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第五节　幂函数与二次函数
新课标要求 真题分布
1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化情况，了解幂函数． 2．理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 近几年未单独考查
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
回归教材
1.(人教A版必修一P100复习参考题T5)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(x)＝(　　)
A.y＝()x B．y＝
C．y＝ D．y＝log2x
2．(人教A版必修一P91习题T1改编)关于函数y＝的说法正确的是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
3．(人教B版必修一P108练习B T5改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　)
A．[－6，2] B．[－6，1]
C．[0，2] D．[0，1]
4．(人教A版必修一P58复习参考题T6改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(－，0)
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　幂函数的图象与性质
例1 (多选)(2026·中山模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负数，则下列结论可能成立的是(　　)
A．a＋b<0，ab＝0 B．a＋b<0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．a＋b>0，ab>0
学霸笔记：幂函数y＝xα的图象与性质
由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考虑：
(1)α的正负．
当α＞0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时，曲线下凹；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凹．
跟踪训练　(2026·宜春模拟)已知幂函数f(x)过点(2，)，若f(a＋1)视角二　二次函数的最值(值域)
例2 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x)＝0有两个实数根x1，x2.
(1)若a＝1，c＝b＋，x1≠x2，求实数b的取值范围；
(2)若f(0)＝1，f(1)＝0，记f(x)在x∈[－1，1]时的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
学霸笔记：解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解．
(1)对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解．
(2)若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域．
跟踪训练　(1)若函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)＝________．
(2)函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值为________．
视角三　二次方程根的分布
例3 (1)若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是________．
(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，m的取值范围是________．
学霸笔记：(1)求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合做到“等价转化”．
(2)画图时注意二次函数四大因素——开口方向，对称轴，判别式，特殊点(特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点或某些函数值的正负)．
　跟踪训练　已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．
提示：请完成课时作业10
第五节　幂函数与二次函数
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：设f(x)＝xα，则2α＝＝，所以α＝－，所以f(x)＝.故选C.
答案：C
2．解析：函数f(x)＝的定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，函数f(x)＝是偶函数，排除BD；当x>0时，f(x)＝＝，此时函数在(0，＋∞)上是单调增函数，排除C.故选A.
答案：A
3．解析：函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].故选A.
答案：A
4．解析：由题意知即解得a>.故选C.
答案：C
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1 m2－m－2＝0 (m－2)(m＋1)＝0 m＝2或m＝－1.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当m＝2时，f(x)＝x3满足题意，当m＝－1时，f(x)＝x－3＝不符合题意，∴f(x)＝x3，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．∵f(a)＋f(b)的值为负数，∴f(a)＋f(b)＝a3＋b3<0 a3<(－b)3 a<－b a＋b<0.当a＝0，b<0时，ab＝0，故A可能成立；当a<0，b<0时，ab>0，故B可能成立；当a>0，b<0，|b|>|a|时，ab<0，故C可能成立．故选ABC.
答案：ABC
跟踪训练　解析：设幂函数f(x)＝xα，因为函数图象过点(2，)，则2α＝＝，解得α＝－，则f(x)＝＝，其定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以由f(a＋1)答案：()
视角二
例2　解析：(1)由已知x2＋bx＋b＋＝0有两个不等实根，得Δ＝b2－4(b＋)>0，解得b<－1或b>5，
即实数b的取值范围为(－∞，－1)
(2)由f(0)＝c＝1，可知f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(1)＝a＋b＋1＝0，故b＝－a－1，显然a≠0，
所以f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1＝a(x－)2－.
当a>0时，f(x)的图象是开口向上的抛物线，
当a≥1时，－1<≤1，则g(a)＝－；
当0当a<0时，f(x)的图象是开口向下的抛物线，
当－1≤a<0时，≤0，则g(a)＝f(1)＝0；
当a<－1时，>0，则g(a)＝f(－1)＝2a＋2.
综上，g(a)＝
跟踪训练　解析：(1)因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以其图象的对称轴为直线x＝1.当－21时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝
(2)函数y＝－x2＋2ax＋2开口方向向下，对称轴为x＝a，因为x∈[－1，3]，令y＝f(x)＝－x2＋2ax＋2，当a≤＝1时，ymin＝f(3)＝－7＋6a；当a>1时，ymin＝f(－1)＝1－2a.所以函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝
答案：(1)　(2)
视角三
例3　解析：(1)因为关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实根都小于1，
则即
解得m>，即m的取值范围为(，＋∞)．
(2)设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，问题转化为抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则解得－答案：(1)(，＋∞)　(2)(－，－)
跟踪训练　解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数f(x)＝ax2＋x＋2，若a>0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)<0，且f(1)<0，即2<0且a＋3<0，则a∈ ；若a<0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)>0，且f(1)>0，即2>0且a＋3>0，则－3答案：(－3，0)(共66张PPT)
第五节　幂函数与二次函数
新课标要求 真题分布
近几年未单独考查
知识导图
答案：C
答案：A
3．(人教B版必修一P108练习B T5改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　)
A．[－6，2] B．[－6，1]
C．[0，2] D．[0，1]
答案：A
解析：函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].故选A.
答案：C

答案：ABC
学霸笔记：幂函数y＝xα的图象与性质
由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考虑：
(1)α的正负．
当α＞0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时，曲线下凹；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凹．
(2)若f(0)＝1，f(1)＝0，记f(x)在x∈[－1，1]时的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
学霸笔记：解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解．
(1)对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解．
(2)若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域．
跟踪训练　(1)若函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)
＝______________________．

(2)函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值为______________．

视角三　二次方程根的分布
例3 (1)若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是_____________．
(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，m的取值范围是___________．
学霸笔记：(1)求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合做到“等价转化”．
(2)画图时注意二次函数四大因素——开口方向，对称轴，判别式，特殊点(特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点或某些函数值的正负)．
跟踪训练　已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．
(－3，0)
解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数f(x)＝ax2＋x＋2，若a>0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)<0，且f(1)<0，即2<0且a＋3<0，则a∈ ；若a<0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)>0，且f(1)>0，即2>0且a＋3>0，则－3答案：D
2．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　)
答案：B
解析：对于A，二次函数开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa与图中符合；对于B，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，不符合；对于C，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，符合；对于D，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，符合．故选B.
答案：C
4．若f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则m＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
答案：D
解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝－1时，f(x)＝x-1，y＝f(x＋1)＝(x＋1)-1，显然不符合题意．当m＝2时，f(x)＝x2，y＝f(x＋1)＝(x＋1)2的图象关于直线x＝－1对称，所以m＝2.故选D.
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
答案：D
解析：因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，函数取得最小值2，因为f(0)＝f(2)＝3，而函数闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以1≤m≤2.故选D.
6．(2026·宜昌模拟)已知函数f(x)＝x2－mx＋1与函数g(x)的图象关于直线x＝1对称．若g(x)在区间(－2，－1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，6] D．[8，＋∞)
答案：D
7．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
答案：C
答案：C
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－4a)，其大致图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．abc>0
B．4a＋2b＋c>0
C．若方程a(x＋1)(x－3)＝1有两个根x1，x2，且x1D．若方程|ax2＋bx＋c|＝m有四个根，则这四个根的和为4
答案：BCD
答案：BC
(－1，4)
12．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为___________．
(－4，－2)
13．(13分)(2026·宜春模拟)已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x5－3m在(0，＋∞)上单调递增，二次函数g(x)＝ax2＋2x＋c.
(1)求实数m的值．
(2)当c＝1时， x∈[1，2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方，求a的取值范围．




(2)若函数y的最小值大于3，求实数a的取值范围．

答案：A
解析：以下只分析函数f(x)＝|x2－ax|在x∈[0，1]上的图象及性质，分类讨论如下：
①当a≤0时，函数f(x)＝|x2－ax|＝x2－ax在区间[0，1]上单调递增，即g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)单调递减，g(a)min＝g(0)＝1；

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