资源简介

第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性
新课标要求 真题分布
1.了解函数奇偶性的概念及其几何意义． 2．了解函数的周期性及其几何意义． 3．会依据函数的性质进行简单的应用． 2025年 全国Ⅰ卷T5，全国Ⅱ卷T10
2024年 新高考Ⅰ卷T18(2)
2023年 新高考Ⅰ卷T11，新高考Ⅱ卷T4
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)若函数满足f(x)＝0或解析式可化简为f(x)＝0(x∈D)，其中定义域D是关于原点对称的非空数集，则函数既是奇函数又是偶函数．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．周期性的常用结论
设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的一个周期为2a.
(3)若f(x＋a)＝，则函数的一个周期为2a.
(4)若f(x＋a)＝－，则函数的一个周期为2a.
3．对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称，即f(b＋x)＋f(b－x)＝0或f(x)＋f(2b－x)＝0.
(3)若函数y＝f(x)满足f(m)＝f(n)，且m＋n＝p(常数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(4)若函数y＝f(x)满足f(m)＋f(n)＝q，且m＋n＝p(常数)，则y＝f(x)的图象关于点()对称．特别地，当q＝0时，y＝f(x)的图象关于点(，0)对称．
回归教材
1.(多选)(人教A版必修一P84例6改编)下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
2．(人教A版必修一P101复习参考题T9(1)改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m
B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m
C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m
D.函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m
3．(人教A版必修一P214习题T15改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝________．
4．(人教A版必修一P86习题T11改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数的奇偶性
题型1　判断函数的奇偶性
例1 下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝ln
C．f(x)＝|sin x| D．f(x)＝
学霸笔记：判断函数奇偶性的步骤是：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．
　跟踪训练　下列函数是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
题型2　利用奇偶性求参数
例2 (2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1　　 B．0 C．　　 D．1
学霸笔记：根据函数的奇偶性求函数解析式中的参数的方法主要是利用函数的奇偶性建立关于f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的恒等式求解，也可利用特殊值求解(使用特殊值求解，所得的参数的值需要检验)．
跟踪训练　(2026·广州模拟)已知定义域为R的函数f(x)＝满足f(x)＋f(－x)＝0，则a＋b＝(　　)
A．3　　　 B．2 C．1　　　 D．0
题型3　利用奇偶性求值(解析式)
例3 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f(－)＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
学霸笔记：(1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：先将所求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
跟踪训练　(2026·南通模拟)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－2x，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．x＋2x B．x＋2－x
C．－x＋2－x D．－x－2－x
视角二　函数的周期性
例4 (1)(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2026·昆明模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝________．
学霸笔记：求解函数的周期性问题，首先应根据题意求出函数的周期，利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上．
跟踪训练　(1)(2026·邢台模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为4，且满足f(1＋x)＋f(1－x)＝8，则f(99)＝(　　)
A．0　　　 B．2 C．4　　　 D．8
(2)(2026·沈阳模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(－x)，则f(2 026)的值为(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－1
视角三　函数的对称性
例5 (1)(2026·盐城模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，(x6，y6)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝(　　)
A．－4 B．0
C．8 D．12
(2)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形．
学霸笔记：(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)．
(3)函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
跟踪训练　(1)已知f(x＋2)是偶函数，若方程f(x)＝m有且仅有两实根x1，x2，那么x1＋x2＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
(2)(2026·日照模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，其中m∈N*，则(xi+yi)＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
提示：请完成课时作业8
第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，A错误；对于B，f(x)＝x3－2x，f(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，故f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝x＋，f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，故f(x)为奇函数，故C正确；对于D，f(x)＝，f(－x)＝＝＝f(x)，且定义域关于原点对称，故f(x)为偶函数，故D错误．故选BC.
答案：BC
2．解析：奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．故选B.
答案：B
3．解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
答案：－1
4．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.
答案：－ex＋2x＋1
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：对于A，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，且定义域为R，f(x)＝1－<1符合；对于B，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，且定义域为(－1，1)，又f(－)＝ln 3>1，不符合；对于C，f(－x)＝|sin (－x)|＝|sin x|＝f(x)且定义域为R，不符合；对于D，f(－x)＝＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)＝＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，不符合．故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：对于A，f(x)＝，函数定义域为R，但f(－x)＝＝≠f(x)，则f(x)不是偶函数，故A错误；对于B，f(x)＝，函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f(x)不是偶函数，故C错误；对于D，f(x)＝，函数的定义域为R，因为f(－x)＝＝－≠f(x)，f(x)不是偶函数，故D错误．故选B.
答案：B
例2　解析：因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)·ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝x ln ，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，或，关于原点对称．f(－x)＝(－x)·ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ()－1＝x ln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：因为函数f(x)的定义域为R且f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)＝是奇函数且f(0)＝0，即f(0)＝＝0，所以b＝1，又f(1)＋f(－1)＝0，所以＝0，所以a＝2，经检验a＝2，b＝1符合题意，即a＋b＝3.故选A.
答案：A
例3　解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)．又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．所以f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：因为x>0时，f(x)＝x－2x，当x<0时，则－x>0，f(－x)＝－x－2－x，因为f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝x＋2－x.故选B.
答案：B
视角二
例4　解析：(1)由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f(－)＝f()＝f()＝5－2×＝－.故选A.
(2)由f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(1)＝2，f(11)＝3，所以f(11)＝f(－1)＝3，则f(2)＝－f(－1)＝－3，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝f(2)－f(1)＝－5.
答案：(1)A　(2)－5
跟踪训练　解析：(1)对于f(1＋x)＋f(1－x)＝8，令x＝2，得f(3)＋f(－1)＝8，又定义在R上的函数f(x)的周期为4，所以f(3)＝f(－1)，所以f(3)＝f(－1)＝4，所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝4.故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，因为f(x＋2)＝f(－x)，令x＝0，所以f(2)＝f(0)＝0，则f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.故选C.
答案：(1)C　(2)C
视角三
例5　解析：(1)因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数图象的交点也关于直线x＝2对称，所以y＝|x－2|与f(x)图象的6个交点构成关于直线x＝2对称的三对对称点．故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D.
(2)证明：方法一　因为f(2－x)＝ln (2－x)－ln x＋a(2－x)＋b(1－x)3＝]＋2a＝－f(x)＋2a，即f(2－x)＋f(x)＝2a，
所以曲线y＝f(x)是关于点(1，a)成中心对称的图形．
方法二　f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，
设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点，
P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)．
因为P(m，n)在y＝f(x)图象上，故n＝ln ＋am＋b(m－1)3，
而f(2－m)＝ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3
＝－＋2a
＝－n＋2a，
所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，
由P的任意性可得y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)．
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练　解析：(1)若f(x＋2)是偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，可知函数f(x)关于直线x＝2对称，若方程f(x)＝m有且仅有两实根x1，x2，根据对称性可得x1＋x2＝4.故选C.
(2)因为函数f(x)满足f(－x)＝2－f(x)，即函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称，函数y＝等价于y＝1＋，所以函数y＝也关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对点都关于(0，1)对称，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝0＋×2＝m.故选B.
答案：(1)C　(2)B(共77张PPT)
第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性
新课标要求 真题分布
1.了解函数奇偶性的概念及其几何意义．
2．了解函数的周期性及其几何意义．
3．会依据函数的性质进行简单的应用． 2025年 全国Ⅰ卷T5，全国Ⅱ卷T10
2024年 新高考Ⅰ卷T18(2)
2023年 新高考Ⅰ卷T11，新高考Ⅱ卷T4
知识导图
【重要结论】
1．奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)若函数满足f(x)＝0或解析式可化简为f(x)＝0(x∈D)，其中定义域D是关于原点对称的非空数集，则函数既是奇函数又是偶函数．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．


答案：BC
2．(人教A版必修一P101复习参考题T9(1)改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m
B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m
C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m
D.函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m
答案：B
解析：奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．故选B.
3．(人教A版必修一P214习题T15改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝________．
－1
解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
4．(人教A版必修一P86习题T11改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________．
－ex＋2x＋1

答案：A

答案：B

答案：B
学霸笔记：根据函数的奇偶性求函数解析式中的参数的方法主要是利用函数的奇偶性建立关于f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的恒等式求解，也可利用特殊值求解(使用特殊值求解，所得的参数的值需要检验)．
答案：A
答案：B
解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)．又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．所以f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故选B.
学霸笔记：(1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：先将所求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
跟踪训练　(2026·南通模拟)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－2x，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．x＋2x B．x＋2－x
C．－x＋2－x D．－x－2－x
答案：B
解析：因为x>0时，f(x)＝x－2x，当x<0时，则－x>0，f(－x)＝－x－2－x，因为f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝x＋2－x.故选B.
答案：A
(2)(2026·昆明模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝________．
－5
解析：由f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(1)＝2，f(11)＝3，所以f(11)＝f(－1)＝3，则f(2)＝－f(－1)＝－3，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝f(2)－f(1)＝－5.
学霸笔记：求解函数的周期性问题，首先应根据题意求出函数的周期，利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上．
跟踪训练　(1)(2026·邢台模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为4，且满足f(1＋x)＋f(1－x)＝8，则f(99)＝(　　)
A．0　　　 B．2 C．4　　　 D．8
答案：C
解析：对于f(1＋x)＋f(1－x)＝8，令x＝2，得f(3)＋f(－1)＝8，又定义在R上的函数f(x)的周期为4，所以f(3)＝f(－1)，所以f(3)＝f(－1)＝4，所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝4.故选C.
(2)(2026·沈阳模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(－x)，则f(2 026)的值为(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－1
答案：C
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，因为f(x＋2)＝f(－x)，令x＝0，所以f(2)＝f(0)＝0，则f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.故选C.
视角三　函数的对称性
例5 (1)(2026·盐城模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，(x6，y6)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝(　　)
A．－4 B．0
C．8 D．12
答案：D
解析：因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数图象的交点也关于直线x＝2对称，所以y＝|x－2|与f(x)图象的6个交点构成关于直线x＝2对称的三对对称点．故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D.
所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上，
由P的任意性可得y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)．
跟踪训练　(1)已知f(x＋2)是偶函数，若方程f(x)＝m有且仅有两实根x1，x2，那么x1＋x2＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
答案：C
解析：若f(x＋2)是偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，可知函数f(x)关于直线x＝2对称，若方程f(x)＝m有且仅有两实根x1，x2，根据对称性可得x1＋x2＝4.故选C.
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案：B

答案：D
答案：B
解析：由f(x＋3)＝f(x－1)知f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，所以f(2 026)＝f(4×507－2)＝f(－2)＝9＋1＝10.故选B.

答案：C
解析：设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x的图象关于x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C.
答案：A
5．设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(　　)
A．28 B．33
C．38 D．43
答案：A
解析：由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2；又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42；又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28.故选A.
答案：C
7．(2026·衡水模拟)设函数f(x)是定义域为R的偶函数，且y＝f(x＋2)为奇函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝x－2，则f(2 025)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2 025
答案：A
解析：y＝f(x＋2)为奇函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)，又f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故f(x＋2)＝f(－x－2)，则有f(－x＋2)＝－f(－x－2)，即f(x＋2)＝－f(x－2)，也即f(x＋4)＝－f(x)，故f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，故8为函数f(x)的一个周期．f(2 025)＝f(8×253＋1)＝f(1)＝1－2＝－1.故选A.
答案：B
答案：ACD
不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，D正确．故选ACD.
10．(2026·深圳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期为2
B．函数f(x)的图象关于x＝2对称
C．函数f(x)的图象关于(1，0)对称
D．函数f(x)为奇函数
答案：BC
解析：对于A，f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，故A错误；对于B，因为y＝f(2－x)是偶函数，则有f(2－x)＝f(2＋x)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，故B正确；对于C，因为f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，所以函数f(x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；对于D，因为f(2－x)＝f(2＋x)，则f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故D错误．故选BC.
－2
2

(2)当m＝1时，求f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值.
(2)证明：函数g(x)＝x3＋3x2的对称中心为(－1，2)；
答案：D
－1 012
解析：因为f(1＋3x)＝f(1－3x)，令t＝3x，则f(1＋t)＝f(1－t)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)，因为函数f(2x＋4)的图象关于点(－2，0)对称，设g(x)＝f(2x＋4)，则g(x)＋g(－4－x)＝0，即f(2x＋4)＋f[2(－x－4)＋4]＝0，即f(2x＋4)＋f(－2x－4)＝0，令s＝2x＋4，则f(s)＋f(－s)＝0，故函数f(x)为奇函数，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
故函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(0)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－a，则f(0)＝20－a＝0，可得a＝1，即当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，所以f(1)＝2－1＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以 ＝2f(1)＋3f(2)＋4f(3)＋5f(4)＋…＋2 025f(2 024)＝2－4＋6－8＋…＋2 022－2 024＝(2－4)＋(6－8)＋(10－12)＋…＋(2 022－2 024)＝－2×506＝－1 012.

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