资源简介

第一节　函数的概念及其表示
新课标要求 真题分布
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 近几年未单独考查
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．
回归教材
1.(多选)(人教A版必修一P72习题T2改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1
C．f(x)＝x2与g(x)＝()4
D．f(x)＝x2与g(x)＝
2．(人教A版必修一P72习题T1(4))函数y＝的定义域为____________．
3．(人教A版必修一P101复习参考题T7改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝________．
4．(人教A版必修一P69练习T3改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数的定义域
例1 (1)(2026·亳州模拟)函数f(x＋1)的定义域为[－2，2]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为(　　)
A．[0，2)∪(2，4] B.［－1，2)∪(2，3]
C．(，2)∪(2，4] D.(，2)∪(2，3]
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
学霸笔记：(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练　(1)函数y＝＋ln (2－x)的定义域为(　　)
A．[0，2) B．[0，2]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．
视角二　函数的解析式
例2 (1)已知函数f(x)满足f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　　)
A．－1(x≠0)
B．－1(x≠1)
C．－1(x≠0)
D．－1(x≠1)
(2)(2026·合肥模拟)已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，若x∈N*，则函数f(x)的解析式为________．
学霸笔记：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(4)赋值法：若已知抽象函数表达式，求解析式时常用赋值法．
跟踪训练　(1)已知一次函数y＝f(x)满足3f(1＋x)－2f(1－x)＝10x＋3，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)的定义域是一切非零实数，且满足3f(x)＋2f()＝4x，则f(x)的解析式为________________．
视角三　分段函数
例3 (1)(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝5－a，则实数a的值为(　　)
A．或2 B．或1
C．1 D．
(2)(2026·菏泽模拟)设函数f(x)＝若f(f(a))≤－1，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2，1]
B．[－1，0]
C．[－2，－1]
D．[0，1]
学霸笔记：(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域．
(2)求解与分段函数有关的不等式问题，应在定义域的限制之下，结合函数解析式分别解不等式，最后取各不等式的并集．
跟踪训练　(1)(2026·福州模拟)已知函数f(x)＝则f(2 025)＝(　　)
A．－1　　 B．0 C．　　　D．1
(2)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则m＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
提示：请完成课时作业6
第一节　函数的概念及其表示
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故A正确；对于B，f(x)＝x－1的定义域为R，g(x)＝－1的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误；对于C，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误；对于D，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝＝x2的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故D正确．故选AD.
答案：AD
2．解析：由题意得解得x≤4且x≠1，即函数y＝的定义域为(－∞，1)
答案：(－∞，1)
3．解析：由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26.
答案：26
4．解析：由－x＋1≤(x－1)2得x2－x≥0，解得x≥1或x≤0.又m(x)＝min{f(x)，g(x)}，
所以m(x)＝
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)由于f(x＋1)的定义域为[－2，2]，故x∈[－2，2]，所以x＋1∈[－1，3]，因此g(x)＝的定义域满足解得(2)由题意可知，函数f(x)＝的定义域为R，所以不等式mx2＋2mx＋4>0在R上恒成立．当m＝0时，4>0在R上恒成立，当m≠0时，则满足解得0答案：(1)C　(2)[0，4)
跟踪训练　解析：(1)由解得0≤x<2，所以函数y＝＋ln (2－x)的定义域为[0，2)．故选A.
(2)由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)．
答案：(1)A　(2)[1，7)
视角二
例2　解析：(1)令t＝1－x，则x＝1－t，因为x≠0，所以t≠1，则f(t)＝＝－1(t≠1)，故f(x)＝－1(x≠1)．故选B.
(2)因为3f(x)－f(2－x)＝4x　①，以2－x代替x得3f(2－x)－f(x)＝4(2－x)　②，②＋①×3得8f(x)＝8＋8x，所以f(x)＝1＋x.
(3)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，取y＝1，得f(x＋1)－f(x)＝2x，所以f(x)－f(x－1)＝2(x－1)，f(x－1)－f(x－2)＝2(x－2)，…，f(2)－f(1)＝2，以上各式相加得f(x)＝x2－x＋2.
答案：(1)B　(2)x＋1　(3)f(x)＝x2－x＋2
跟踪训练　解析：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由3f(1＋x)－2f(1－x)＝10x＋3，即3[k(x＋1)＋b]－2[k(1－x)＋b]＝10x＋3，即(5k－10)x＋k＋b－3＝0，即解得所以f(x)＝2x＋1.
(2)由3f(x)＋2f()＝4x用代替x得3f()＋2f(x)＝4·，联立两式解得f(x)＝(x≠0)．
答案：(1)2x＋1　(2)f(x)＝(x≠0)
视角三
例3　解析：(1)当a>1时，因为f(a)＝5－a，得到2a＋2＝5－a 2a＋a＝3，解得a＝1，又因为y＝2x＋x在区间R上单调递增，只有这一个根，又因为a>1，故将a＝1舍去；当a≤1时，由f(a)＝5－a，得到4a＋3＝5－a 5a＝2，解得a＝.综上，实数a的值为.故选D.
(2)令t＝f(a)，则f(t)≤－1，当t<0时，可得－t－2≤－1，解得t≥－1，又t<0，所以－1≤t<0，当t≥0时，可得t2－1≤－1，解得t＝0，所以－1≤t≤0，所以－1≤f(a)≤0，当a<0时，得－1≤－a－2≤0，解得－2≤a≤－1，满足a<0，当a≥0时，得－1≤a2－1≤0，所以0≤a2≤1，又a≥0，所以0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，－1]故选C.
答案：(1)D　(2)C
跟踪训练　解析：(1)由题设f(2 025)＝f(－3＋507×4)＝f(－3)＝cos (－3×)＝cos (－2π)＝1.故选D.
(2)由题意可知m>0，当01，所以由f(m)＝f(m＋1)得＝3m m＝；当m≥1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得3(m－1)＝3m，无解．综上，m＝.故选C.
答案：(1)D　(2)C(共61张PPT)
第一节　函数的概念及其表示
新课标要求 真题分布
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 近几年未单独考查
知识导图
【重要结论】
直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．
答案：AD
26
解析：由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26.
4．(人教A版必修一P69练习T3改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，
则m(x)＝_______________________________．

答案：C
[0，4)
学霸笔记：(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．

答案：A
(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．
[1，7)
解析：由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)．

答案：B
(2)(2026·合肥模拟)已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝________．
x＋1
解析：因为3f(x)－f(2－x)＝4x　①，以2－x代替x得3f(2－x)－f(x)＝4(2－x)　②，②＋①×3得8f(x)＝8＋8x，所以f(x)＝1＋x.
(3)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，若x∈N*，则函数f(x)的解析式为______________．
f(x)＝x2－x＋2
解析：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，取y＝1，得f(x＋1)－f(x)＝2x，所以f(x)－f(x－1)＝2(x－1)，f(x－1)－f(x－2)＝2(x－2)，…，f(2)－f(1)＝2，以上各式相加得f(x)＝x2－x＋2.
跟踪训练　(1)已知一次函数y＝f(x)满足3f(1＋x)－2f(1－x)＝10x＋3，则f(x)＝________.
2x＋1
答案：D
答案：C
学霸笔记：(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域．
(2)求解与分段函数有关的不等式问题，应在定义域的限制之下，结合函数解析式分别解不等式，最后取各不等式的并集．
答案：D

答案：C
1．已知函数f(x)＝x2的定义域A R，值域B＝{9}，则满足条件的A有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
解析：令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的A有{3}，{－3}，{－3，3}，共3个．故选C.

答案：B
答案：D
4．已知函数f(x)＝x(x2－2)＋1，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．0 D．3
答案：D
解析：由题意知f(a)＝a(a2－2)＋1＝－1，所以a(a2－2)＝－2，所以f(－a)＝－a(a2－2)＋1＝2＋1＝3.故选D.

答案：D
6．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，
则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的(　　)
答案：A
答案：C
解析：因为a>0，故f(－a)＝a2＋1，而当a≥2时，有f(a)＝log2(a＋3)，故log2(a＋3)＋a2＋1＝29，故log2(a＋3)＋a2＝28，而g(a)＝log2(a＋3)＋a2在[2，＋∞)为增函数，且g(5)＝28，故a＝5，若0答案：C
解析：由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解，此时进行分类讨论．①当a－1＝0，即a＝1时，－1＝0不成立，分母不为零，所以a＝1符合题意；②当a－1≠0，即a≠1时，应满足Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3答案：BCD
10．已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)＝xf(y)，则f(x)的解析式可以为(　　)
A．f(x)＝0 B．f(x)＝x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2
答案：ABC
(－1，1)
解析：若m<1时，m2<1，解得－1

(2)求f(f(1))的值；
(3)若f(m)＝m，求实数m的值．

答案：D
{x|x≥100}

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