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微专题2　嵌套函数的零点问题
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
对于嵌套型复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
视角一　内外自复合型f(f(x))
例1 (1)(2026·焦作模拟)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝的解的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))有8个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>1 B．a<0
C．－1跟踪训练　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(－∞，0)
C．[1，＋∞) D．(0，1)
视角二　内外双函数复合型f(g(x))
例2 (2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝x2－ax＋2，若y＝g(f(x))有6个零点，则a的取值范围为________．
跟踪训练　设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，0)
C．(－1，1) D．(0，1)
视角三　二次型因式分解型a[f(x)]2＋bf(x)＋c
例3 (1)(2026·十堰模拟)若函数f(x)＝关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋2＝0的根的个数为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－kf(x)＋1＝0恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为________．
跟踪训练　(2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程a[f(x)]2－(3a＋1)f(x)＋3＝0有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，1]
C．[，1) D．[1，＋∞)
提示：请完成微专题2
微专题2　嵌套函数的零点问题
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)＝t，则方程f(f(x))＝即f(t)＝，由图象可知，y＝与y＝f(x)有三个交点，横坐标分别为t1，t2，t3(t11，方程f(f(x))＝解的个数转化为方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3解的个数之和，由图象可知，y＝t1与y＝f(x)有一个交点，y＝t2与y＝f(x)有三个交点，y＝t3与y＝f(x)没有交点，所以方程f(f(x))＝解的个数为1＋3＝4.故选B.
解析：(2)当a≥0，x≤0时，f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a≥0，所以f(x)在(－∞，0)单调递增，函数图象如下：
令f(x)＝t，y＝f(f(x))＝f(t)＝0，解得t＝0或t＝1，即f(x)＝t＝0或f(x)＝t＝1，根据图象f(x)＝t＝0有2个解，f(x)＝t＝1有1个解，所以此时y＝f(f(x))有3个零点，不符合题意；当a<0，x≤0时，f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a<0，所以f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数图象如下：
令f(x)＝t，y＝f(f(x))＝f(t)＝0，解得t＝2a或t＝0或t＝1，根据图象f(x)＝t＝2a<0有2个解，f(x)＝t＝0有3个解，又y＝f(f(x))有8个零点，所以f(x)＝t＝1要有3个解，即解得a<－1.故选D.
答案：(1)B　
答案：(2)D
跟踪训练　解析：令u＝f(x)，则f(u)＝0.①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意．②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1，当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上有且仅有一个实数根，若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故a≥1；若a<0且x≤0，f(x)＝a·2x<0，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选C.
答案：C
视角二
例2　解析：由题可得函数y＝f(x)图象，当k＝0或2答案：(2)
跟踪训练　解析：g(x)＝2|x|是偶函数且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，设m＝g(x)∈[1，＋∞)，f(g(x))＝t即f(m)＝t，方程f(g(x))＝t有四个实数根，必须m＝g(x)有两个不等实根，且f(m)＝t有两个不等实根，即f(m)＝t，m∈(1，＋∞)有两个不等实根，f(x)＝x2－4x＋3在(1，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，f(1)＝f(3)＝0，f(2)＝－1，要有两个不等实根，必须t∈(－1，0)．故选B.
答案：B
视角三
例3　解析：(1)由[f(x)]2－3f(x)＋2＝0得[f(x)－1][f(x)－2]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝2，画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点(图中只显示了6个交点，当x>2或x<－2时，y＝2和y＝1与图象还有4个交点)．故选D.
解析：(2)作出f(x)的图象，如图所示，令t＝f(x)，则原方程即为t2－kt＋1＝0，记方程t2－kt＋1＝0的两根为t1，t2，可知t1t2＝1，t1＋t2＝k，①当Δ＝k2－4＝0时，k＝±2，当k＝2时，t1＝t2＝1，此时方程f(x)＝1恰有两个不同的实数根，满足题意；当k＝－2时，t1＝t2＝－1，此时方程f(x)＝－1仅有一个实数根，不满足题意．②当Δ＝k2－4>0时，k>2或k<－2，此时t1≠t2，不妨设t12时，0答案：(1)D　 (2)(－∞，－2)
跟踪训练　解析：函数f(x)＝的简图如图．由－(3a＋1)f(x)＋3＝0，得[af(x)－1][f(x)－3]＝0.当a＝0时，f(x)＝3.如图所示，函数y＝f(x)图象与直线y＝3有3个交点，说明此时方程有3个不相等的实数根，不符合题意．所以a不等于0，所以f(x)＝或f(x)＝3.因为关于x的方程a[f(x)]2－(3a＋1)f(x)＋3＝0有7个不相等的实数根，方程f(x)＝3有3个不相等的实数根，所以方程f(x)＝有4个不相等的实数根，即函数y＝f(x)图象与直线y＝有4个不同的交点．结合函数y＝f(x)的简图，可得1<≤2，所以≤a<1.所以实数a的取值范围是[，1)．故选C.
答案：C(共48张PPT)
微专题2　嵌套函数的零点问题
对于嵌套型复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
答案：B　
答案：D
解析：当a≥0，x≤0时，f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a≥0，所以f(x)在(－∞，0)单调递增，函数图象如下：
令f(x)＝t，y＝f(f(x))＝f(t)＝0，解得t＝0或t＝1，即f(x)＝t＝0或f(x)＝t＝1，根据图象f(x)＝t＝0有2个解，f(x)＝t＝1有1个解，所以此时y＝f(f(x))有3个零点，不符合题意；当a<0，x≤0时，f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a<0，所以f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数图象如下：
答案：C
解析：令u＝f(x)，则f(u)＝0.①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意．②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.
所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1，当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上有且仅有一个实数根，若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故a≥1；若a<0且x≤0，f(x)＝a·2x<0，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选C.
解析：由题可得函数y＝f(x)图象，当k＝0或2跟踪训练　设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，0)
C．(－1，1) D．(0，1)
答案：B
解析：g(x)＝2|x|是偶函数且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，设m＝g(x)∈[1，＋∞)，f(g(x))＝t即f(m)＝t，方程f(g(x))＝t有四个实数根，必须m＝g(x)有两个不等实根，且f(m)＝t有两个不等实根，即f(m)＝t，m∈(1，＋∞)有两个不等实根，f(x)＝x2－4x＋3在(1，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，f(1)＝f(3)＝0，f(2)＝－1，要有两个不等实根，必须t∈(－1，0)．故选B.
答案：D　
解析：由[f(x)]2－3f(x)＋2＝0得[f(x)－1][f(x)－2]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝2，画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点(图中只显示了6个交点，当x>2或x<－2时，y＝2和y＝1与图象还有4个交点)．故选D.
解析：作出f(x)的图象，如图所示，令t＝f(x)，则原方程即为t2－kt＋1＝0，记方程t2－kt＋1＝0的两根为t1，t2，可知t1t2＝1，t1＋t2＝k，①当Δ＝k2－4＝0时，k＝±2，当k＝2时，t1＝t2＝1，此时方程f(x)＝1恰有两个不同的实数根，满足题意；
答案：C
答案：C
答案：A
解析：求函数g(x)＝f(f(x)－1)－2的零点个数，即求方程f(f(x)－1)＝2的不同实数根的个数，如图，作出函数y＝f(x)的大致图象，令t＝f(x)－1，则f(t)＝2，解得t1＝－2，t2＝0，t3＝log35.当t1＝－2时，f(x)－1＝－2，则f(x)＝－1，此时方程无解；
当t2＝0时，f(x)－1＝0，则f(x)＝1，此时方程有3个不同实数根；当t3＝log35时，f(x)－1＝log35，则f(x)＝1＋log35，此时方程有2个不同实数根．综上可知，函数g(x)＝f(f(x)－1)－2的零点个数为5.故选A.

答案：B
答案：D
答案：D
答案：B
解析：由函数g(x)＝[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m恰有5个零点，得方程[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m＝0有5个根，在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象．
答案：BC
答案：{－1，1，4}
9．(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)＝|2x－3|，若关于x的方程[f(x)]2－2mf(x)＋3＝0有4个不同的实数根，则m的取值范围是________．

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