极小值点，C正确；
对于D，因为3f(3)＝f(1)，因为f(x)＝4x－x2在(0，2)上单调递增，且sin 2<1，所以f(1)>f(sin 2)，所以f(log215)＝f(6－log215)>f(3)＝f(1)>f(sin 2)，D正确．故选ACD.
12．(2026·赣州模拟)已知函数f(x)是在R上单调递增的奇函数，若f(3)＝2，则满足f(x－3)≤－2的x的取值范围是________．
(－∞，0]
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2.因为f(x－3)≤－2，所以f(x－3)≤f(－3)，因为f(x)是增函数，所以x－3≤－3，解得x≤0.
13．已知函数f(x)的图象关于(2，0)中心对称，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(3－2a)＋f(4a＋5)>0，则实数a的取值范围为__________．
(－∞，－2)
解析：由函数f(x)的图象关于(2，0)中心对称，则f(4－x)＝－f(x)．又因为f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以x∈[2，＋∞)时，f(x)≤0，且f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x)>0，可得f(x)在R上单调递减．又因为f(3－2a)＝－f(1＋2a)，所以f(3－2a)＋f(4a＋5)>0可得f(4a＋5)>f(1＋2a)，则4a＋5<1＋2a，得a<－2.
14．已知偶函数y＝f(x)在区间[－1，0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(－3)＝0；②f(x)在[1，2]上是增函数；③f(x)的图象关于直线x＝1对称；④函数f(x)在x＝2处取得最小值，其中判断正确的序号是________．
①④
解析：由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得f(1－x)＝－f(1＋x)，又y＝f(x)是偶函数，所以f(1－x)＝f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，令x＝0得f(1－0)＋f(1＋0)＝0，解得f(1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，①正确；由f(1－x)＋f(1＋x)＝0可得f(x)的图象关于点(1，0)对称，③错误；
又f(x)为偶函数，可知f(x)的图象关于点(－1，0)对称，因为y＝f(x)在区间[－1，0]上单调递增，所以f(x)在[－2，0]上单调递增，由偶函数的对称性得f(x)在[0，2]上单调递减，②错误；因为f(x)在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x∈[－2，2]时，在x＝±2处取得最小值，又f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x)在x＝2处取得最小值，④正确．第四节　函数性质的综合应用
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数的单调性与奇偶性
例1 (1)已知函数f(x)＝x2＋cos x，则f(－2)，f(3)，f(π)的大小关系是(　　)
A．f(－2)B．f(π)C．f(3)D．f(－2)(2)(2026·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝ln (1＋x2)－，则不等式f(x－1)>f(2x－3)的解集为(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(－∞，2) D．(0，)
学霸笔记：(1)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用单调性比较大小．
(2)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
跟踪训练　(1)若偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，且a＝)，b＝)，c＝)，则下列不等式成立的是(　　)
A.aC．c(2)(2026·临沂模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式(x－2)f(x)<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，3)
B．(－3，0)∪(2，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，0)∪(3，＋∞)
视角二　函数的单调性与对称性
例2 已知定义在R上的函数f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且对 x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，若f(a－1)≤f(3a)，则实数a的取值范围是________．
学霸笔记：此类问题可结合对称性与单调性画出函数的简图，由与对称轴的距离远近及单调性可去掉“f”．
跟踪训练　已知函数f(x)满足关系式f(2＋x)＝f(－x)，且对于 x1，x2∈(－∞，1](x1≠x2)，满足<0恒成立，若不等式f(ax)视角三　函数的奇偶性、周期性与对称性
例3 (2026·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x)＋f(x＋2)＝2f(1)，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)的图象关于直线x＝3对称
C．f(2x)的最小正周期为4
D．f(2x)的图象关于点(，0)对称
学霸笔记：解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用，事实上，对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个．
跟踪训练　已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(2，2)中心对称，f(3)＝4，若f(x＋1)为偶函数，则＝________．
视角四　函数性质的综合应用
例4 (多选)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是(　　)
A．f(0)＝f(2)
B.f(x)的最小正周期T＝2
C．f(x)在(1，2]上单调递减
D．f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)
学霸笔记：对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练　(2026·绵阳模拟)已知定义域为R的连续函数f(x)满足：
①f(x＋6)为偶函数；
② x∈R，f(2＋x)＋f(4－x)＝0；
③ x1，x2∈(0，3)，>0.
则f(2)，f(5)，f(121)的大小顺序为(　　)
A．f(2)B．f(2)C．f(121)D．f(5)提示：请完成课时作业9
第四节　函数性质的综合应用
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)因为f(－x)＝(－x)2＋cos (－x)＝x2＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，f′(x)＝x－sin x，令g(x)＝x－sin x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝1－cos x≥0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)>g(0)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(－2)＝f(2)(2)由题知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝ln (1＋x2)－＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x>0时，y＝ln (1＋x2)和y＝－均为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故由f(x－1)>f(2x－3)可得|x－1|>|2x－3|，解得答案：(1)A　(2)B
跟踪训练　解析：(1)y＝f(x)为偶函数且在(－∞，0]上单调递增，则在(0，＋∞)上单调递减．根据幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，得，再由指数函数y＝2x单调递增可知，，则，故f() < f()< f()，即b(2)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(－3)＝－f(3)＝0，且该函数在(－∞，0)上为增函数，f(0)＝0，当x<－3时，f(x)f(－3)＝0；当03时，f(x)>f(3)＝0.因为(x－2)f(x)<0，当x－2<0时，即x<2时，f(x)>0，则－33，此时，－30时，即x>2时，f(x)<0，则x<－3或0答案：(1)B　(2)B
视角二
例2　解析：由y＝f(x＋1)为偶函数可知函数y＝f(x)关于x＝1对称，又当x1>x2时，f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故|(a－1)－1|≤|3a－1|，即|a－2|≤|3a－1|，平方整理得8a2－2a－3≥0，解得a≤－或a≥.
答案：(－∞，－]∪[，＋∞)
跟踪训练　解析：由f(2＋x)＝f(－x)知函数f(x)关于x＝1对称，再由<0知当x1>x2时，f(x1)答案：(－2，2)
视角三
例3　解析：因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(2x)的图象关于点(，0)对称，D正确；因为函数f(x)的定义域为R，易知f(2x＋1)的定义域为R，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(2×0＋1)＝f(1)＝0，则f(x)＋f(x＋2)＝2f(1)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，根据f(x)的图象关于点(1，0)对称，得f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)＝f(－x)，故f(x)为偶函数，A错误；因为f(x＋2)＝－f(x＋2＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(－x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以f(x)的最小正周期为4，则f(2x)的最小正周期为2，C错误；根据f(x)为偶函数，且关于点(1，0)对称，最小正周期为4，易知f(x)的所有对称轴为直线x＝2k(k∈Z)，故B错误．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：因为函数f(x)的图象关于点(2，2)中心对称，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝4，又f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x＋2)＝f(－x)＝4－f(－x＋2)，即f(x)＝4－f(x＋2)，f(x＋2)＝4－f(x＋4)，则f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(2＋x)＋f(2－x)＝4，令x＝1，得f(1)＋f(3)＝4，又f(3)＝4，所以f(1)＝0，令x＝0，得f(2)＋f(2)＝4，所以f(2)＝2，令x＝2，得f(4)＋f(0)＝4，又周期为4，f(4)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，所以＝＋f(1)＝4 048.
答案：4 048
视角四
例4　解析：由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，故A正确．由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又图象关于点(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误．因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增．因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确．根据f(x)的周期为4，可得f(2 025)＝f(1)，f(2 026)＝f(2)，f(2 027)＝f(－1)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立，故D错误．故选AC.
答案：AC
跟踪训练　解析：由①，有f(x＋6)＝f(－x＋6)，所以f(x)关于直线x＝6对称；由②，令t＝2＋x，则x＝t－2，有f(6－t)＝－f(t)，所以f(x)关于点(3，0)对称；则f(6－x)＝－f(x)，又因为f(－x＋12)＝f(x)，则f(6－x)＝－f(－x＋12)，则f(x)＝－f(x＋6)，则f(x＋6)＝－f(x＋12)，则f(x)＝f(x＋12)，则f(x)的周期为12，故f(121)＝f(1)；由③，知f(x)在(0，3)上单调递增，因为f(x)关于点(3，0)对称，所以f(x)在(3，6)上单调递增，又f(x)在R上连续，所以f(x)在(0，6)上单调递增，故有f(1)答案：C

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