资源简介

1.1.2　空间向量的数量积运算
[学习目标]　1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点)2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点)
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
一、空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉=，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.
(2)运算律
①(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R.
②交换律：a·b=b·a.
③分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.
例1　已知空间向量|a|=，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-，则a在b上的投影向量为(　　)
A.-b B.b
C.b D.-b
答案　D
解析　a在b上的投影向量为
|a|cos〈a，b〉·=×·
=-·=-b.
例2　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.
延伸探究1　与的夹角等于(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
答案　D
解析　〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°.
延伸探究2　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；②·；
③·；④·.
解　①·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 60°=.
②·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 0°=.
③·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 120°=-.
④·=+)·+)
=·(-)+·(-)+·+·]
=[-·-·+(-)·+·]
=×=-.
延伸探究3　记=a，=b，=c.若=2a-2b，=b-c，则·=　　　　.
答案　-1
解析　由题意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=，
同理b·c=c·a=，
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
反思感悟　(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
二、空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a，b同向时，a·b=；
当a，b反向时，a·b=-.
(4)a·a=|a|2或|a|=.
(5)|a·b|≤.
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
例3　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： ①·； ②AC'的长(精确到0.1). 解　①·=||||cos〈，〉=5×3×cos 60°=7.5. ②||2=(++)2 =||2+||2+||2+2(·+·+·) =52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56， 所以AC'≈13.3. (2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 证明　如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g. 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn. 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 l·g=xl·m+yl·n. 因为l·m=0，l·n=0， 所以l·g=0. 所以l⊥g. 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
例3　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c.
延伸探究1　|a-b+2c|等于(　　)
A.5 B.6
C. D.
答案　C
解析　由题意，得a·b=b·c=a·c=，
a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|=
=
==.
延伸探究2　若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
解　=++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=，
所以||=，即E，G间的距离为.
延伸探究3　在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
解　由延伸探究2知，=-a+b+c，
||=，
又=-=c-a，
所以·=(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×=，
又||=1，
则cos〈·〉===.
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为.
延伸探究4　证明：异面直线AB与CD垂直.
证明　=-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥，所以AB⊥CD.
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量.
(2)空间向量数量积的性质及运算律.
(3)空间向量的垂直.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.
1.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
B.(a·b)c=a(b·c)
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.λa·b=λ(a·b)
答案　CD
解析　选项A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时⊥，故A说法错误；
选项B，(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故B说法错误；
选项C，向量的数量积满足乘法分配律，所以a·(b+c)=a·b+a·c，故C说法正确；
选项D，由数量积运算的数乘结合律可得λa·b=λ(a·b)，故D说法正确.
2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为(　　)
A.7 B.-20 C.28 D.11
答案　C
解析　因为向量i，j，k是一组单位向量，
且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.
因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k，
所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)
=40|j|2-12|k|2=40-12=28.
3.在正三棱锥P-ABC中，·=||||，E，F分别是PA，PB的中点，则〈，〉等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由·=||||cos〈，〉=||||，
所以cos〈，〉=，由于〈，〉∈，所以〈，〉=，
在正三棱锥中，PA=PB，则△PAB是等边三角形，
E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，
所以∠PFE=，所以〈，〉=π-=.
4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则=　　　　.
答案　
解析　====.
课时对点练
[分值：100分]
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.已知|a|=2，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为(　　)
A.e B.e C.-e D.-e
答案　C
解析　由投影向量公式得空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e=2×cose=-e.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D为A1B的中点，则·等于(　　)
A.-1 B.- C. D.1
答案　D
解析　因为D为A1B的中点，故=+，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AC，故·=0，
于是·=·+·=||||cos∠BAC=×2×2×=1.
3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于(　　)
A.-1 B.-1
C. D.-
答案　C
解析　如图，因为=-+，
所以||2=|-+|2=||2+||2+||2
-·-2·+2·
=1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=.
4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A.2· B.2·
C.2· D.2·
答案　BC
解析　对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误；
对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确；
对于C，2·=·=a2，C正确；
对于D，2·=·=-·=-a2，D错误.
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则·等于(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
答案　A
解析　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥AA1，=+，又M为棱CC1上任意一点，则=λ=λ，0≤λ≤1，
∴·=(+)·=(++λ)·=0++0=1.
6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
答案　D
解析　设a与b的夹角为θ，
由a+b+c=0，得a+b=-c，
两边平方，得a2+2a·b+b2=c2，
因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，
所以4+2×2×3cos θ+9=16，
解得cos θ=，
即A，B，C选项均不满足cos θ=.
7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　)
A.(++)2=3
B.·=0
C.与的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·|||
答案　ABC
解析　设正方体的棱长为a，
A选项，(++)2=+++2(·+·+·)=3a2=3，A选项正确；
B选项，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确；
C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的夹角为60°，C选项正确；
D选项，|·|||=0，所以D选项错误.
8.已知向量a，b满足=1，=2，且(b-2a)⊥b，则=　　　　　　.
答案　
解析　因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b，
又因为=1，=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而=.
9.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=，M为线段BC的中点，则线段A1M的长度为　　　　　.
答案　
解析　连接AM，因为=-=+-，
所以=+++·-·-·，
又三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为1，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=，
所以=++1+cos-cos-cos=，则=.
10.(13分)如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.
(1)求四边形BCC1B1的面积；(5分)
(2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.(8分)
解　(1)令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2，
=b-a，=c，
·=(b-a)·c=b·c-a·c=0，
∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形，
∴四边形BCC1B1的面积为4.
(2)如图，连接AG，AH，由(1)得=b，
=-=(+)-+)=-(b+a)=c-a，
∴||===，
||=2，
∴·=b·=b·c-b·a=1，
设直线A1C1与GH所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈，〉|===，
∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为.
11.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为μ，则μ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题知，在方向上的投影向量为··，
又·=-+)·+)
=-+)·(-+-)
=-+)·(-2+)
=-(-2·+·-2+·)=-×(-2×1×1×cos 60°+1×1×cos 60°-2×1+1×1×cos 60°)=，
且=
==，
所以··=·=，所以μ=.
12.(多选)如图，在四面体ABCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是(　　)
A.a·b=a·c
B.||=||，||=||，||=||
C.||=||，||=||
D.·=0，·=0
答案　ACD
解析　因为=-=c-b，
要证⊥，即证·=a·(c-b)=a·c-a·b=0.
对于A选项，由a·b=a·c，则a·c-a·b=0，所以⊥成立，故A正确；
对于B选项，将四面体ABCD放入长方体中，使||与||，||与||，||与||分别为相对面的对角线长，
显然AB与CD不一定垂直，如图，当长方体的底面不为正方形时，AB与CD不垂直，故B错误；
对于C选项，因为||=||，||=||，
即|b|=|b-a|和|c|=|c-a|，平方得b2=a2-2a·b+b2，c2=a2-2a·c+c2，
即|a|2=2a·b和|a|2=2a·c，
所以a·b=a·c，结合A选项分析，故C正确；
对于D选项，由·=0得·-·=0，即b·c=a·b， ①
由·=0得·-·=0，即b·c=a·c， ②
由①②得a·b=a·c，所以结合A选项分析，故D正确.
13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　.
答案　
解析　∵OA，OB，OC两两垂直，
∴·=·=·=0，
且=，
故·(++)=++)2
=(||2+||2+||2)
=×(1+4+9)=.
14.(14分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.
(1)求证：CC1⊥BD；(6分)
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(8分)
(1)证明　设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|，
=-=a-b.
设，，两两夹角均为θ，
于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，
∴CC1⊥BD.
(2)解　若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥DC1，A1C⊥BD.
由·=(+)·(-)
=(a+b+c)·(a-c)
=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2
=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ
=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，
得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD.
∴当=1时，A1C⊥平面C1BD.
15.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则·的最小值为(　　)
A.0 B.-9 C.-18 D.-36
答案　C
解析　如图，EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球的半径为=3，设外接球球心为O，则=-，
则·=(+)·(+)=(+)·(-)
=||2-||2=||2-=||2-27，
由于点M在正方体表面上运动，故||的最小值为球心O与正方体表面的中心连线的长，
即为正方体棱长的一半，为=3，所以·的最小值为32-27=-18.
16.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE=EM=MB，AN=NF=FC，AP=PG=GD，平面EFG∩平面MNP=O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，则·等于(　　)
A.4 B.2
C.3 D.1
答案　B
解析　连接EN，MF(图略)，
∵AE=EM，AN=NF，
∴EN∥MF且EN=MF，
∴=，
∴=+=+=+-)=+，
同理可得=+.
由点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，可设=x+(1-x)
=x+(1-x)
=++(0又||=1，⊥，⊥，
∴·=·+·+·=×1×3=2.(共78张PPT)
空间向量的数量积运算
第一章　1.1.2
学习目标
1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点)
2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点)
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
导语
内容索引
01
02
空间向量数量积的性质
空间向量的数量积运算
04
随堂演练
03
课时对点练
01
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围： .
(3)向量垂直：如果〈a，b〉= ，那么向量a，b互相垂直，记作 .
知识梳理
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
a⊥b
对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；
②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
注意点
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a= .
(2)运算律
①(λa)·b= ，λ∈R.
②交换律：a·b= .
③分配律：(a+b)·c= .
|a||b|cos〈a，b〉
0
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与
向量b共线的向量c，c= ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
|a|cos〈a，b〉
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.
注意点
　已知空间向量|a|=，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-，则a
在b上的投影向量为
A.-b B.b
C.b D.-b
例1
√
解析：
a在b上的投影向量为
|a|cos〈a，b〉·=×·
=-·=-b.
　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.
例2
　　　　　与的夹角等于
A.30° B.60°
C.150° D.120°
延伸探究1
解析：
〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°.
√
　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；
延伸探究2
解：
·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 60°=.
　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
②·；
延伸探究2
解：
·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 0°=.
　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
③·；
延伸探究2
解：
·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 120°=-.
　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
④·.
延伸探究2
解：
·=+)·+)
=·(-)+·(-)+·+·]
=[-·-·+(-)·+·]
=×=-.
　　　　　记=a，=b，=c.若=2a-2b，=b-c，则·=　　　.
延伸探究3
-1
解析：
由题意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=，
同理b·c=c·a=，
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
反思感悟
02
空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a= .
(2)a⊥b .
(3)当a，b同向时，a·b= ；
当a，b反向时，a·b= .
(4)a·a= 或|a|= .
(5)|a·b|≤ .
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
cos θ
a·b=0
-
|a|2
　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：
①·；
例3
解：
·=||||cos〈，〉=5×3×cos 60°=7.5.
　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：
②AC'的长(精确到0.1).
例3
解：
||2=(++)2
=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56，
所以AC'≈13.3.
　(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
例3
证明：
如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，
n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面
的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得
l·g=xl·m+yl·n.
　(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
例3
证明：
因为l·m=0，l·n=0，
所以l·g=0.
所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c.
例3
|a-b+2c|等于
A.5 B.6 C. D.
延伸探究1
解析：
由题意，得a·b=b·c=a·c=，
a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|=
=
==.
√
若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
延伸探究2
解：
=++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=，
所以||=，即E，G间的距离为.
在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
延伸探究3
解：
由延伸探究2知，=-a+b+c，
||=，
又=-=c-a，
所以·=(-a+b+c)·(c-a)
在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
延伸探究3
解：
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×=，
又||=1，则cos〈·〉===.
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为.
证明：异面直线AB与CD垂直.
延伸探究4
证明：
=-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥，所以AB⊥CD.
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量.
(2)空间向量数量积的性质及运算律.
(3)空间向量的垂直.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.
03
随堂演练
1
2
3
4
1.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是
A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
B.(a·b)c=a(b·c)
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.λa·b=λ(a·b)
√
1
2
3
4
解析：
选项A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方
体ABCD-A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时
⊥，故A说法错误；
选项B，(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共线
的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故B说法错误；
选项C，向量的数量积满足乘法分配律，所以a·(b+c)=a·b+a·c，故C说法正确；
选项D，由数量积运算的数乘结合律可得λa·b=λ(a·b)，故D说法正确.
2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为
A.7 B.-20 C.28 D.11
√
解析：
因为向量i，j，k是一组单位向量，
且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.
因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k，
所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)
=40|j|2-12|k|2=40-12=28.
1
2
3
4
1
2
3
4
3.在正三棱锥P-ABC中，·=||||，E，F分别是PA，PB的中点，则〈，〉等于
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
解析：
由·=||||cos〈，〉=||||，
所以cos〈，〉=，由于〈，〉∈，所以〈，〉=，
在正三棱锥中，PA=PB，则△PAB是等边三角形，
E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，
所以∠PFE=，所以〈，〉=π-=.
1
2
3
4
4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则=　　.
解析：
===
=.
04
课时对点练
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
对一对
13
14
15
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C BC A D ABC
题号 9 11 12 13 15 16
答案 A ACD C B
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2，
=b-a，=c，·=(b-a)·c=b·c-a·c=0，
∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形，
∴四边形BCC1B1的面积为4.
(2)如图，连接AG，AH，由(1)得=b，
=-=(+)-+)=-(b+a)=c-a，
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∴||===，||=2，
∴·=b·=b·c-b·a=1，
设直线A1C1与GH所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈，〉|===，
∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为.
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)证明　设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|，
=-=a-b.
设，，两两夹角均为θ，
于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，
∴CC1⊥BD.
(2)解　若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥DC1，A1C⊥BD.
14.
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)
=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2
=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ
=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，
得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD.
∴当=1时，A1C⊥平面C1BD.
14.
13
14
15
16
1.已知|a|=2，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为
A.e B.e C.-e D.-e
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础巩固
13
14
15
解析：
由投影向量公式得空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e=
2×cose=-e.
16
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D为A1B的中点，则·等于
A.-1 B.- C. D.1
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
因为D为A1B的中点，故=+，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AC，故·=0，
于是·=·+·=||||cos∠BAC=×2×
2×=1.
3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于
A.-1 B.-1
C. D.-
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
如图，因为=-+，
所以||2=|-+|2=||2+||2+||2
-·-2·+2·
=1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=.
4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
A.2· B.2·
C.2· D.2·
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析：
对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误；
对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确；
对于C，2·=·=a2，C正确；
对于D，2·=·=-·=-a2，D错误.
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则·等于
A.1 B.2 C.-1 D.-2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥
AA1，=+，又M为棱CC1上任意一点，则
=λ=λ，0≤λ≤1，
∴·=(+)·=(++λ)·=0++0=1.
6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：
设a与b的夹角为θ，
由a+b+c=0，得a+b=-c，
两边平方，得a2+2a·b+b2=c2，
因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，
所以4+2×2×3cos θ+9=16，
解得cos θ=，
即A，B，C选项均不满足cos θ=.
13
14
15
16
7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
A.(++)2=3
B.·=0
C.与的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·|||
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
设正方体的棱长为a，
A选项，(++)2=+++2(·+·
+·)=3a2=3，A选项正确；
B选项，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的
夹角为60°，C选项正确；
D选项，|·|||=0，所以D选项错误.
8.已知向量a，b满足=1，=2，且(b-2a)⊥b，则=　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：
因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b，
又因为=1，=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而=.
16
9.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=，M为线段BC
的中点，则线段A1M的长度为　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
连接AM，因为=-=+-，
所以=+++·-·-·，
又三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为1，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=，
所以=++1+cos-cos-cos=，则=.
10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.
(1)求四边形BCC1B1的面积；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2，
=b-a，=c，
·=(b-a)·c=b·c-a·c=0，
∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形，
∴四边形BCC1B1的面积为4.
解：
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.
(2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.
解：
如图，连接AG，AH，由(1)得=b，
=-=(+)-+)=-(b+a)=c-a，
∴||===，
||=2，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.
(2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.
解：
∴·=b·=b·c-b·a=1，
设直线A1C1与GH所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈，〉|===，
∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为.
11.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为μ，则μ的值为
A. B. C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
√
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：
由题知，在方向上的投影向量为··，
又·=-+)·+)
=-+)·(-+-)
=-+)·(-2+)
=-(-2·+·-2+·)=-×(-2×1×1×cos 60°+1×1×
cos 60°-2×1+1×1×cos 60°)=，
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：
且=
==，
所以··=·=，所以μ=.
16
12.(多选)如图，在四面体ABCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是
A.a·b=a·c
B.||=||，||=||，||=||
C.||=||，||=||
D.·=0，·=0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
因为=-=c-b，
要证⊥，即证·=a·(c-b)=a·c-a·b=0.
对于A选项，由a·b=a·c，则a·c-a·b=0，所以⊥成立，故A正确；
对于B选项，将四面体ABCD放入长方体中，使||与||，||与||，||与||分别为相对面的对角线长，
显然AB与CD不一定垂直，如图，当长方体的底面不为
正方形时，AB与CD不垂直，故B错误；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
对于C选项，因为||=||，||=||，
即|b|=|b-a|和|c|=|c-a|，平方得b2=a2-2a·b+b2，c2=a2-2a·c+c2，
即|a|2=2a·b和|a|2=2a·c，
所以a·b=a·c，结合A选项分析，故C正确；
对于D选项，由·=0得·-·=0，即b·c=a·b， ①
由·=0得·-·=0，即b·c=a·c， ②
由①②得a·b=a·c，所以结合A选项分析，故D正确.
13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC
=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
∵OA，OB，OC两两垂直，
∴·=·=·=0，
且=，故·(++)=++)2
=(||2+||2+||2)
=×(1+4+9)=.
14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.
(1)求证：CC1⊥BD；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
证明：
设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|，
=-=a-b.
设，，两两夹角均为θ，
于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，
∴CC1⊥BD.
14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥DC1，A1C⊥BD.
由·=(+)·(-)
=(a+b+c)·(a-c)
=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2
解：
14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ
=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，
得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD.
∴当=1时，A1C⊥平面C1BD.
解：
15.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则·的最小值为
A.0 B.-9 C.-18 D.-36
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：
如图，EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，也是正方
体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球的半
径为=3，设外接球球心为O，则=-，
则·=(+)·(+)=(+)·(-)
=||2-||2=||2-=||2-27，
由于点M在正方体表面上运动，故||的最小值为球心O与正方体表面的中心连线的长，
即为正方体棱长的一半，为=3，所以·的最小值为32-27=-18.
16.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE=EM=MB，AN=NF=
FC，AP=PG=GD，平面EFG∩平面MNP=O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，则·等于
A.4 B.2
C.3 D.1
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：
连接EN，MF(图略)，
∵AE=EM，AN=NF，
∴EN∥MF且EN=MF，
∴=，
∴=+=+=+-)=+，
同理可得=+.
由点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，可设=x+(1-x)
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：
=x+(1-x)
=++(0又||=1，⊥，⊥，
∴·=·+·+·=×1×3=2.
16
THANKS
本课结束

展开更多......

收起↑