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第一章　空间向量与立体几何
§1.3　空间向量及其运算的坐标表示
[学习目标]　1.通过类比平面直角坐标系建立空间直角坐标系并了解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点和向量，会写一些简单几何体的有关坐标.2.掌握向量运算的坐标表示和平行、垂直、两点间距离、夹角的坐标表示.(重点)3.通过空间向量的坐标运算解决与夹角和距离有关的几何问题.(难点)
导语
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
一、空间直角坐标系及点的坐标
问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？
提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.
知识梳理
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
2.相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
3.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
注意点：
(1)基向量：|i|=|j|=|k|=1，i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
(3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系.
例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
(1)顶点A，C的坐标分别为　　　　；
(2)棱C1C中点的坐标为　　　　；
(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　.
答案　(1)A(0，0，0)，C(1，1，0)
(2)　(3)
解析　依题意建立空间直角坐标系，如图所示，
所以A(0，0，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，B(1，0，0)，
所以棱C1C中点的坐标为；
又正方形AA1B1B对角线的交点即为A1B的中点，所以正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为.
延伸探究　试写出例1中点C1分别关于Azx平面、y轴、坐标原点的对称点.
解　点C1关于Azx平面的对称点为(1，-1，1)，点C1关于y轴的对称点为(-1，1，-1)，点C1关于坐标原点的对称点为(-1，-1，-1).
反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
③一般用右手直角坐标系.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).
(3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则.
二、空间向量的坐标及坐标运算
1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z).
2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b (a1+b1，a2+b2，a3+b3)
减法 a-b (a1-b1，a2-b2，a3-b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致.
(2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量.
例2　(课本例1)如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 解　(1)点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k. 所以点D'的坐标是(0，0，2). 同理，点C的坐标是(0，4，0). 点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点A'的坐标是(3，0，2). 点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点B'的坐标是(3，4，2). (2)==0i+4j+0k=(0，4，0)； =-=0i+0j-2k=(0，0，-2)； =+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)； =++=-3i+4j+2k=(-3，4，2).
例2　(1)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，-1，2)，(4，5，-1)，(-2，2，3)，若=-)，则点P的坐标为　　　　　；若=-)，则点P的坐标为　　　　　；
(2)已知向量a，b，c满足2a+b=(0，-5，10)，c=(1，-2，-2)，且a·c=4，则b·c=　　　　　　.
答案　(1)　　(2)-18
解析　(1)因为A，B，C三点的坐标分别是(2，-1，2)，(4，5，-1)，(-2，2，3)，
所以=(2，6，-3)，=(-4，3，1)，
若=-)=，O(0，0，0)，则P；
若=-)=，=(2，-1，2)，
则=+=(2，-1，2)+=，所以P.
(2)b·c=((0，-5，10)-2a)·c=(0，-5，10)·(1，-2，-2)-2a·c=10-20-2×4=-18.
反思感悟　空间向量坐标运算的规律
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标).
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
跟踪训练1　(1)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是(　　)
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
答案　A
解析　∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐标为(0，3，2).
(2)已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则a=　　　　　，b=　　　　　，a·b=　　　　.
答案　(1，，)　(1，0，)　4
解析　a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a=λb a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)；
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0.
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0).
(2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ==.
例3　(课本例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1. 证明　不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则E，F， 所以=. 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 所以=(1，0，1). 所以·=·(1，0，1)=0. 所以⊥，即EF⊥DA1.
例3　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b.
(1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行？
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.
解　(1)因为a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或-.
反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
跟踪训练2　已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c.
解　因为a∥b，所以设a=λb，λ∈R，
则(x，1，-1)=λ(-2，y，1)，
即解得
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，
又b⊥c，所以b·c=-4+3+z=0，
解得z=1，所以c=(2，-3，1).
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，c=(2，-3，1).
四、夹角和距离的计算
问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||=
=.
所以P1P2=||
=，
这就是空间两点间的距离公式.
知识梳理
1.空间两点间的距离公式：
(1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2=||=.
(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=.
2.空间向量的夹角公式：
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==.
例4　(课本例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1. (1)求AM的长； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为. 于是AM==. (2)由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1， 所以=-(1，1，0)=， =-(0，0，0)=， ||=，||=. 所以·=0×0++1×1=. 所以cos〈，〉= ==. 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是.
例4　已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|=，求向量a的坐标.
解　(1)依题意，=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，
∴·=-2×1+(-1)×(-3)+3×2=7，||==，||== ，
∴cos〈，〉==，
∵〈，〉∈[0，π]，
∴sin〈，〉=，
∴S平行四边形=2××××=7.
(2)设a=(x，y，z)，则a·=0，a·=0.
又|a|=，
∴
由①②可得x=y=z，
代入③解得x=y=z=±1，
∴a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1).
反思感悟　利用空间向量的坐标运算求夹角和空间两点间的距离的一般步骤
(1)建系(有坐标系的此步省略)：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；
②写出向量的坐标或运用待定系数法设出向量的坐标，通过条件列方程(组)把坐标解出来.
(3)代入公式进行计算.
(4)写出答案.
跟踪训练3　已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求与夹角的余弦值.
解　(1)设AA1=a(a>0)，则A(0，-1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，a)，C1(0，1，a)，∴=(，1，a)，=(-，1，a)，
∵AB1⊥BC1，则·=-3+1+a2=0，解得a=，
故正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为.
(2)由(1)可知，=(，1，)，=(-，1，0)，
·=×(-)+1×1+×0=-2，
||==，||==2，则cos〈，〉===-，
故与夹角的余弦值为-.
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系及空间点的坐标.
(2)空间向量的坐标表示及坐标运算.
(3)空间向量的坐标表示及应用.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角时忽略向量共线的情况.
1.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量-的坐标相同
答案　D
解析　因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C不一定正确；由于=-，故D正确.
2.设向量a=(1，2，m)，b=(2，0，-1)，若a⊥b，则m等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案　D
解析　由a⊥b，得a·b=1×2+2×0+m×(-1)=0，解得m=2.
3.已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　　　.
答案　6
解析　点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6.
4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　　　.
答案　
解析　∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉=.
课时对点练
[分值：100分]
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.(多选)下列命题中正确的是 (　　)
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)
答案　BCD
解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.
2.已知空间向量a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　∵a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，
∴a+b=(0，1，2)，|a+b|=，
∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是-(0，1，2)=.
3.若空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(　　)
A.(4，-1，0) B.(-1，0，-1)
C.(-2，1，0) D.(2，0，2)
答案　B
解析　由于空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，
则向量a在向量b上的投影向量为·=·=-b=(-1，0，-1).
4.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(　　)
A.3 B.2 C. D.5
答案　A
解析　∵a-b+2c=(9，3，0)，
∴|a-b+2c|==3.
5.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　)
A. B.3 C. D.
答案　A
解析　空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=.
6.如果三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)在同一条直线上，则(　　)
A.a=3，b=2 B.a=6，b=-1
C.a=3，b=-3 D.a=-2，b=1
答案　A
解析　∵A，B，C三点共线，
∴，为共线向量，
又=(1，-1，3)，=(a-1，-2，b+4)，
∴==，解得a=3，b=2.
7.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　)
A.当m⊥n时，x=2
B.当m∥n时，x=-10
C.当|m+n|=时，x=-4
D.当x=时，cos〈m，n〉=
答案　ABD
解析　因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确；因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)，
所以|m+n|===，解得x=-5，故C错误；因为x=，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos〈m，n〉===，故D正确.
8.在△ABC中，已知=(2，4，0)，=(-1，3，0)，则∠ABC=　　　　　.
答案　
解析　由题意可得||=，||=，·=2×(-1)+4×3+0×0=10，
∴cos〈，〉===，
∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉=，
∴在△ABC中，∠ABC=π-=.
9.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　.
答案　-
解析　由题意知，cos 120°=
==-，
即=，k2=39，
显然k<0，所以k=-.
10.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长.
解　如图，连接BD交AC于点O，
∵BC=CD，AC平分∠BCD，∴AC⊥BD，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则OC=BCcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3.
又∵OB=BCsin =，
∴可得A(0，-3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
由于PA⊥底面ABCD，可设P(0，-3，z)，z>0，
∴=(0，0，-z)，
∵F为PC的中点，∴F，由此可得=，
∵=(，3，-z)，且AF⊥PB，
∴·=6-z2=0，解得z=2(舍负)，
因此，=(0，0，-2)，可得PA的长为2.
11.已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a等于(　　)
A. B. C.2 D.
答案　D
解析　=(-2，2，-1)，=(-2，0，2)，=(-1，-1，a)，
由已知可得=x+y(x，y∈R)，所以(-1，-1，a)=(-2x，2x，-x)+(-2y，0，2y)，
所以解得
12.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则(　　)
A.若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞)
B.若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)
C.存在t∈R，使得||=2||
D.存在t∈R，使得||=2
答案　BC
解析　对于A，=(1，t-4，3)，=(2，4，t)，向量，的夹角是锐角，
则·>0且，不共线，
又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0，
解得t>2，
若，共线，设=λ(λ>0)，
即解得
所以≠λ，t≠6，综上所述，若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误；
对于B，若向量，的夹角是钝角，则·<0且，不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确；
对于C，||=，||=，因为||=2||，所以=2，整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84=16>0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确；
对于D，=(1，8-t，t-3)，因为||=2，即||==2，整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误.
13.已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　.
答案　
解析　由题意知=(1，0，2)，设=λ=(λ，0，2λ)，λ∈R，
则Q(λ，0，2λ)，
故=(1-λ，2，2-2λ)，=(2-λ，1，1-2λ)，
所以·=(1-λ)(2-λ)+2+(2-2λ)(1-2λ)=5λ2-9λ+6=5+，
故当λ=时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.
14.(14分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)，
M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则=(，1，2)，=，
所以||=2，||=，
·=2m-1.
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos 45°=|cos 〈，〉|
==，
即=，
使上式成立的m不存在，
所以在棱CC1上不存在点N，
使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
15.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为　　　　　.
答案　
解析　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，
则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)，
=(2，2，3)，=(1，-1，0)，=(1，2，3)，
设=λ，=μ，λ，μ∈.
则=(2λ，2λ，3λ)，=+=+μ=(1+μ，2-μ，3)，
=-=(1+μ-2λ，2-μ-2λ，3-3λ)，
=(1+μ-2λ)2+(2-μ-2λ)2+(3-3λ)2
=17λ2-30λ+2μ2-2μ+14=17+2+，
当λ=且μ=时，取到最小值，所以线段PQ长度的最小值为.
16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=1，AB=2，AA1=a，若对角线BD1上存在异于点B，D1的点P，使得·=0，则a的最大值是　　　　.
答案　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，2，0)，B1(1，2，a)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a).
因为P在线段BD1上，所以设=λ(0<λ<1)，又=(-1，-2，a)，
所以=(-λ，-2λ，aλ)，所以P(1-λ，2-2λ，aλ)，
所以=(λ，2λ，a-aλ)，=(λ-1，2λ，a-aλ)，
因为·=0，
所以λ(λ-1)+4λ2+(a-aλ)2=0，
即a2=，令1-λ=t，t∈(0，1)，
则a2==-5+-，
令x=，则x∈(1，+∞)，
所以a2=-4x2+9x-5，
又二次函数y=-4x2+9x-5的图象开口向下，对称轴为直线x=，
所以当x=，即λ=时，该函数取得最大值，最大值为-4×+9×-5=，
所以a的最大值是.(共89张PPT)
空间向量及其运算的坐标表示
第一章　§1.3
学习目标
1.通过类比平面直角坐标系建立空间直角坐标系并了解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点和向量，会写一些简单几何体的有关坐标.
2.掌握向量运算的坐标表示和平行、垂直、两点间距离、夹角的坐标表示.(重点)
3.通过空间向量的坐标运算解决与夹角和距离有关的几何问题.(难点)
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
导语
内容索引
01
02
05
03
空间向量的坐标及坐标运算
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
空间直角坐标系及点的坐标
04
06
课时对点练
随堂演练
夹角和距离的计算
01
空间直角坐标系及点的坐标
问题
1
提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.
利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .
2.相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过____________
的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
知识梳理
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
O
每两条坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
3.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使= .在单位正交基底{i，
j，k}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的　　　　，y叫做点A的　　　　，z叫做点A的　　　　.
xi+yj+zk
(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
(1)基向量：|i|=|j|=|k|=1，i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
(3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系.
注意点
　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
(1)顶点A，C的坐标分别为　　　　　　　　　　　　；
(2)棱C1C中点的坐标为　　　　　　；
(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　　　.
例1
A(0，0，0)，C(1，1，0)
解析：
依题意建立空间直角坐标系，如图所示，
所以A(0，0，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，A1(0，0，
1)，B(1，0，0)，
所以棱C1C中点的坐标为；
又正方形AA1B1B对角线的交点即为A1B的中点，所以正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为.
试写出例1中点C1分别关于Azx平面、y轴、坐标原点的对称点.
延伸探究
点C1关于Azx平面的对称点为(1，-1，1)，点C1关于y轴的对称点为(-1，1，-1)，点C1关于坐标原点的对称点为(-1，-1，-1).
解：
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
③一般用右手直角坐标系.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).
(3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则.
反思感悟
02
空间向量的坐标及坐标运算
1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a= .
2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
(x，y，z)
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b _____________________
减法 a-b ___________________
数乘 λa _______________
数量积 a·b ______________
(a1+b1，a2+b2，a3+b3)
(a1-b1，a2-b2，a3-b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则= .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标　　　起点坐标.
(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
减去
注意点
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致.
(2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量.
　 (课本例1)如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，
OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位
正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标；
例2
解：
点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k.
所以点D'的坐标是(0，0，2).
同理，点C的坐标是(0，4，0).
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
　 (课本例1)如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，
OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位
正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标；
例2
解：
所以点A'的坐标是(3，0，2).
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，
所以点B'的坐标是(3，4，2).
　 (课本例1)如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，
OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位
正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(2)写出向量，，，的坐标.
例2
解：
==0i+4j+0k=(0，4，0)；
=-=0i+0j-2k=(0，0，-2)；
=+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)；
=++=-3i+4j+2k=(-3，4，2).
　　　 (1)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，-1，2)，(4，5，-1)，(-2，2，3)，若=-)，则点P的坐标为　　　　　　　；若=-)，则点P的坐标为　　　　　　；
例2
解析：
因为A，B，C三点的坐标分别是(2，-1，2)，(4，5，-1)，(-2，2，3)，
所以=(2，6，-3)，=(-4，3，1)，
若=-)=，O(0，0，0)，则P；
若=-)=，=(2，-1，2)，
则=+=(2，-1，2)+=，所以P.
(2)已知向量a，b，c满足2a+b=(0，-5，10)，c=(1，-2，-2)，且a·c=4，则b·c=　　　.
-18
解析：
b·c=((0，-5，10)-2a)·c=(0，-5，10)·(1，-2，-2)-2a·c=10-20-2×4=-18.
空间向量坐标运算的规律
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标).
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
反思感悟
　(1)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
跟踪训练1
√
解析：
∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐标为(0，3，2).
(2)已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则a=　　　　　　　，b=　　　　　　，a·b=　　　　.
(1，，)
(1，0，)
4
解析：
a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
03
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a=λb ， ， (λ∈R)；
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b=0 .
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0).
(2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a
与b平行的条件还可以表示为a∥b ==.
注意点
(课本例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1.
例3
证明：
不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标
系Oxyz，
则E，F，
所以=.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
所以=(1，0，1).
所以·=·(1，0，1)=0.
所以⊥，即EF⊥DA1.
　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b.
(1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行？
例3
解：
因为a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.
例3
解：
由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或-.
(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
反思感悟
　已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c.
跟踪训练2
解：
因为a∥b，所以设a=λb，λ∈R，则(x，1，-1)=λ(-2，y，1)，
即解得
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，
又b⊥c，所以b·c=-4+3+z=0，
解得z=1，所以c=(2，-3，1).
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，c=(2，-3，1).
04
夹角和距离的计算
问题
2
你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||==.
所以P1P2=||=，
这就是空间两点间的距离公式.
1.空间两点间的距离公式：
(1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2=||=
.
(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=.
2.空间向量的夹角公式：
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==
.
知识梳理
(课本例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；
例4
解：
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.
于是AM==.
(课本例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
例4
解：
由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，
所以=-(1，1，0)=，
=-(0，0，0)=，
(课本例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
例4
解：
||=，||=.
所以·=0×0++1×1=.
所以cos〈，〉===.
所以，BE1与DF1所成角的余弦值是.
　已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
例4
解：
依题意，=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，
∴·=-2×1+(-1)×(-3)+3×2=7，||==，||== ，
∴cos〈，〉==，
∵〈，〉∈[0，π]，
∴sin〈，〉=，
∴S平行四边形=2××××=7.
　已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|=，求向量a的坐标.
例4
解：
设a=(x，y，z)，则a·=0，a·=0.
又|a|=，
∴
由①②可得x=y=z，
代入③解得x=y=z=±1，
∴a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1).
利用空间向量的坐标运算求夹角和空间两点间的距离的一般步骤
(1)建系(有坐标系的此步省略)：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；
②写出向量的坐标或运用待定系数法设出向量的坐标，通过条件列方程(组)把坐标解出来.
(3)代入公式进行计算.
(4)写出答案.
反思感悟
　已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
跟踪训练3
解：
设AA1=a(a>0)，则A(0，-1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，a)，C1(0，1，a)，∴=(，1，a)，=(-，1，a)，
∵AB1⊥BC1，则·=-3+1+a2=0，解得a=，
故正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为.
　已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)求与夹角的余弦值.
跟踪训练3
解：
由(1)可知，=(，1，)，=(-，1，0)，
·=×(-)+1×1+×0=-2，
||==，||==2，
则cos〈，〉===-，
故与夹角的余弦值为-.
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系及空间点的坐标.
(2)空间向量的坐标表示及坐标运算.
(3)空间向量的坐标表示及应用.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角时忽略向量共线的情况.
05
随堂演练
1
2
3
4
1.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量-的坐标相同
解析：
因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C不一定正确；
由于=-，故D正确.
√
2.设向量a=(1，2，m)，b=(2，0，-1)，若a⊥b，则m等于
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析：
由a⊥b，得a·b=1×2+2×0+m×(-1)=0，解得m=2.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　.
6
解析：
点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6.
1
2
3
4
4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角
为　　.
解析：
∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉=.
06
课时对点练
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
对一对
13
14
15
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BCD D B A A A ABD
题号 9 11 12 13 15 16
答案 - D BC
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，连接BD交AC于点O，
∵BC=CD，AC平分∠BCD，∴AC⊥BD，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系Oxyz，
则OC=BCcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3.
又∵OB=BCsin =，
∴可得A(0，-3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由于PA⊥底面ABCD，可设P(0，-3，z)，z>0，
∴=(0，0，-z)，
∵F为PC的中点，∴F，
由此可得=，
∵=(，3，-z)，且AF⊥PB，
∴·=6-z2=0，解得z=2(舍负)，
因此，=(0，0，-2)，可得PA的长为2.
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，
B(，1，0)，M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则=(，1，2)，=，
所以||=2，||=，
·=2m-1.
14.
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos 45°=|cos 〈，〉|
==，
即=，
使上式成立的m不存在，
所以在棱CC1上不存在点N，
使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
14.
13
14
15
16
1.(多选)下列命题中正确的是
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)
√
答案
1
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3
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9
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12
基础巩固
13
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15
√
√
解析：
空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.
16
2.已知空间向量a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是
A. B.
C. D.
答案
1
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√
解析：
∵a=(0，2，1)，b=(0，-1，1)，
∴a+b=(0，1，2)，|a+b|=，
∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是-(0，1，2)=.
3.若空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是
A.(4，-1，0) B.(-1，0，-1)
C.(-2，1，0) D.(2，0，2)
√
解析：
由于空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，
则向量a在向量b上的投影向量为·=·=-b=(-1，0，-1).
答案
1
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16
4.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于
A.3 B.2 C. D.5
解析：
∵a-b+2c=(9，3，0)，
∴|a-b+2c|==3.
答案
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16
√
5.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为
A. B.3 C. D.
√
答案
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解析：
空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=.
16
6.如果三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)在同一条直线上，则
A.a=3，b=2 B.a=6，b=-1
C.a=3，b=-3 D.a=-2，b=1
答案
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15
16
√
解析：
∵A，B，C三点共线，
∴，为共线向量，
又=(1，-1，3)，=(a-1，-2，b+4)，
∴==，解得a=3，b=2.
7.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是
A.当m⊥n时，x=2
B.当m∥n时，x=-10
C.当|m+n|=时，x=-4
D.当x=时，cos〈m，n〉=
答案
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√
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√
√
答案
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15
解析：
因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+
5x=0，解得x=2，故A正确；
因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，
λx)，即解得故B正确；
因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)，
所以|m+n|===，解得x=-5，故C错误；
因为x=，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos〈m，n〉==
=，故D正确.
16
8.在△ABC中，已知=(2，4，0)，=(-1，3，0)，则∠ABC=　　　.
答案
1
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15
解析：
由题意可得||=，||=，·=2×(-1)+4×3+0×0=10，
∴cos〈，〉===，
∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉=，
∴在△ABC中，∠ABC=π-=.
16
9.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　.
答案
1
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16
-
解析：
由题意知，cos 120°=
==-，
即=，k2=39，
显然k<0，所以k=-.
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长.
答案
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12
解：
13
14
15
16
如图，连接BD交AC于点O，
∵BC=CD，AC平分∠BCD，∴AC⊥BD，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系Oxyz，
则OC=BCcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3.
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长.
答案
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解：
13
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16
又∵OB=BCsin =，
∴可得A(0，-3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
由于PA⊥底面ABCD，可设P(0，-3，z)，z>0，
∴=(0，0，-z)，
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长.
解：
∵F为PC的中点，∴F，由此可得=
，
∵=(，3，-z)，且AF⊥PB，
∴·=6-z2=0，解得z=2(舍负)，
因此，=(0，0，-2)，可得PA的长为2.
答案
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16
11.已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a等于
A. B. C.2 D.
答案
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综合运用
√
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答案
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解析：
=(-2，2，-1)，=(-2，0，2)，=(-1，-1，a)，
由已知可得=x+y(x，y∈R)，所以(-1，-1，a)=(-2x，2x，-x)+
(-2y，0，2y)，
所以解得
12.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则
A.若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞)
B.若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)
C.存在t∈R，使得||=2||
D.存在t∈R，使得||=2
√
答案
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√
答案
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15
解析：
对于A，=(1，t-4，3)，=(2，4，t)，向量，的夹角是锐角，
则·>0且，不共线，
又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0，解得t>2，
若，共线，设=λ(λ>0)，
即解得
所以≠λ，t≠6，综上所述，若向量，的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误；
16
答案
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解析：
对于B，若向量，的夹角是钝角，则·<0且，不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量，的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确；
对于C，||=，||=，因为||=2||，所以=2，整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84=16>
0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确；
对于D，=(1，8-t，t-3)，因为||=2，即||=
=2，整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误.
16
13.已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直
线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　　.
答案
1
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16
解析：
由题意知=(1，0，2)，设=λ=(λ，0，2λ)，λ∈R，
则Q(λ，0，2λ)，
故=(1-λ，2，2-2λ)，=(2-λ，1，1-2λ)，
所以·=(1-λ)(2-λ)+2+(2-2λ)(1-2λ)=5λ2-9λ+6=5+，
故当λ=时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.
14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
答案
1
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14
15
解：
16
以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)，
M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则=(，1，2)，=，
14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
答案
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15
解：
16
所以||=2，||=，·=2m-1.
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos 45°=|cos 〈，〉|
==，
即=，
14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
答案
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15
解：
16
使上式成立的m不存在，
所以在棱CC1上不存在点N，
使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
15.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动
点，则线段PQ长度的最小值为　　　.
答案
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拓广探究
答案
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16
解析：
以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，
则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)，
=(2，2，3)，=(1，-1，0)，=(1，2，3)，
设=λ，=μ，λ，μ∈.
则=(2λ，2λ，3λ)，
=+=+μ=(1+μ，2-μ，3)，
答案
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16
解析：
=-=(1+μ-2λ，2-μ-2λ，3-3λ)，
=(1+μ-2λ)2+(2-μ-2λ)2+(3-3λ)2
=17λ2-30λ+2μ2-2μ+14=17+2+，
当λ=且μ=时，取到最小值，所以线段PQ长度的最小值为.
16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=1，AB=2，AA1=a，若对角线BD1上存在异于点B，D1的点
P，使得·=0，则a的最大值是　　 .
答案
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16
答案
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15
16
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，2，0)，B1(1，2，a)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a).
因为P在线段BD1上，所以设=λ(0<λ<1)，又=(-1，-2，a)，
所以=(-λ，-2λ，aλ)，所以P(1-λ，2-2λ，aλ)，
所以=(λ，2λ，a-aλ)，=(λ-1，2λ，a-aλ)，
因为·=0，
所以λ(λ-1)+4λ2+(a-aλ)2=0，
答案
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解析：
即a2=，令1-λ=t，t∈(0，1)，
则a2==-5+-，
令x=，则x∈(1，+∞)，
所以a2=-4x2+9x-5，
又二次函数y=-4x2+9x-5的图象开口向下，对称轴为直线x=，
所以当x=，即λ=时，该函数取得最大值，最大值为-4×+9×-5=，
所以a的最大值是.
THANKS
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