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第七节　对数与对数函数
新课标要求 真题分布
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 2025年 全国Ⅰ卷T8，北京卷T9
2024年 新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T8
2023年 新高考Ⅱ卷T4
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．换底公式及其推论
(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0，且不等于1)．
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；d>0)．
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
由03．与对数函数相关的几个函数的奇偶性
(1)函数y＝loga，y＝loga(bx＋)(a>0，且a≠1)为奇函数．
(2)函数y＝ln (eax＋1)－x为偶函数．
回归教材
1.(人教A版必修一P126T3(2)改编)计算：2(log43＋log83)(log32＋log92)＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
2．(人教A版必修一P140习题T1(2)改编)函数y＝的定义域是(　　)
A．(0，1) B．(，1]
C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
3．(人教A版必修一P141习题T13(1)改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　)
A.a4．(人教A版必修一P160复习参考题T5(2)改编)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　　)
A.aC．c5．(人教A版必修一P141习题T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　对数式的运算
例1 (1)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝5z，则(　　)
A．4y<3x<5z B．5z<4y<3x
C．3x<4y<5z D．3x<5z<4y
(2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　)
A．2 B．4
C．20 D．40
学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解．
跟踪训练
(1)＝________．
(2)已知a>1，且＝－，则a＝________.
视角二　对数函数图象的应用
例2 (1)(多选)(2026·合肥模拟)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝(x＋)＋3的图象一定经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1，10) B．(2，8)
C．(10，12) D．(20，24)
学霸笔记：(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
　跟踪训练
(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0(2)若方程4x＝logax在(0，]上有解，则实数a的取值范围是________．
视角三　对数函数性质的应用
题型1　比较大小
例3 (2026·蚌埠模拟)已知a＝log32，b＝log23，c＝log46，则(　　)
A．aC．b学霸笔记：(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．
(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．
(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．
跟踪训练　已知实数a＝log32，b＝log23.4，c＝log28.5，则(　　)
A．aC．c题型2　解对数不等式
例4 (2026·宁德模拟)设函数f(x)＝|log2x|，则满足f(x)学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
跟踪训练　不等式(4x－3)≥2的解集为________．
题型3　求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．≤a<或a>1
B．≤a<1或a>1
C．01
D．a>1
学霸笔记：与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
跟踪训练　(2026·赣州模拟)若f(x)＝ln (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1)上递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
提示：请完成课时作业12
第七节　对数与对数函数
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2()×()＝log23×＝.
答案：D
2．解析：由得0<4x－3≤1，解得答案：B
3．解析：a＝，b＝，c＝，∵log60.2答案：B
4．解析：f(x)＝|lg x|＝作出f(x)的图象如图，f(x)在(0，1)上为减函数．∵0<<<1，∴f()>f()，即a>b.又∵b＝f()＝|lg |＝|－lg 3|＝lg 3>|lg 2|＝f(2)＝c.∴a>b>c.
答案：D
5．解析：由题意得a>0且a≠1，loga<1，当01时，得a>1.综上，a∈(0，
答案：(0，)∪(1，＋∞)
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)令3x＝4y＝5z＝k，则k>1，x＝log3k，y＝log4k，z＝log5k.因为＝＝log8164<1，所以3x<4y；因为＝＝log1 024625<1，故4y<5z.从而3x<4y<5z.故选C.
解析：(2)设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B.
答案：(1)C　
答案：(2)B
跟踪训练　解析：(1)原式
＝
＝＝－.
(2)由＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0 log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.
答案：(1)－　(2)64
视角二
例2　解析：(1)由f(x)＝(x＋)＋3＝2logm(x＋)＋3，m>0且m≠1，则f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0解析：(2)令解得1答案：(1)AB　
答案：(2)C
跟踪训练　解析：(1)令g(x)＝2x＋b－1，则g(x)为增函数，又由f(x)的图象可知函数y＝logag(x)是增函数，所以必有a>1.由f(x)的图象知图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1解析：(2)若方程4x＝logax在(0，]上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在(0，]上有交点，由图象知解得0答案：(1)A　
答案：(2)(0，]
视角三
例3　解析：由于log31答案：B
跟踪训练　解析：因为函数y＝log2x，y＝log3x在(0，＋∞)上都是增函数，故0答案：A
例4　解析：由f(x)＝|log2x|可得f(x－1)＝|log2(x－1)|，则解得x>1，所以定义域为(1，＋∞)，当x≥2时，log2x>0，log2(x－1)≥0，由f(x)0，log2(x－1)<0，由f(x)答案：(1，)
跟踪训练　解析：由(4x－3)≥2，得(4x－3)≥，所以0<4x－3≤，即答案：(]
例5　解析：令t＝ax2－x，对称轴方程为x＝，当a>1时，要使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数，得解得a>，而a>1，故a>1，当01.故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，其对称轴方程为x＝a，外函数对数函数是增函数，要使函数f(x)＝ln (x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1)上递减，则即1≤a≤2.所以实数a的取值范围是[1，2].故选B.
答案：B(共73张PPT)
第七节　对数与对数函数
新课标要求 真题分布
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 2025年 全国Ⅰ卷T8，北京卷T9
2024年 新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T8
2023年 新高考Ⅱ卷T4
知识导图
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，由0答案：D
答案：B
3．(人教A版必修一P141习题T13(1)改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　)
A.a答案：B
答案：D
视角一　对数式的运算
例1 (1)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝5z，则(　　)
A．4y<3x<5z B．5z<4y<3x
C．3x<4y<5z D．3x<5z<4y
答案：C　
(2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　)
A．2 B．4
C．20 D．40
答案：B
解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B.
学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解．

64
答案：AB　
答案：C
学霸笔记：(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
　跟踪训练
(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0答案：A　
解析：令g(x)＝2x＋b－1，则g(x)为增函数，又由f(x)的图象可知函数y＝logag(x)是增函数，所以必有a>1.由f(x)的图象知图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1视角三　对数函数性质的应用
题型1　比较大小
例3 (2026·蚌埠模拟)已知a＝log32，b＝log23，c＝log46，则(　　)
A．aC．b答案：B
学霸笔记：
(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．
(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．
(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．
跟踪训练　已知实数a＝log32，b＝log23.4，c＝log28.5，则(　　)
A．aC．c答案：A
解析：因为函数y＝log2x，y＝log3x在(0，＋∞)上都是增函数，故0题型2　解对数不等式
例4 (2026·宁德模拟)设函数f(x)＝|log2x|，则满足f(x)学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

答案：D
学霸笔记：与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
跟踪训练　(2026·赣州模拟)若f(x)＝ln (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1)上递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：B

答案：B
答案：D
3．已知函数f(x)＝x(2－2x)，当x＝m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)＝logm|x＋n|的大致图象为(　　)
答案：A
4．(2026·苏州模拟)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(－1，1)上单调递减
C．是偶函数，且在(－∞，－1)上单调递增
D．是奇函数，且在(－∞，－1)上单调递减
答案：D
答案：B
答案：C
7．已知函数f(x)＝3log2x－2(x－1)，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(1，4) B．(－∞，1)∪(4，＋∞)
C．(0，1)∪(4，＋∞) D．(0，4)
答案：C
8．已知函数f(x)＝log2(ax2－2ax＋2)，则下列说法错误的是(　　)
A．若f(x)的值域为R，则a∈[2，＋∞)
B．若f(x)的定义域为R，则a∈(0，2)
C．若f(x)的最小值为0，则a＝1
D．若f(x)的最大值为2，则a＝－2
答案：B

答案：BC
10．如图是函数y＝|logax|和y＝|logbx|的大致图象，其中0A．A1，A3是函数y＝|logax|的图象
B．A1，A4是函数y＝|logax|的图象
C．A2，A3是函数y＝|logbx|的图象
D．A2，A4是函数y＝|logbx|的图象
答案：BC
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·钦州模拟)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为________．
12．若函数f(x)＝log2(4－x＋a)在区间[－1，0]上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·阜阳模拟)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(1)若f(x)在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
(2)解关于x的不等式loga(－ax－1)>loga(a－x2)．

(2)对 x∈[1，9]，不等式f(3x)≥mlog3x恒成立，求实数m的取值范围．
15．(5分)已知函数f(x)＝ln (ex＋1)＋kx(k∈R)是偶函数，则(　　)
A．f(log0.20.3)>f(log20.3)>f(k)
B．f(k)>f(log20.3)>f(log0.20.3)
C．f(log20.3)>f(log0.20.3)>f(k)
D．f(log0.20.3)>f(k)>f(log20.3)
答案：C
答案：1

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