资源简介 第一章 空间向量与立体几何§1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示[学习目标] 1.理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法.(重点)2.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量.(难点)导语我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面.一、空间中点的向量和直线的向量表示问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？提示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？提示 如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ①将=a代入①式，得=+t. ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.知识梳理1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t.2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.例1 如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：(1)AA'；(2)BD'.解 由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3).(1)因为向量=(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3).(2)因为向量=(-4，-2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2，3).反思感悟 理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.跟踪训练1 (1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是( )A.(2，2，6) B.(1，1，3)C.(3，1，1) D.(-3，0，1)答案 AB解析 ∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量.(2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )A.-1 B.1或-1C.-3 D.1答案 A解析 由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)，所以，解得x=-1.二、空间中平面的向量表示1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb.2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}.注意点：(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量.例2 (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 解 (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. (2)因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2). 因此=(-3，2，0)，=(0，-2，2). 设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥，n2⊥. 所以所以 取z=3，则x=2，y=3. 于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量.例2 已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.解 答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量).∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，∴=(1，2，0)，=(-1，0，2)，设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)，则令x=1，则y=-，z=，∴n=，即平面SCD的一个法向量为n=，∵x轴⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量.反思感悟 求平面法向量的步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，.(2)设平面的法向量为n=(x，y，z).(3)联立方程组并求解.(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.解 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2).(1)设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)，∵=(2，2，0)，=(0，0，2)，∴令x1=1，则y1=-1，z1=0，∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一)(2)设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2).∵=(2，2，0)，=(1，0，2)，∴令x2=2，则y2=-2，z2=-1，∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一)1.知识清单：(1)空间中点、直线、平面的向量表示.(2)直线的方向向量.(3)平面的法向量.2.方法归纳：待定系数法、赋值法.3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是( )A.=+k B.=+kC.=+k D.=+k答案 AB解析 由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意.2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 A解析 由题意知=(-1，2-y，z-3)，因为m∥，所以==，解得y=，z=，所以y-z=0.3.已知平面α的一个法向量为n，若直线AB满足=λn(λ∈R)，则( )A.AB∥αB.AB αC.AB⊥αD.直线AB与平面α的位置关系不确定答案 C解析 ∵=λn，∴∥n，∵n为平面α的一个法向量，∴AB⊥平面α.4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .答案 x+2y-3z=0解析 由题意得e⊥，则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0，故x+2y-3z=0.课时对点练[分值：80分]单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分1.已知直线l过点A(0，0，1)，且直线l的一个方向向量为a=(1，1，2)，若点M(x，y，4)在直线l上，则( )A.x+y=2 B.x+y=3C.x+y=4 D.x+y=5答案 B解析 由题意，=(x，y，3)，且∥a，所以存在实数λ，使得=λa，即(x，y，3)=λ(1，1，2)=(λ，λ，2λ)，所以所以x+y=2λ=3.2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是( )A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2)B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1)答案 AC解析 由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).对于A，B项，可知=(-1，1，1)，所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则又=(0，-1，1)，=(-1，0，1)，所以令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确；对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则又=(0，-1，1)，=(-1，0，0)，所以令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确.3.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(-1，2，5)，平面α的法向量n=(1，1，1)，则下列各点在平面α内的是( )A.A(1，2，3) B.B(0，3，6)C.C(1，1，1) D.D(0，0，0)答案 A解析 对于A，=(2，0，-2)，则 n·=2×1+0×1+(-2)×1=0，则点A在平面α内，故A正确；对于B，=(1，1，1)，则 n·=1×1+1×1+1×1=3≠0，则点B不在平面α内，故B错误；对于C，=(2，-1，-4)，则 n·=2×1+(-1)×1+(-4)×1=-3≠0，则点C不在平面α内，故C错误；对于D，=(1，-2，-5)，则 n·=1×1+(-2)×1+(-5)×1=-6≠0，则点D不在平面α内，故D错误.4.已知点A(1，-2，0)，直线AB的一个方向向量为a=(-3，4，6)，||=2|a|，且与a方向相反，则点B的坐标为( )A.(-7，6，12) B.(7，-10，-12)C.(7，-6，12) D.(-7，10，12)答案 B解析 设B(x，y，z)，∵A(1，-2，0)，∴=(x-1，y+2，z)，∵||=2|a|，且与a方向相反，a=(-3，4，6)，∴=-2a=(6，-8，-12)，∴解得∴B(7，-10，-12).5.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为 .(写出一个方向向量的坐标) 答案 (答案不唯一)解析 设直线l的方向向量为d=(x，y，z)，则所以令y=1，则z=-2，x=，所以直线l的一个方向向量为d=.6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a= .答案 -1解析 设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，又=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，所以取x=1，得n=(1，1，1)，因为P(a，1，1)在平面ABC内，=(a-1，1，1)，则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1.7.(13分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2).(1)写出直线BC的一个方向向量；(6分)(2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.(7分)解 (1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)(2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)，∵是平面α的法向量，则·=0，即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.化简得x-y+z-2=0.8.(多选)已知直线l过点P(1，0，-1)，且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )A.(1，-4，2) B.C. D.(0，-1，1)答案 ABC解析 由题意可知，平面α的法向量垂直于向量a=(2，1，1)和向量，=(1，2，3)-(1，0，-1)=(0，2，4)，选项A，(2，1，1)·(1，-4，2)=0，(0，2，4)·(1，-4，2)=0，满足垂直，故A正确；选项B，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故B正确；选项C，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故C正确；选项D，(2，1，1)·(0，-1，1)=0，但(0，2，4)·(0，-1，1)≠0，故D错误.9.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z= .答案 2∶3∶(-4)解析 由已知得，=，=，∵a是平面α的法向量，∴a·=0，a·=0，即解得∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).10.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.解 连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点，所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP 平面PAB，所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC 平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC，连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB.综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直，所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意，AB=1，FP=FC=，则F(0，0，0)，D，E，所以=，=，设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)，所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一).11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则等于( )A. B. C. D.1答案 B解析 设AM=x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，=(0，x，-2)，因为平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则n·=0，即2x-2=0，解得x=1，故AM=1，MB=3-1=2，故=.12.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为 .答案 解析 依题意，=(-2，3，0)，=(0，-3，6)，=(x-2，y，2)，设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)，则令c=1，得m=(3，2，1)，依题意，m·=0，则3x+2y=4，则+=(3x+2y)=≥=，当且仅当x=4-，y=2-4时取等号.(共68张PPT)空间中点、直线和平面的向量表示第一章 1.4.1 第1课时学习目标1.理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法.(重点)2.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量.(难点)我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面.导语内容索引010203空间中平面的向量表示随堂演练空间中点的向量和直线的向量表示04课时对点练01空间中点的向量和直线的向量表示问题1提示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？问题2空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？提示 如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ①将=a代入①式，得=+t. ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= .(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ .2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定.知识梳理tattat方向向量(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.注意点 如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：(1)AA'；例1解：由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3).因为向量=(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3). 如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：(2)BD'.例1解：因为向量=(-4，-2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2，3).理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.反思感悟 (1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是A.(2，2，6) B.(1，1，3)C.(3，1，1) D.(-3，0，1)跟踪训练1√√解析：∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量.(2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是A.-1 B.1或-1C.-3 D.1√解析：由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)，所以，解得x=-1.02空间中平面的向量表示1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= .xa+yb2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.xy3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}.不共线法向量注意点(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面BCC1B1的法向量；例2解：因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(2)求平面MCA1的法向量.例2解：因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2).因此=(-3，2，0)，=(0，-2，2).设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(2)求平面MCA1的法向量.例2解：则n2⊥，n2⊥.所以所以取z=3，则x=2，y=3.于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量.已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.例2解：答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量).∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，∴=(1，2，0)，=(-1，0，2)，设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)，则已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.例2解：令x=1，则y=-，z=，∴n=，即平面SCD的一个法向量为n=，∵x轴⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量.求平面法向量的步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，.(2)设平面的法向量为n=(x，y，z).(3)联立方程组并求解.(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.反思感悟 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；跟踪训练2解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2).(1)设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)，∵=(2，2，0)，=(0，0，2)，∴ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；跟踪训练2解：令x1=1，则y1=-1，z1=0，∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(2)平面BDEF的一个法向量.跟踪训练2解：设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2).∵=(2，2，0)，=(1，0，2)，∴令x2=2，则y2=-2，z2=-1，∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一)课堂小结1.知识清单：(1)空间中点、直线、平面的向量表示.(2)直线的方向向量.(3)平面的法向量.2.方法归纳：待定系数法、赋值法.3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.04随堂演练12341.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是A.=+k B.=+kC.=+k D.=+k√√解析：由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意.2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于A.0 B.1 C.2 D.3√解析：由题意知=(-1，2-y，z-3)，因为m∥，所以==，解得y=，z=，所以y-z=0.123412343.已知平面α的一个法向量为n，若直线AB满足=λn(λ∈R)，则A.AB∥αB.AB αC.AB⊥αD.直线AB与平面α的位置关系不确定解析：∵=λn，∴∥n，∵n为平面α的一个法向量，∴AB⊥平面α.√12344.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .解析：由题意得e⊥，则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0，故x+2y-3z=0.x+2y-3z=005课时对点练答案123456789101112对一对题号 1 2 3 4 5答案 B AC A B (答案不唯一)题号 6 8 9 11 12答案 -1 ABC 2∶3∶(-4) B7.答案123456789101112(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)(2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)，∵是平面α的法向量，则·=0，即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.化简得x-y+z-2=0.答案123456789101112连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点，所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP 平面PAB，所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC 平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC，连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB.10.答案123456789101112综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直，所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意，AB=1，FP=FC=，则F(0，0，0)，D，E，所以=，=，10.答案123456789101112设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)，所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一).10.1.已知直线l过点A(0，0，1)，且直线l的一个方向向量为a=(1，1，2)，若点M(x，y，4)在直线l上，则A.x+y=2 B.x+y=3C.x+y=4 D.x+y=5√答案123456789101112基础巩固答案123456789101112解析：由题意，=(x，y，3)，且∥a，所以存在实数λ，使得=λa，即(x，y，3)=λ(1，1，2)=(λ，λ，2λ)，所以所以x+y=2λ=3.2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2)B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1)√答案123456789101112√答案123456789101112解析：由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).对于A，B项，可知=(-1，1，1)，所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则又=(0，-1，1)，=(-1，0，1)，所以令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确；答案123456789101112解析：对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则又=(0，-1，1)，=(-1，0，0)，所以令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确.3.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(-1，2，5)，平面α的法向量n=(1，1，1)，则下列各点在平面α内的是A.A(1，2，3) B.B(0，3，6)C.C(1，1，1) D.D(0，0，0)答案123456789101112√答案123456789101112解析：对于A，=(2，0，-2)，则 n·=2×1+0×1+(-2)×1=0，则点A在平面α内，故A正确；对于B，=(1，1，1)，则 n·=1×1+1×1+1×1=3≠0，则点B不在平面α内，故B错误；对于C，=(2，-1，-4)，则 n·=2×1+(-1)×1+(-4)×1=-3≠0，则点C不在平面α内，故C错误；对于D，=(1，-2，-5)，则 n·=1×1+(-2)×1+(-5)×1=-6≠0，则点D不在平面α内，故D错误.4.已知点A(1，-2，0)，直线AB的一个方向向量为a=(-3，4，6)，||=2|a|，且与a方向相反，则点B的坐标为A.(-7，6，12) B.(7，-10，-12)C.(7，-6，12) D.(-7，10，12)√答案123456789101112答案123456789101112解析：设B(x，y，z)，∵A(1，-2，0)，∴=(x-1，y+2，z)，∵||=2|a|，且与a方向相反，a=(-3，4，6)，∴=-2a=(6，-8，-12)，∴解得∴B(7，-10，-12).5.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为________________________.(写出一个方向向量的坐标) 答案123456789101112(答案不唯一)解析：设直线l的方向向量为d=(x，y，z)，则所以令y=1，则z=-2，x=，所以直线l的一个方向向量为d=.6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a= .答案123456789101112-1答案123456789101112解析：设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，又=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，所以取x=1，得n=(1，1，1)，因为P(a，1，1)在平面ABC内，=(a-1，1，1)，则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1.7.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2).(1)写出直线BC的一个方向向量；答案123456789101112∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)解：7.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2).(2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.答案123456789101112由题意得=(x-2，y-2，z-2)，∵是平面α的法向量，则·=0，即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.化简得x-y+z-2=0.解：8.(多选)已知直线l过点P(1，0，-1)，且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是A.(1，-4，2) B.C. D.(0，-1，1)答案123456789101112√综合运用√√解析：由题意可知，平面α的法向量垂直于向量a=(2，1，1)和向量，=(1，2，3)-(1，0，-1)=(0，2，4)，选项A，(2，1，1)·(1，-4，2)=0，(0，2，4)·(1，-4，2)=0，满足垂直，故A正确；选项B，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故B正确；选项C，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故C正确；选项D，(2，1，1)·(0，-1，1)=0，但(0，2，4)·(0，-1，1)≠0，故D错误.答案1234567891011129.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z= .答案1234567891011122∶3∶(-4)解析：由已知得，=，=，∵a是平面α的法向量，∴a·=0，a·=0，即解得∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.答案123456789101112连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点，所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP 平面PAB，所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC 平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC，解：10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.解：连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB.综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直，所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，答案12345678910111210.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.解：由题意，AB=1，FP=FC=，则F(0，0，0)，D，E，所以=，=，答案12345678910111210.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.解：设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)，所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一).答案12345678910111211.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则等于A. B.C. D.1答案123456789101112拓广探究√答案123456789101112解析：设AM=x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，=(0，x，-2)，因为平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则n·=0，即2x-2=0，解得x=1，故AM=1，MB=3-1=2，故=.12.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为 .答案123456789101112答案123456789101112解析：依题意，=(-2，3，0)，=(0，-3，6)，=(x-2，y，2)，设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)，则令c=1，得m=(3，2，1)，依题意，m·=0，则3x+2y=4，则+=(3x+2y)答案123456789101112解析：=≥=，当且仅当x=4-，y=2-4时取等号.THANKS本课结束第2课时 空间中直线、平面的平行[学习目标] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点)导语上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题.一、直线和直线平行问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？提示 平行.知识梳理设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1=λu2.注意点：上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线.例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.则，分别为MN，RS的方向向量，又=，=，所以=，所以∥，因为M RS，所以MN∥RS.方法二 设=a，=b，=c，则=++=c-a+b，=++=b-a+c.所以=，所以∥.又R MN，所以MN∥RS.反思感悟 证明线线平行的两种思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明.(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP.证明 方法一 由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以=(-1，0，1)，=，所以=，又M AP，故MN∥AP.方法二 由题意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=，又M AP，所以MN∥AP.二、直线和平面平行问题2 如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？提示 垂直.知识梳理设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n=0.注意点：(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)特别强调直线在平面外.例2 (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 解 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)，=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)，=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1.例2 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.证明 如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0).方法一 设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)，又=，=，则有即即令z=1，则所以n=(1，-1，1)，又=(a，0，-a)，所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.所以n⊥.又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二 因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以=.又=(a，0，-a)，所以=2，则PA∥EG.而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三 假设存在实数λ，μ使得=λ+μ，即(a，0，-a)=λ+μ，则有解得所以=-+，又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.延伸探究 在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由.解 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，M，C(0，a，0)，则=(0，0，a)，=，设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则即令y1=2，则x1=-1，z1=0，∴n1=(-1，2，0)，设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)，=(0，a，-a)，由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)，∴y=λa，z=a(1-λ)，∴N(0，λa，a(1-λ)).又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))，由BN∥平面PDM，得·n1=0，即a+2(λ-1)a=0，∴λ=，即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM.反思感悟 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法(1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外.三、平面和平面平行问题3 如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？提示 平行.知识梳理设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1=λn2.注意点：上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面.例3 (课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 证明 如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a β，b β，a∩b=P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β.例3 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.证明 方法一 设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)，于是=(0，1，1)，=(1，1，0)，=(1，1，0)，=(0，1，1).设平面AB'D'的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则令y1=1，则x1=-1，z1=-1，可得n1=(-1，1，-1).设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则令y2=1，则x2=-1，z2=-1，可得n2=(-1，1，-1).所以n1=n2，所以n1∥n2，故平面AB'D'∥平面BDC'.方法二 由方法一知=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，1)，所以=，=，即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD' 平面BDC'，BC' 平面BDC'，AB' 平面BDC'，DC' 平面BDC'，所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A，且AD'，AB' 平面AB'D'，所以平面AB'D'∥平面BDC'.方法三 由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1).易知=(1，1，0)，=(0，1，1).因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0，n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0，所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'.反思感悟 证明面面平行的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.跟踪训练2 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.证明 因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).所以=(0，-1，0)，=(1，1，-1)，=(2，0，-2)，=(0，2，0)，设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量，则即令z1=1，则x1=1，y1=0，所以n1=(1，0，1)，设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，则即令z2=1，则x2=1，y2=0，所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2，所以平面EFG∥平面PBC.1.知识清单：(1)线线平行的向量表示及应用.(2)线面平行的向量表示及应用.(3)面面平行的向量表示及应用.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件.1.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )A.x=6，y=1 B.x=6，y=C.x=3，y=15 D.x=3，y=答案 B解析 由题意可得==，解得x=6，y=.2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l α，能使l∥α的是( )A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0)B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1)C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)答案 AD解析 若l∥α，则a·n=0.而A中a·n=0，B中a·n=1+5=6，C中a·n=-1，D中a·n=-3+3=0.3.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.无法判断答案 A解析 因为a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a=-b，所以两法向量平行，则平面α与β平行.4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是 .答案 -3解析 ∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a=x+y，又=(1，0，-1)，=(0，1，-1)，∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1)=(x，y，-x-y)，∴∴m=-3.课时对点练[分值：100分]单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )A.a=，b=(-2，-4，0)B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1)C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0)D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8)答案 AB解析 对于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确.2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n=0”是“l∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m·n=0，则l∥α或l α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n=0，故必要性成立，所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件.3.若直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，则( )A.l∥α或l α B.l∥αC.l α D.l与α斜交答案 A解析 ∵直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，∴a·u=2+5-7=0，∴a⊥u，∴l∥α 或l α.4.(多选)已知平面α与平面β平行，若n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为( )A.(-1，2，-4) B.(-1，2，4)C.(2，4，-8) D.(-2，4，-8)答案 AD解析 因为平面α与平面β平行，且n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量与n平行，因为(-1，2，-4)=-n，(-2，4，-8)=-n，向量(-1，2，4)，(2，4，-8)与向量n不共线，所以AD选项中的向量可以作为平面α的法向量.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定答案 B解析 根据题意建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，∴=(-1，0，1).又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)，∴·n=-1×0+0×1+1×0=0，∴⊥n，又MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.6.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A.(1，1，1) B.C. D.答案 C解析 方法一 由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)，则=(-，0，1)，=(，-，0)，设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n=(x，y，z)，则即令z=，则x=1，y=1，所以n=(1，1，)，又=(a-，a-，1)，所以·n=a-+a-+=0，解得a=，即M.方法二 如图，设AC与BD相交于点O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE，又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).由中点坐标公式，知点M的坐标为.7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(λ∈R)，若B1F∥平面A1BE，则λ等于( )A. B. C. D.答案 C解析 方法一 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得=(-1，0，1)，=，设n=(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z=2，则x=2，y=1，即n=(2，1，2)，由=(1，0，0)，且=λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又因为B1(1，0，1)，则=(λ-1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·=2(λ-1)+1×1+2×0=0，解得λ=.方法二 如图，取CD的中点M，连接BM，EM，易证A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME，易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，又B1F 平面A1BE，BM 平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ=.8.若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m= ，若l∥α，则n= .答案 -20解析 由α∥β，得u∥v，则==，解得m=；由l∥α，得t⊥u，即t·u=-n-4-16=0，得n=-20.9.已知空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，-1，0)，且ST∥平面PQR，则y= .答案 ±解析 由题意得=(-y，-2，-1)，=(1，0，-1)，=(-1，1-y，0).设平面PQR的法向量为n=(a，b，c)，则令a=1-y，可得b=1，c=1-y，则n=(1-y，1，1-y)，由ST∥平面PQR可得n·=-y(1-y)-2-1+y=0，解得y=±.10.(10分)如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD.证明 如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点，所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD.以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0).设点C的坐标为(x0，y0，0)，则=(x0，y0-，-2).因为=3，所以==，所以Q.因为M为AD的中点，所以M(0，，1).因为P为BM的中点，所以P，所以=.因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0，因为PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为( )A. B. C.2 D.1答案 A解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，C(2，2，0)，D1(2，0，2)，E(0，0，1)，C1(2，2，2)，由M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，可设M(0，y，z)，0≤y≤2，0≤z≤2，则=(0，-2，2)，=(2，0，1)，=(-2，y-2，z-2)，设平面CD1E的法向量为n=(a，b，c)，则令a=1，则n=(1，-2，-2)，∵C1M∥平面CD1E，∴·n=0，即-2-2(y-2)-2(z-2)=0，整理得y+z-3=0.∵M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，取y=2，得z=1；取z=2，得y=1，∴点M的轨迹长度为=.12.(多选)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ADC=，AB=AD=AP=1，CD=2，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则( )A.=B.=C.=D.四边形AMNQ的面积为答案 ACD解析 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，过C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，因为∠ADC=，CD=2，所以CE=DE=2，所以C(2，3，0)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则=(1，0，-1)，=(2，3，-1)，=(0，1，-1)，设=λ，=μ，=m，λ，μ，m∈(0，1)，所以=λ=(λ，0，-λ)，所以M(λ，0，1-λ)，同理=μ=(2μ，3μ，-μ)，所以N(2μ，3μ，1-μ)，=m=(0，m，-m)，所以Q(0，m，1-m)，所以=(λ，0，1-λ)，=(2μ，3μ-m，m-μ)，因为四边形AMNQ为平行四边形，所以=，即解得所以=，=，=，故A，C正确，B错误；=，=，所以cos〈，〉===，又〈，〉∈(0，π)，所以sin〈，〉==，所以四边形AMNQ的面积S=||||sin〈，〉=××=，故D正确.13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是侧面AA1D1D内(包含边界)的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE的长度的最小值为 .答案 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点，所以B1(2，4，2)，M(2，2，0)，N(1，4，0)，E(0，2，2)，设P(x，0，z)(x，z∈[0，2])，平面B1MN的法向量为m=(a，b，c)，又=(0，-2，-2)，=(-1，0，-2)，=(x，-2，z-2)，所以即取a=-2，则m=(-2，-1，1)，因为PE∥平面B1MN，所以·m=-2x+2+z-2=0，则z=2x，即=(x，-2，2x-2)，于是||===，故当x=，z=时，线段PE的长度取得最小值=.14.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)(0≤m≤1).方法一 因为=，=(-1，-1，1)，所以∥，于是OP∥BD1.又=，=(-1，0，m)，当m=时，=，即∥，所以AP∥BQ，又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B，所以平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.方法二 =，=.设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则有n1⊥，n1⊥，因此取x1=1，则n1=(1，1，2).又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m).设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，因此取z2=1，则n2=(m，1-m，1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，因此==，解得m=，这时Q.故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.15.(15分)如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(1)求证：AC⊥AB；(6分)(2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.(9分)(1)证明 在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB，由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC，则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角，而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角，因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB.(2)解 由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直，以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，所以=(0，-1，2)，=(0，2，0)，=(1，1，0).假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP，设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1，则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)，于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)，由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，而=(2，0，-2)，则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=，所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，此时点P为线段BB1上靠近B1的三等分点.(共112张PPT)空间中直线、平面的平行第一章 1.4.1 第2课时学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点)上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题.导语内容索引01020503直线和平面平行平面和平面平行随堂演练直线和直线平行04课时对点练01直线和直线平行问题1提示 平行.由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 λ∈R，使得u1= .知识梳理u1∥u2λu2上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线.注意点 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.例1证明：方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.则，分别为MN，RS的方向向量，又=，=，所以=，所以∥，因为M RS，所以MN∥RS. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.例1证明：方法二 设=a，=b，=c，则=++=c-a+b，=++=b-a+c.所以=，所以∥.又R MN，所以MN∥RS.证明线线平行的两种思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明.(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.反思感悟 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP.跟踪训练1证明：方法一 由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以=(-1，0，1)，=，所以=，又M AP，故MN∥AP. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP.跟踪训练1证明：方法二 由题意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=，又M AP，所以MN∥AP.02直线和平面平行问题2提示 垂直.如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u n .知识梳理⊥u·n=0注意点(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)特别强调直线在平面外. (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？例2解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以=(-3，4，0)，=(-3，0，2).设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？例2解：即所以取z=6，则x=4，y=3.所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量.由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)，=(-3，0，-2). (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？例2解：设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)，所以=+=(-3λ，4，-2λ).令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在.所以，当=，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0). 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：方法一 设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)，又=，=，则有即即 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：令z=1，则所以n=(1，-1，1)，、又=(a，0，-a)，所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.所以n⊥.又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：方法二 因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以=.又=(a，0，-a)，所以=2，则PA∥EG. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三 假设存在实数λ，μ使得=λ+μ，即(a，0，-a)=λ+μ， 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例2证明：则有解得所以=-+，又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB. 在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由.延伸探究以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，M，C(0，a，0)，则=(0，0，a)，=，设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)，解： 在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由.延伸探究则即令y1=2，则x1=-1，z1=0，∴n1=(-1，2，0)，设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)，=(0，a，-a)，由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)，解： 在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由.延伸探究∴y=λa，z=a(1-λ)，∴N(0，λa，a(1-λ)).又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))，由BN∥平面PDM，得·n1=0，即a+2(λ-1)a=0，∴λ=，即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM.解：利用空间向量证明线面平行一般有三种方法(1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外.反思感悟03平面和平面平行问题3提示 平行.如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β λ∈R，使得.知识梳理n1∥n2n1=λn2上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面.注意点(课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α.求证：α∥β.例3证明：如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v.因为a∥α，b∥α，所以n·u=0，n·v=0.因为a β，b β，a∩b=P，(课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α.求证：α∥β.例3证明：所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv.从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0.所以，向量n也是平面β的法向量.故α∥β.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：方法一 设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)，于是=(0，1，1)，=(1，1，0)，=(1，1，0)，=(0，1，1).设平面AB'D'的法向量为n1=(x1，y1，z1)，如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：则令y1=1，则x1=-1，z1=-1，可得n1=(-1，1，-1).设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)，如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：则令y2=1，则x2=-1，z2=-1，可得n2=(-1，1，-1).所以n1=n2，所以n1∥n2，故平面AB'D'∥平面BDC'.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：方法二 由方法一知=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，1)，所以=，=，即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD' 平面BDC'，BC' 平面BDC'，AB' 平面BDC'，DC' 平面BDC'，如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A，且AD'，AB' 平面AB'D'，所以平面AB'D'∥平面BDC'.方法三 由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1).易知=(1，1，0)，=(0，1，1).如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例3证明：因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0，n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0，所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'.证明面面平行的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.反思感悟 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.跟踪训练2证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.跟踪训练2证明：所以=(0，-1，0)，=(1，1，-1)，=(2，0，-2)，=(0，2，0)，设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量，则即令z1=1，则x1=1，y1=0， 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.跟踪训练2证明：所以n1=(1，0，1)，设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，则即令z2=1，则x2=1，y2=0，所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2，所以平面EFG∥平面PBC.课堂小结1.知识清单：(1)线线平行的向量表示及应用.(2)线面平行的向量表示及应用.(3)面面平行的向量表示及应用.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件.04随堂演练12341.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则A.x=6，y=1 B.x=6，y=C.x=3，y=15 D.x=3，y=解析：由题意可得==，解得x=6，y=.√2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l α，能使l∥α的是A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0)B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1)C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)√1234√1234解析：若l∥α，则a·n=0.而A中a·n=0，B中a·n=1+5=6，C中a·n=-1，D中a·n=-3+3=0.12343.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.无法判断解析：因为a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a=-b，所以两法向量平行，则平面α与β平行.√12344.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是 .-31234解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a=x+y，又=(1，0，-1)，=(0，1，-1)，∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1)=(x，y，-x-y)，∴∴m=-3.05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 AB B A AD B C C -20题号 9 11 12 13答案 ± A ACD10.答案123456789101112如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点，所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD.以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0).设点C的坐标为(x0，y0，0)，则=(x0，y0-，-2).13141510.答案123456789101112因为=3，所以==，所以Q.因为M为AD的中点，所以M(0，，1).因为P为BM的中点，所以P，所以=.因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0，因为PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.131415答案123456789101112如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)(0≤m≤1).方法一 因为=，=(-1，-1，1)，14.131415答案123456789101112所以∥，于是OP∥BD1.又=，=(-1，0，m)，当m=时，=，即∥，所以AP∥BQ，又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B，所以平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.14.131415答案123456789101112方法二 =，=.设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则有n1⊥，n1⊥，因此取x1=1，则n1=(1，1，2).14.131415答案123456789101112又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m).设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，因此取z2=1，则n2=(m，1-m，1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，14.131415答案123456789101112因此==，解得m=，这时Q.故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.14.131415答案123456789101112(1)证明 在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB，由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC，则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角，而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角，因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB.15.131415答案123456789101112(2)解 由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直，以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，所以=(0，-1，2)，=(0，2，0)，=(1，1，0).假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP，15.131415答案123456789101112设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1，则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)，于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)，由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，而=(2，0，-2)，则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=，15.131415答案123456789101112所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，此时点P为线段BB1上靠近B1的三等分点.15.1314151.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是A.a=，b=(-2，-4，0)B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1)C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0)D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8)√答案123456789101112基础巩固131415√答案123456789101112131415解析：对于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确.2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n=0”是“l∥α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案123456789101112131415√解析：若m·n=0，则l∥α或l α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n=0，故必要性成立，所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件.3.若直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，则A.l∥α或l α B.l∥αC.l α D.l与α斜交解析：∵直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，∴a·u=2+5-7=0，∴a⊥u，∴l∥α 或l α.答案123456789101112131415√4.(多选)已知平面α与平面β平行，若n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为A.(-1，2，-4) B.(-1，2，4)C.(2，4，-8) D.(-2，4，-8)√答案123456789101112131415√解析：因为平面α与平面β平行，且n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量与n平行，因为(-1，2，-4)=-n，(-2，4，-8)=-n，向量(-1，2，4)，(2，4，-8)与向量n不共线，所以AD选项中的向量可以作为平面α的法向量.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：根据题意建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，∴=(-1，0，1).又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)，∴·n=-1×0+0×1+1×0=0，∴⊥n，又MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.6.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为A.(1，1，1) B.C. D.答案123456789101112131415√答案123456789101112解析：方法一 由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)，则=(-，0，1)，=(，-，0)，设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n=(x，y，z)，则即令z=，则x=1，y=1，所以n=(1，1，)，131415答案123456789101112131415解析：又=(a-，a-，1)，所以·n=a-+a-+=0，解得a=，即M.方法二 如图，设AC与BD相交于点O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE，答案123456789101112131415解析：又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).由中点坐标公式，知点M的坐标为.7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(λ∈R)，若B1F∥平面A1BE，则λ等于A. B.C. D.答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：方法一 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得=(-1，0，1)，=，设n=(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z=2，则x=2，y=1，即n=(2，1，2)，答案123456789101112131415解析：由=(1，0，0)，且=λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又因为B1(1，0，1)，则=(λ-1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·=2(λ-1)+1×1+2×0=0，解得λ=.答案123456789101112131415解析：方法二 如图，取CD的中点M，连接BM，EM，易证A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME，易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，又B1F 平面A1BE，BM 平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ=.8.若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m= ，若l∥α，则n= .答案123456789101112131415-20解析：由α∥β，得u∥v，则==，解得m=；由l∥α，得t⊥u，即t·u=-n-4-16=0，得n=-20.9.已知空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，-1，0)，且ST∥平面PQR，则y= .答案123456789101112131415±解析：由题意得=(-y，-2，-1)，=(1，0，-1)，=(-1，1-y，0).设平面PQR的法向量为n=(a，b，c)，则令a=1-y，可得b=1，c=1-y，则n=(1-y，1，1-y)，由ST∥平面PQR可得n·=-y(1-y)-2-1+y=0，解得y=±.10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD.答案123456789101112131415证明：如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点，所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD.以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD.答案123456789101112131415证明：由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0).设点C的坐标为(x0，y0，0)，则=(x0，y0-，-2).因为=3，10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD.答案123456789101112131415证明：所以==，所以Q.因为M为AD的中点，所以M(0，，1).10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD.证明：因为P为BM的中点，所以P，所以=.因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0，因为PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.答案12345678910111213141511.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为A. B. C.2 D.1答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，C(2，2，0)，D1(2，0，2)，E(0，0，1)，C1(2，2，2)，由M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，可设M(0，y，z)，0≤y≤2，0≤z≤2，则=(0，-2，2)，=(2，0，1)，=(-2，y-2，z-2)，设平面CD1E的法向量为n=(a，b，c)，答案123456789101112131415解析：则令a=1，则n=(1，-2，-2)，∵C1M∥平面CD1E，∴·n=0，即-2-2(y-2)-2(z-2)=0，整理得y+z-3=0.∵M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，取y=2，得z=1；取z=2，得y=1，∴点M的轨迹长度为=.12.(多选)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ADC=，AB=AD=AP=1，CD=2，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则A.= B.=C.= D.四边形AMNQ的面积为√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415解析：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，过C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，因为∠ADC=，CD=2，所以CE=DE=2，所以C(2，3，0)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则=(1，0，-1)，=(2，3，-1)，=(0，1，-1)，答案123456789101112131415解析：设=λ，=μ，=m，λ，μ，m∈(0，1)，所以=λ=(λ，0，-λ)，所以M(λ，0，1-λ)，同理=μ=(2μ，3μ，-μ)，所以N(2μ，3μ，1-μ)，=m=(0，m，-m)，所以Q(0，m，1-m)，所以=(λ，0，1-λ)，=(2μ，3μ-m，m-μ)，因为四边形AMNQ为平行四边形，所以=，答案123456789101112131415解析：即解得所以=，=，=，故A，C正确，B错误；=，=，所以cos〈，〉===，又〈，〉∈(0，π)，答案123456789101112131415解析：所以sin〈，〉==，所以四边形AMNQ的面积S=||||sin〈，〉=××=，故D正确.13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是侧面AA1D1D内(包含边界)的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE的长度的最小值为 .答案123456789101112131415答案123456789101112131415解析：建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点，所以B1(2，4，2)，M(2，2，0)，N(1，4，0)，E(0，2，2)，设P(x，0，z)(x，z∈[0，2])，平面B1MN的法向量为m=(a，b，c)，又=(0，-2，-2)，=(-1，0，-2)，=(x，-2，z-2)，答案123456789101112131415解析：所以即取a=-2，则m=(-2，-1，1)，因为PE∥平面B1MN，所以·m=-2x+2+z-2=0，则z=2x，即=(x，-2，2x-2)，于是||===，故当x=，z=时，线段PE的长度取得最小值=.14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)(0≤m≤1).答案12345678910111213141514.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：方法一 因为=，=(-1，-1，1)，所以∥，于是OP∥BD1.又=，=(-1，0，m)，当m=时，=，即∥，所以AP∥BQ，答案12345678910111213141514.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B，所以平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.方法二 =，=.设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)，答案12345678910111213141514.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：则有n1⊥，n1⊥，因此取x1=1，则n1=(1，1，2).又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m).答案12345678910111213141514.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，因此取z2=1，则n2=(m，1-m，1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，答案12345678910111213141514.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：因此==，解得m=，这时Q.故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.答案12345678910111213141515.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(1)求证：AC⊥AB；拓广探究在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB，由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC，则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角，而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角，因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB.证明：答案12345678910111213141515.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.答案123456789101112131415证明：由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直，以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.答案123456789101112131415证明：所以=(0，-1，2)，=(0，2，0)，=(1，1，0).假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP，设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1，15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.答案123456789101112131415证明：则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)，于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)，由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点).(2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.答案123456789101112131415证明：而=(2，0，-2)，则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=，所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，此时点P为线段BB1上靠近B1的三等分点.THANKS本课结束第3课时 空间中直线、平面的垂直[学习目标] 1.理解并掌握空间中直线、平面垂直的向量表示.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，能用向量方法证明空间中与直线、平面垂直有关的问题.(难点)导语类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？一、直线与直线垂直问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？提示 垂直.知识梳理设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0.注意点：(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直.(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.例1 如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF.证明 方法一 由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠BAC=，故AA1，AC，AB两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，2)，故=(0，2，1)，=(0，1，-2)，∴·=(0，2，1)·(0，1，-2)=0+2×1+1×(-2)=0，∴⊥，故AE⊥DF.方法二 ∵=+，=-=+)-=-，∴·=·=-·-=2-0-2=0，∴⊥，∴AE⊥DF.反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：BD1⊥EB1.证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，E，B1(1，1，1).=(-1，-1，1)，=，∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，∴⊥，∴BD1⊥EB1.二、直线与平面垂直问题2 如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？提示 平行(共线).知识梳理设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u=λn.例2 (课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 证明 设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a+b-c，=b-a，=c. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°， 所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ. 所以，·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C⊥平面BDD1B1.例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.证明 方法一 设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a).所以=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0).设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)，则取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1).又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.所以∥m，所以EF⊥平面B1AC.方法二 由方法一可知，=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0).因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0，所以EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC.方法三 设=a，=c，=b，连接BD(图略)，则=+=+)=+)=+-)=(b+c-a).因为=+=a+b，所以·=(b+c-a)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0，所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC.反思感悟 向量法证明线面垂直的两种思路(1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论.(2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.跟踪训练2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.证明 连接C1D，∵C1在平面ABC内的射影为D，∴C1D⊥平面ABC，又BD，AC 平面ABC，∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，-1，0)，C1(0，0，)，E，A1(0，2，)，∴=(，0，0)，=，=(0，-3，-).方法一 设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，∵即不妨取z=1，则y=，则m=(0，，1)，∴平面BDE的一个法向量为m=(0，，1)，∵=(0，-3，-)，∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE.方法二 ∵·=0，·=-=0，∴⊥，⊥，即BD⊥A1C，DE⊥A1C，又BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，∴A1C⊥平面BDE.三、平面与平面垂直问题3 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？提示 垂直.知识梳理设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0.例3 (课本例5)证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l β， 求证：α⊥β. 证明 如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为l⊥α， 所以u是平面α的法向量. 因为l β，而n是平面β的法向量， 所以u⊥n. 所以α⊥β.例3 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，∴=(0，-1，-1)，=(1，-1，-1).设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1).显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0，所以n⊥，即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.反思感悟 证明面面垂直的两种方法(1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.(2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.跟踪训练3 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.证明 取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OM 平面ABCD，所以OM⊥平面PAB，又PA=PB，所以PO⊥AB，以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AP=a，AD=b，则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，-a，b)，所以=(0，0，b)，=(a，a，0)，=(0，0，b)，=(a，-a，0)，设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，则由得z1=0，令x1=1，则y1=-1，即n1=(1，-1，0)，同理，z2=0，令x2=1，可得y2=1，即n2=(1，1，0).因为n1·n2=1-1=0，所以平面PAD⊥平面PBC.1.知识清单：(1)直线与直线垂直的向量表示及应用.(2)直线与平面垂直的向量表示及应用.(3)平面与平面垂直的向量表示及应用.2.方法归纳：转化法、法向量法.3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.1.设直线l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )A.1 B. C. D.3答案 B解析 因为l1⊥l2，所以a·b=0，即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，解得m=.2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于( )A.4 B.-4 C.5 D.-5答案 D解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.3.已知直线l的方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的法向量为n=(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为 .答案 -解析 因为l⊥α，所以e与n共线，则存在实数m使得e=mn=，可得解得4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=，则直线SC与BC是否垂直 .(填“是”或“否”)答案 是解析 如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC=2，BC=，SB=，得B(-，2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)，=(0，2，-2)，=(-，0，0).因为·=0，所以SC⊥BC.课时对点练[分值：100分]单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分1.若空间中三条不同直线a，b，c的方向向量分别为a，b，c，已知a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定( )A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面答案 C解析 依题意，a，b，c都不是零向量，由b∥c可得b∥c，又a⊥b，则可得a⊥c，即a⊥c.2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量，则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之，若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件.3.下列结论中，正确的是( )A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1⊥l2B.直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥αC.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥βD.直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α答案 C解析 对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A错误；对于B，直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l α，故B错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则u·v=0，所以α⊥β，故C正确；对于D，直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则u=-a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误.4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )A.(1，0，-2) B.(1，0，2)C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)答案 C解析 由题意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0，得-x+1-z=0. ①·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ②联立①②得x=-1，z=2，故点P的坐标为(-1，0，2).5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=3，点P在底面ABCD内(包含边界)上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为( )A. B.C.3 D.答案 B解析 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)，设P(x，y，0)，x，y∈[0，3]，则=(x-3，y-3，-3)，=(1，3，-3)，因为B1P⊥D1E，则·=x+3y-3=0，即x=3-3y，又x∈[0，3]，所以0≤3-3y≤3，则y∈[0，1]，而||===，故当y=1时，线段B1P的长度的最大值为.6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有( )A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的一个法向量D.∥答案 ABC解析 因为·=-2-2+4=0，所以⊥，所以AP⊥AB，A正确；因为·=-4+4+0=0，所以⊥，所以AP⊥AD，B正确；因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量，C正确；=-=(2，3，4)，设=λ=(-λ，2λ，-λ)，即此方程组无解，D错误.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点(包括端点)，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于( )A. B. C. D.1答案 D解析 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，设M(1，0，t)，0≤t≤1，则=，=，=(1，1，0)，=(1，0，t)，设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)，则令z=1，则m=(2，0，1)，设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)，则令c=1，则n=(-t，t，1)，由题意得m⊥n，则m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=，故=1.8.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.答案 0解析 因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对.9.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则= .答案 解析 因为⊥，所以·=0，即1×3+5×1+(-2)z=0，所以z=4.因为BP⊥平面ABC，AB，BC 平面ABC，则BP⊥AB，BP⊥BC，即⊥，⊥，所以解得所以=.10.(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)求证：AE⊥CD；(5分)(2)求证：PD⊥平面ABE.(6分)证明 (1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1).因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形.所以C，E，=，设D(0，y1，0)，则=，由AC⊥CD得·=0，即-+=0，解得y1=，则D，所以=.又=，所以·=-×+×=0，所以⊥，即AE⊥CD.(2)方法一 由(1)知=(1，0，0)，=，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则n=(0，2，-).又=，显然=n，所以∥n，所以PD⊥平面ABE.方法二 由(1)知=，=.所以·=×+×(-1)=0，所以⊥，即PD⊥AE.由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DD1的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足NS⊥OM，则下列结论正确的是( )A.点S可以是棱CC1的中点B.点S的轨迹是矩形C.点S的轨迹所围成的图形的面积为D.点S轨迹的长度为2+答案 C解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为该正方体的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点，则D(0，0，0)，M(2，2，1)，N(0，0，1)，O(1，1，0)，所以=(1，1，1)，设S(x，y，z)，则=(x，y，z-1)，因为NS⊥OM，所以·=0，即x+y+z-1=0，即x+y+z=1，令z=0，当x=1时，y=0；令z=0，当x=0时，y=1，取E(1，0，0)，F(0，1，0)，连接EF，FN，NE，则=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，则·=-1×1+1×1+0×1=0，·=-1×1+0×1+1×1=0，所以EF⊥OM，EN⊥OM，又EF∩EN=E，且EF，EN 平面EFN，所以OM⊥平面EFN，所以为使NS⊥OM，必有点S∈平面EFN，又点S在正方体的表面上运动，所以点S的轨迹为正三角形EFN(不与点N重合)，故B错误；因此点S不可能是棱CC1的中点，故A错误；正△EFN的边长为，则面积为×()2=，故C正确；点S轨迹的长度为3，故D错误.12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则( )A.存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直B.不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直C.存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直D.不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直答案 BC解析 如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以=(0，1，0)，=(1，1，1).设平面B1CD的法向量为m=(x，y，z)，则令x=1，则m=(1，0，-1)是平面B1CD的一个法向量.设Q(1，0，t)(0≤t≤1)，则=(0，-1，t)，若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数λ，使=λm，则(0，-1，t)=λ(1，0，-1)，等式不可能成立，所以与m不共线，所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直，故A错误，B正确；=(1，0，t-1)，若D1Q与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数μ，使=μm，则(1，0，t-1)=μ(1，0，-1)，得μ=1，t=0，所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直，故C正确，D错误.13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为 .答案 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则E，G，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)，则=，=，由于GD⊥EF，所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y，所以||===，又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)，得y∈，所以||∈，即线段DF长度的取值范围为.14.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.解 假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF 平面ABCD，所以OF⊥平面PAD，又因为OP 平面PAD，所以OF⊥OP，以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示.则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)，设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)，=，设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)，则即令x0=1，则n=(1，-1，-)，∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn，∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ，∵，共线，=(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)，∴==，∴==，无解，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.15.(15分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(1)证明：A1C⊥AB1；(6分)(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.(9分)(1)证明 连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C，由∠ACB=90°，得BC⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BC 平面ABC，则BC⊥平面ACC1A1，又A1C 平面ACC1A1，于是BC⊥A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C，又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1 平面AB1C1，因此A1C⊥平面AB1C1，又AB1 平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.(2)解 取A1C1的中点为E，连接CE，因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°，所以CE⊥A1C1，CE⊥AC，又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，CE 平面ACC1A1，所以CE⊥平面ABC，∠ACB=90°，即AC⊥BC，如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2，4，2)，C1(-2，0，2)，设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)，所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)，=(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)，设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)，则令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ，可得m=(λ，λ-1，λ).=(-4，4，0)，=(-2，0，2)，设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)，则令z2=1，则x2=y2=，可得n=(，，1)，若平面AC1D⊥平面ABB1A1，则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=，故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，此时=.(共113张PPT)空间中直线、平面的垂直第一章 1.4.1 第3课时学习目标1.理解并掌握空间中直线、平面垂直的向量表示.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，能用向量方法证明空间中与直线、平面垂直有关的问题.(难点)类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？导语内容索引01020503直线与平面垂直平面与平面垂直随堂演练直线与直线垂直04课时对点练01直线与直线垂直问题1提示 垂直.如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 .知识梳理u1⊥u2u1·u2=0(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直.(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.注意点 如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF.例1证明：方法一 由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠BAC=，故AA1，AC，AB两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，2)，故=(0，2，1)，=(0，1，-2)，∴·=(0，2，1)·(0，1，-2)=0+2×1+1×(-2)=0，∴⊥，故AE⊥DF. 如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF.例1证明：方法二 ∵=+，=-=+)-=-，∴·=·=-·-=2-0-2=0，∴⊥，∴AE⊥DF.证明两直线垂直的基本步骤(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.反思感悟 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：BD1⊥EB1.跟踪训练1证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，E，B1(1，1，1).=(-1，-1，1)， 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：BD1⊥EB1.跟踪训练1证明：=，∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，∴⊥，∴BD1⊥EB1.02直线与平面垂直问题2提示 平行(共线).如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α λ∈R，使得 .知识梳理u∥nu=λn (课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.例2设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a+b-c，=b-a，=c.因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ.证明： (课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.例2所以，·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0.所以是平面BDD1B1的法向量.所以A1C⊥平面BDD1B1.证明：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：方法一 设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a).所以=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0).设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)，如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：则取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1).又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.所以∥m，所以EF⊥平面B1AC.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：方法二 由方法一可知，=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0).因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0，如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：所以EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC.方法三 设=a，=c，=b，连接BD(图略)，则=+=+)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：=+)=+-)=(b+c-a).因为=+=a+b，所以·=(b+c-a)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.例2证明：=(|b|2-|a|2+0+0)=0，所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC.向量法证明线面垂直的两种思路(1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论.(2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.反思感悟 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.跟踪训练2连接C1D，∵C1在平面ABC内的射影为D，∴C1D⊥平面ABC，又BD，AC 平面ABC，∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，证明： 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.跟踪训练2证明：∴BD⊥AC，则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，-1，0)，C1(0，0，)，E，A1(0，2，)， 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.跟踪训练2证明：∴=(，0，0)，=，=(0，-3，-).方法一 设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，∵即 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.跟踪训练2证明：不妨取z=1，则y=，则m=(0，，1)，∴平面BDE的一个法向量为m=(0，，1)，∵=(0，-3，-)，∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.跟踪训练2证明：方法二 ∵·=0，·=-=0，∴⊥，⊥，即BD⊥A1C，DE⊥A1C，又BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，∴A1C⊥平面BDE.03平面与平面垂直问题3提示 垂直.设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β .知识梳理n1⊥n2n1·n2=0(课本例5)证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.已知：如图，l⊥α，l β，求证：α⊥β.例3证明：如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.因为l⊥α，所以u是平面α的法向量.因为l β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n.所以α⊥β.如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.例3证明：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，∴=(0，-1，-1)，=(1，-1，-1).设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)，如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.例3证明：则有n⊥，n⊥.∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1).显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0，所以n⊥，即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.证明面面垂直的两种方法(1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.(2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.反思感悟 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.跟踪训练3取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OM 平面ABCD，所以OM⊥平面PAB，证明： 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.跟踪训练3证明：又PA=PB，所以PO⊥AB，以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AP=a，AD=b，则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，-a，b)， 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.跟踪训练3证明：所以=(0，0，b)，=(a，a，0)，=(0，0，b)，=(a，-a，0)，设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，则由得 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.跟踪训练3证明：z1=0，令x1=1，则y1=-1，即n1=(1，-1，0)，同理，z2=0，令x2=1，可得y2=1，即n2=(1，1，0).因为n1·n2=1-1=0，所以平面PAD⊥平面PBC.课堂小结1.知识清单：(1)直线与直线垂直的向量表示及应用.(2)直线与平面垂直的向量表示及应用.(3)平面与平面垂直的向量表示及应用.2.方法归纳：转化法、法向量法.3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.04随堂演练12341.设直线l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于A.1 B. C. D.3解析：因为l1⊥l2，所以a·b=0，即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，解得m=.√2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于A.4 B.-4 C.5 D.-5√解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.12343.已知直线l的方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的法向量为n=(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为 .-解析：因为l⊥α，所以e与n共线，则存在实数m使得e=mn=，可得解得123412344.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=，则直线SC与BC是否垂直 .(填“是”或“否”)是解析：如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC=2，BC=，SB=，得B(-，2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)，=(0，2，-2)，=(-，0，0).因为·=0，所以SC⊥BC.05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C C C B ABC D 0题号 9 11 12 13答案 C BC10.答案123456789101112(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1).因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形.所以C，E，=，设D(0，y1，0)，则=，由AC⊥CD得·=0，13141510.答案123456789101112即-+=0，解得y1=，则D，所以=.又=，所以·=-×+×=0，所以⊥，即AE⊥CD.13141510.答案123456789101112(2)方法一 由(1)知=(1，0，0)，=，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则n=(0，2，-).又=，显然=n，所以∥n，所以PD⊥平面ABE.13141510.答案123456789101112方法二 由(1)知=，=.所以·=×+×(-1)=0，所以⊥，即PD⊥AE.由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.131415答案123456789101112假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF 平面ABCD，所以OF⊥平面PAD，又因为OP 平面PAD，所以OF⊥OP，以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示.14.131415答案123456789101112则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)，设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)，=，设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)，则即令x0=1，则n=(1，-1，-)，14.131415答案123456789101112∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn，∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ，∵，共线，=(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)，∴==，∴==，无解，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.14.131415答案123456789101112(1)证明 连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C，由∠ACB=90°，得BC⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BC 平面ABC，则BC⊥平面ACC1A1，又A1C 平面ACC1A1，于是BC⊥A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C，又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1 平面AB1C1，因此A1C⊥平面AB1C1，又AB1 平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.15.131415答案123456789101112(2)解 取A1C1的中点为E，连接CE，因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°，所以CE⊥A1C1，CE⊥AC，又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，CE 平面ACC1A1，所以CE⊥平面ABC，∠ACB=90°，即AC⊥BC，15.131415答案123456789101112如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2，4，2)，C1(-2，0，2)，设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)，所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)，=(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)，15.131415答案123456789101112设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)，则令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ，可得m=(λ，λ-1，λ).=(-4，4，0)，=(-2，0，2)，设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)，15.131415答案123456789101112则令z2=1，则x2=y2=，可得n=(，，1)，若平面AC1D⊥平面ABB1A1，则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=，故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，此时=.15.1314151.若空间中三条不同直线a，b，c的方向向量分别为a，b，c，已知a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面√答案123456789101112基础巩固131415解析：依题意，a，b，c都不是零向量，由b∥c可得b∥c，又a⊥b，则可得a⊥c，即a⊥c.2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√答案123456789101112131415解析：a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量，则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之，若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件.3.下列结论中，正确的是A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3， 1)，则l1⊥l2B.直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则 l⊥αC.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则 α⊥βD.直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则 l∥α答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A错误；对于B，直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l α，故B错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则u·v=0，所以α⊥β，故C正确；对于D，直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则u=-a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误.4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为A.(1，0，-2) B.(1，0，2)C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：由题意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0，得-x+1-z=0. ①·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ②联立①②得x=-1，z=2，故点P的坐标为(-1，0，2).5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=3，点P在底面ABCD内(包含边界)上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为A. B.C.3 D.√答案123456789101112131415解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)，设P(x，y，0)，x，y∈[0，3]，则=(x-3，y-3，-3)，=(1，3，-3)，因为B1P⊥D1E，则·=x+3y-3=0，即x=3-3y，又x∈[0，3]，所以0≤3-3y≤3，则y∈[0，1]，而||===，故当y=1时，线段B1P的长度的最大值为.答案1234567891011121314156.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有A.AP⊥AB B.AP⊥ADC.是平面ABCD的一个法向量 D.∥答案123456789101112131415√√√答案123456789101112解析：因为·=-2-2+4=0，所以⊥，所以AP⊥AB，A正确；因为·=-4+4+0=0，所以⊥，所以AP⊥AD，B正确；因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量，C正确；131415答案123456789101112解析：=-=(2，3，4)，设=λ=(-λ，2λ，-λ)，即此方程组无解，D错误.1314157.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点(包括端点)，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于A. B. C. D.1答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，设M(1，0，t)，0≤t≤1，则=，=，答案123456789101112131415解析：=(1，1，0)，=(1，0，t)，设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)，则令z=1，则m=(2，0，1)，设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)，则答案123456789101112131415解析：令c=1，则n=(-t，t，1)，由题意得m⊥n，则m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=，故=1.8.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.答案1234567891011121314150解析：因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对.9.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则= .答案123456789101112131415答案123456789101112131415解析：因为⊥，所以·=0，即1×3+5×1+(-2)z=0，所以z=4.因为BP⊥平面ABC，AB，BC 平面ABC，则BP⊥AB，BP⊥BC，即⊥，⊥，答案123456789101112131415解析：所以解得所以=.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)求证：AE⊥CD；答案123456789101112131415证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1).因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)求证：AE⊥CD；答案123456789101112131415证明：所以C，E，=，设D(0，y1，0)，则=，由AC⊥CD得·=0，即-+=0，10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)求证：AE⊥CD；答案123456789101112131415证明：解得y1=，则D，所以=.又=，所以·=-×+×=0，所以⊥，即AE⊥CD.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(2)求证：PD⊥平面ABE.证明：方法一 由(1)知=(1，0，0)，=，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2，则n=(0，2，-).答案12345678910111213141510.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(2)求证：PD⊥平面ABE.证明：又=，显然=n，所以∥n，所以PD⊥平面ABE.方法二 由(1)知=，=.所以·=×+×(-1)=0，答案12345678910111213141510.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(2)求证：PD⊥平面ABE.证明：所以⊥，即PD⊥AE.由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.答案12345678910111213141511.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DD1的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足NS⊥OM，则下列结论正确的是A.点S可以是棱CC1的中点B.点S的轨迹是矩形C.点S的轨迹所围成的图形的面积为D.点S轨迹的长度为2+答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为该正方体的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点，则D(0，0，0)，M(2，2，1)，N(0，0，1)，O(1，1，0)，所以=(1，1，1)，设S(x，y，z)，则=(x，y，z-1)，因为NS⊥OM，所以·=0，即x+y+z-1=0，即x+y+z=1，令z=0，当x=1时，y=0；令z=0，当x=0时，y=1，答案123456789101112131415解析：取E(1，0，0)，F(0，1，0)，连接EF，FN，NE，则=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，则·=-1×1+1×1+0×1=0，·=-1×1+0×1+1×1=0，所以EF⊥OM，EN⊥OM，又EF∩EN=E，且EF，EN 平面EFN，所以OM⊥平面EFN，所以为使NS⊥OM，必有点S∈平面EFN，又点S在正方体的表面上运动，答案123456789101112131415解析：所以点S的轨迹为正三角形EFN(不与点N重合)，故B错误；因此点S不可能是棱CC1的中点，故A错误；正△EFN的边长为，则面积为×()2=，故C正确；点S轨迹的长度为3，故D错误.12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则A.存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直B.不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直C.存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直D.不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直√答案123456789101112131415√答案123456789101112131415解析：如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以=(0，1，0)，=(1，1，1).设平面B1CD的法向量为m=(x，y，z)，则答案123456789101112131415解析：令x=1，则m=(1，0，-1)是平面B1CD的一个法向量.设Q(1，0，t)(0≤t≤1)，则=(0，-1，t)，若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数λ，使=λm，则(0，-1，t)=λ(1，0，-1)，等式不可能成立，所以与m不共线，所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直，故A错误，B正确；答案123456789101112131415解析：=(1，0，t-1)，若D1Q与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数μ，使=μm，则(1，0，t-1)=μ(1，0，-1)，得μ=1，t=0，所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直，故C正确，D错误.13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为 .答案123456789101112131415答案123456789101112131415解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则E，G，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)，则=，=，由于GD⊥EF，所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y，所以||===，答案123456789101112131415解析：又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)，得y∈，所以||∈，即线段DF长度的取值范围为.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.答案123456789101112131415解：假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF 平面ABCD，14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.解：所以OF⊥平面PAD，又因为OP 平面PAD，所以OF⊥OP，以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示.则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)，答案12345678910111213141514.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.解：设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)，=，设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)，则答案12345678910111213141514.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.解：即令x0=1，则n=(1，-1，-)，∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn，∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ，答案12345678910111213141514.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.解：∵，共线，=(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)，∴==，∴==，无解，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.答案12345678910111213141515.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(1)证明：A1C⊥AB1；答案123456789101112131415拓广探究证明：连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C，由∠ACB=90°，得BC⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BC 平面ABC，15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(1)证明：A1C⊥AB1；答案123456789101112131415证明：则BC⊥平面ACC1A1，又A1C 平面ACC1A1，于是BC⊥A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C，又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1 平面AB1C1，因此A1C⊥平面AB1C1，又AB1 平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415取A1C1的中点为E，连接CE，因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°，所以CE⊥A1C1，CE⊥AC，又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，CE 平面ACC1A1，所以CE⊥平面ABC，解：15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415解：∠ACB=90°，即AC⊥BC，如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2，4，2)，C1(-2，0，2)，15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415解：设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)，所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)，=(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)，设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)，15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415解：则令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ，可得m=(λ，λ-1，λ).=(-4，4，0)，=(-2，0，2)，15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415解：设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)，则令z2=1，则x2=y2=，可得n=(，，1)，15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1.(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.答案123456789101112131415解：若平面AC1D⊥平面ABB1A1，则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=，故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，此时=.THANKS本课结束 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示.docx 第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示.pptx 第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行.docx 第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行.pptx 第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直.docx 第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直.pptx
资源列表
