资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
一轮复习09
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 3
题型一：直接变形同构 3
题型二：加法同构 7
题型三：乘法同构 10
题型四：双元同构 13
题型五：朗博同构 15
题型六：利用同构比较大小 19
题型七：利用同构证明不等式 21
题型八：利用同构解决恒成立问题 26
题型九：利用同构解决零点之间的关系 28
重难专题分层过关练 33
巩固过关 33
创新提升 41
1、同构法：
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
2、指对同构的常用形式
(1)积型：，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：，构造函数；
②同右构造形式：，构造函数；
③取对构造形式：，构造函数
(2)商型：一般有三种同构方式：
①同左构造形式：构造函数；
②同右构造形式：构造函数；
③取对构造形式：，构造函数.
(3)和、差型：，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：，构造函数；
②同右构造形式：，构造函数.
3、六大超越函数及其图象
4、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：直接变形同构
典例1-1．（多选）已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由题意可得，
则由，得.
对于A：设，，
则在区间上，，为增函数，
所以由题意可得，所以，故A正确；
对于B：由，得,故B错误；
对于C：由A可知在区间上为增函数，
且，则，即,
则,
由,得,
令,则,
所以在上单调递增,
所以,
所以,故C错误；
对于D：又,
令,
则,
所以在上单调递增,所以，
所以,
又，且,
令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
综上可得，故D正确；
故选:AD.
【点睛】关键点睛：
本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得.
典例1-2．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题知，
所以，
所以
令，则，
因为，恒成立，
所以，在上单调递减，
所以，，即
因为，
所以，即
故选：C
变式1-1．，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将不等式变形可得，
即，
构造函数，可得，
令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当当时，，即在上单调递增，
所以，即，所以函数在上单调递增，
利用单调性并根据可得，则有，
又，即可得，即对恒成立，因此即可，
令，，则，
显然当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，因此正实数的最大值是.
故选：A.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
变式1-2．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的定义域为，所以，..
，，则，
又因为，所以，
令，则，
，当时，，递增，
所以，则，
，，
所以在区间递减；在区间递增，
所以的最小值为，即B选项正确.
故选：B
【点睛】含参数的多变量的题目，结合方法是建立变量、参数之间的关系式，主要方法是观察法，根据已知条件的结构来进行求解.
题型二：加法同构
典例2-1．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.
典例2-2．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
当时，，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故恒成立，不等式成立，
当时，令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
由零点存在性定理得，存在，使得，即，
此时，
故不合题意，舍去，
综上，，实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
变式2-1．已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】.
令，则易知在上单调递增，，
令，问题转化为求 在的最小值.
因为，当时，（当且仅当时取“”）.
所以在上单调递增，.
所以的最大值为.
故选：A
【点睛】方法点睛：先把原不等式转化为，设辅助函数，则问题转化为，在考虑函数在上单调递增，所以可得：，至此，达到分离参数的目的.
变式2-2．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，所以在上单调递增，
又对任意的恒成立，，
所以对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，即的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式同构成对任意的恒成立，结合函数的单调性转化为对任意的恒成立.
题型三：乘法同构
典例3-1．若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设，，即，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，此时，则，不合题设，
故，所以，
而在上单调递增，则，
问题化为，在上恒成立，
令且，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，故.
故选：D
典例3-2．对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由恒成立可得，即恒成立，
由，可得恒成立，
令，则，
由知，函数单调递增，
所以恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以只需，即.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于转化为后，能够两边同乘以，同构出函数，再由单调性化简为恒成立.
变式3-1．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若，则对任意，，，，
所以对任意，不等式恒成立，
若，则，
不等式可化为，
故，即，
由已知在恒成立，
令，，则，恒成立，
因为时，，
所以函数在上单调递增，又，，
所以恒成立，其中，，
即恒成立．
令，，
所以在上单调递增，则，
所以．
综上可得，
故选：B．
变式3-2．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在上恒成立，
又，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
当时，由于，则，
此时，，满足在上恒成立；
当时，由于，则，
要使在上恒成立，
则需在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，则，又，所以
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将不等式同构成，再构造函数，结合函数的单调性说明.
题型四：双元同构
典例4-1．若对都有成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．2e
【答案】B
【详解】由，得，
则，即，
有，令，
所以，令，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以当时，，
所以，故a的取大值为2.
故选：B.
典例4-2．已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】正数、满足，
所以，即，因为，所以，
利用对数恒等式有，
令，，因为恒成立.
所以函数在上单调递增，
所以，即，则，
构造函数，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
故当时，有最小值即，
所以的最小值为.
故选：D.
变式4-1．对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于任意，，当时，恒有成立，
即成立，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴在恒成立，∴在恒成立，
∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，导数和函数的单调性的关系，函数恒成立问题，将题意转化为在单调递减是解题的关键，属于中档题.
变式4-2．（多选）是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】构造函数.则，
当时，；
时， .
即在上单调递减，在上单调递增.
又由题.
A选项，取，则，因在上单调递增，
则满足题意，但此时，故A错误；
B选项，若，，则，又由题可知，
且在上单调递增，则，故B正确；
C选项，若，当时，，满足题意；
当时，构造函数，注意到当时，
，又，则.
又因，则.因，在上单调递增，
则.综上，若，则，故C正确；
D选项，取，则，又在上单调递减，
则满足题意，但此时，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题.
题型五：朗博同构
典例5-1．已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，对任意的，，即，即，
因为，故，故，
令，其中，则，
由可得，由可得，所以，
由题意可得恒成立，
当时，显然该不等式成立，此时，；
当时，则，令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
当时，则，令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则.
综上所述，，即实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
典例5-2．函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：的定义域为，，
且，
若在定义域内是增函数，则在定义域上恒成立，
可得，
构建，则，
因为在定义域上单调递增，
可知在定义域上单调递增，可得，即，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
可得，所以实数a的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
变式5-1．已知对于，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不等式可转化为
因为，所以
设，则，在上单调递增，
又，所以
又，所以对恒成立，即
令，则由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以则
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
变式5-2．若不等式对任意的恒成立，则实数m的最大值为 .
【答案】/
【详解】因为，则，整理得，
令，可得，即，
令，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则，且，
可知有且仅有两个零点，
若，则或，
对于可知，当x趋近于时，趋近于0，故不合题意；
所以，即，整理得对任意的恒成立，
令，则，
且，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得，结合解得，
所以实数m的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得，把看成整体处理求其取值范围；
第二步根据题意分析可得，整理得对任意的恒成立，结合恒成立问题分析求解.
题型六：利用同构比较大小
典例6-1．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
典例6-2．已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
构造函数，其导函数，
令，解得：，列表得：
+ 0 -
极大值
所以在上单增.
因为，所以，即
故选:D.
变式6-1．已知，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.
变式6-2．已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 .
【答案】
【详解】设，则，时，，单调递减，
所以，即，，
设，则，时，，单调递减，
因此，即，，
综上，，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：在比较复杂的指数、对数或其它一些值的大小时，如果不能直接利用已知指数函数、对数函数、三角函数等的单调性比较时，可观察已知数值的形式，想象通过一些函数使用它们之间具有相似的性质，如本题中，通过函数联系，骑过函数联系．
题型七：利用同构证明不等式
典例7-1．设，，证明：；
【答案】证明见解析
【详解】证明：令，
则，
则恒成立，所以在上单调递增，
又，
所以存在使得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以即.
典例7-2．已知函数.
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
而，则，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）由，，
则，
当时，，
则函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：由题意，，
要证，即证，
即证，
由，只需证：.
不妨设，则有：；
两边取指数得，化简得，
设，，则，
而，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
要使且，则，从而，
要证，只需证：，
由于在上单调递增，只需证：，
又，只需证：，
只需证：，即证，
设，则，
设，，则，
则在上单调递增，所以，
从而，所以在上单调递减，
从而，则，
所以.
变式7-1．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两根，求a的取值范围；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意有．
当时，，在单调递减；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减．
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故．
因为当时，在单调递减，在单调递增，
又因为，，且，，
故要使方程有两根，则，
即，得，故a的取值范围为．
（3）法一：要证，即，
令，则只需证，当时，，上式显然成立；
现证当时上式成立：
由（1）知，，取，即得，
取，即可得，即得证．
法二：要证，即，
令，则只需证，令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
由（1）知，，则，
故，即，得证，
变式7-2．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析.
【详解】（1）由函数可得
令，解得或.
当时，；当时，；
当时，.
故在和上单调递减，在上单调递增.
（2）=
当时，，
要证，即证>.
设则
当时，则在上单调递增，
因为
当时，，，
故只需证明.
令，
则
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，
则在上成立，
故，即成立.
题型八：利用同构解决恒成立问题
典例8-1．若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知：，，
即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
又，所以，其中，
令，则，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，即，故实数的最小值为．
故选：A
典例8-2．已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
设，则，
故，即，
令，则，
当时，，在单调递增；
当，，在单调递减.
所以，所以，
令，则，
当，，在单调递增；
当，，在单调递减.
故，所以.
由题意可知若，则，故，，
此时且，解得，故.
故选：A.
变式8-1．（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．e
【答案】AB
【详解】由可得，
进而得，
记，,由于函数为上的单调递增函数，
由可得，
因此，即在恒成立。
因此，故AB均符合，CD不符合，
故选：AB
变式8-2．已知函数.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】不等式，
求导得，令，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
则，
当时，，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，，令，
求导得，令，
求导得，当时，，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，此时，使得，
当时，，则在上单调递减，，不符题意，
所以.
题型九：利用同构解决零点之间的关系
典例9-1．已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；理由见解析
【详解】（1）由题意可得，．
①若，在上恒成立，在上单调递增，
即无最小值；
②若，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以在处取得最小值，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
又与有相同的最小值，
所以，，
设，，则，
令，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以在处取得最小值，则当时，恒成立，单调递增．
又，所以．
（2）由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，
所以和的图象在上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，
由函数的单调性及图象可得存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
当直线与曲线和共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为，且，
则，
因为，，
所以，
由图象可知无解，
所以，，所以，，
则，，
上述两式相减得，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论.
变式9-1．已知函数和有相同的最小值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），令得，
，令得.
当时，在单调递减，在单调递增，所以
在单调递减，在单调递增，所以，
由，得.
当时，在单调递增，在单调递减，无最小值，不合题意.
综上所述，.
（2）由（1）知，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，则直线与、最多有4个交点.

当时，令，则在上单调递增，当时，，，则在上有唯一的零点，即存在，使得，
取满足题意，使得直线与、恰有三个交点，
分别记为，，，不妨设，由得，即.
要证，即证，
而，即.
由得，即，
又，，，而在单调，所以.
又由得，即，
又，，而在单调，所以.
由，得，原命题得证.
【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由确定一个交点，其次通过和找到交点横坐标之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
变式9-2．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，当时，，
设，则，
由可得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的极大值为，无极小值；
（2）由可得，即.
设，则.
由可得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
∴有极大值，当时，，当时，.
要使有两个零点，，需有，即.
∵，由比例的性质可得，
即，故，
设，由可得，
设函数，则，
设，则，
∴在上单调递增，故，故，
∴在上单调递增，故，
∴，故，故，即.
【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.
巩固过关
1．已知．且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，即在上单调递减，
∴，即，
设，则，
即在上单调递增，
又∵，∴.
故选：.
2．（多选）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AB
【详解】依题意，在上恒成立，当时，，
令，则，，
故当时，，当时，，
故，故，则不等式成立；
当时，令，因为，
，故在内必有零点，设为，则，
则，故，不合题意，舍去；
综上所述，.
故选：AB.
【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；
适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.
3．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-e B．-1 C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，而，
故，又在定义域上单调递增，则，
于是．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
故选：C.
4．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，显然，由，
即，即，
设，，则，
而，则函数在上单调递减，所以，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
又，所以a的取值范围是.
故选：B.
5．已知函数（），若函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围
【答案】
【详解】由题意可得在区间内有解，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以即当等号成立，
所以，即，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，且当时，当时，
所以.
故答案为：.
6．若实数λ∈R，不等式>ln x在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 .
【答案】.
【详解】原不等式等价于，
设，则，
又，所以在上单调递增，
则，即，
令，所以，
当，，函数在上单调递增，
当，，函数在上单调递减，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
7．三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，，
时，，
在上单调递减，
又，，且
,
．
故选：A
8．已知实数 满足，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】 由题意可得，
设，则，
故，即，
令，则，
当时，，在单调递增；
当，，在单调递减.
所以，，
令，则，
当，，在单调递减；
当，，在单调递增.
故，.
由题意可知若，则，故，，
此时且，解得，故.
故选：A.
【点睛】 方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.
9．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，则，
令，则，
则，令，解得，
故当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
故，
故在上单调递增，故只需，即，
令，则，
故当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
故，则，即，
故选：C.
10．（多选）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
11．已知关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由题意，易知，
而，
令，则，
故在上单调递增，
由，则在上恒成立，
记，则在上恒成立，即，
因为，所以当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，即，解得，
所以的取值范围是.
12．已知函数，
(1)试讨论在上的单调性
(2)若，求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），因为，
所以：当时，，则在上单调递增；
当时，由得
若，即，当时，，则，
所以在上单调递减；
若，即，当，，单调递增；
，，单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当，在上单调递减；
当，在单调递增；在单调递减；
（2）当时，，
要证，即证，
又，且即证，
设，
，
再设，
，且，
，使，即使，
当，，当，，且，
则，即，
，
，即.
创新提升
1．，，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，不等式，可化为，
又，所以可化为.
当时，不等式恒成立，，
当时，
设，对求导，可得，
这表明在上单调递增.
由，即，
因为在上单调递增，
所以，由已知对恒成立.
设，对求导，可得.
令，即，则，解得.
当时，，，所以，单调递增；
当时，，，所以，单调递减.
所以在处取得最大值，.
因为对恒成立，所以，解得.
故选：A.
2．，，恒成立，则最小值为 ．
【答案】
【详解】由，可得，
因为，则，可得，故，故，
构造函数，其中，
则对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，
由可得，故，
令，其中，
则，当且仅当时，等号成立，
因为，则，故对任意的时，恒成立，
此时函数在上为减函数，此时，合乎题意.
综上所述，整数的最小值为.
故答案为：.
3．已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
当时，， ，，故.
∴在上单调递减，
∴当时， .
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题.
4．已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由已知，
即，
又，
即，
令，
则，
又函数是R上的增函数，
所以，即，
因此，
所以，
令，
则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，，
又因为当时，；当时，；当时，，
所以的值域为
即的取值范围为
故答案为：
5．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）不等式等价于，
即，
设（），则，所以在上单调递增，
由，得，
则，即在上恒成立，
设，则，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即实数的取值范围为；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一轮复习09
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 3
题型一：直接变形同构 3
题型二：加法同构 4
题型三：乘法同构 4
题型四：双元同构 5
题型五：朗博同构 5
题型六：利用同构比较大小 5
题型七：利用同构证明不等式 6
题型八：利用同构解决恒成立问题 7
题型九：利用同构解决零点之间的关系 8
重难专题分层过关练 9
巩固过关 9
创新提升 10
1、同构法：
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
2、指对同构的常用形式
(1)积型：，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：，构造函数；
②同右构造形式：，构造函数；
③取对构造形式：，构造函数
(2)商型：一般有三种同构方式：
①同左构造形式：构造函数；
②同右构造形式：构造函数；
③取对构造形式：，构造函数.
(3)和、差型：，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：，构造函数；
②同右构造形式：，构造函数.
3、六大超越函数及其图象
4、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：直接变形同构
典例1-1．（多选）已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
典例1-2．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）．
A． B． C． D．
变式1-2．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：加法同构
典例2-1．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
典例2-2．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
变式2-2．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：乘法同构
典例3-1．若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
典例3-2．对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：双元同构
典例4-1．若对都有成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．2e
典例4-2．已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式4-1．对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是
A． B． C． D．
变式4-2．（多选）是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
题型五：朗博同构
典例5-1．已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
典例5-2．函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．已知对于，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．若不等式对任意的恒成立，则实数m的最大值为 .
题型六：利用同构比较大小
典例6-1．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
典例6-2．已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-1．已知，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式6-2．已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 .
题型七：利用同构证明不等式
典例7-1．设，，证明：；
典例7-2．已知函数.
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设是两个不相等的正数，且，证明：.
变式7-1．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两根，求a的取值范围；
(3)证明：当时，．
变式7-2．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
题型八：利用同构解决恒成立问题
典例8-1．若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例8-2．已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．e
变式8-2．已知函数.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
题型九：利用同构解决零点之间的关系
典例9-1．已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．
变式9-1．已知函数和有相同的最小值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式9-2．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：.
巩固过关
1．已知．且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
3．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-e B．-1 C． D．
4．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（），若函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围
6．若实数λ∈R，不等式>ln x在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 .
7．三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数 满足，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
9．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
12．已知函数，
(1)试讨论在上的单调性
(2)若，求证：
创新提升
1．，，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．，，恒成立，则最小值为 ．
3．已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为 .
5．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑