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　　　　 第一章　空间向量与立体几何
章末复习课
一、空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力.
例1　(1)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是(　　)
A.(-)-
B.(+)-
C.(-)-
D.(-)+
答案　AB
解析　(-)-=-=，A正确；
(+)-=-=+=，B正确；
(-)-=-=-=≠，C错误；
(-)+=(-)+=+≠，D错误.
(2)如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为2，则·等于(　　)
A.2 B. C.2 D.0
答案　D
解析　由题意可知·=·(-)=·-·=2×2×-2×2×=0.
反思感悟　(1)向量的线性运算，实质上是在正确进行数乘运算的基础上，运用平行四边形法则或三角形法则进行向量求和或求差运算，其关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
(2)涉及空间向量的数量积的应用时，主要用到以下三个重要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=，|a|2=a2.
跟踪训练1　(1)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近C1的三等分点，设=a，=b，=c，则用a，b，c表示为(　　)
A.a+b-c
B.-a+b+c
C.a-b-c
D.-a-b+c
答案　C
解析　=++=--++)=-b-c+(a+b)=a-b-c.
(2)在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||=||，则P点坐标为(　　)
A.(0，0，2) B.(0，0，-2)
C.(0，0，3) D.(0，0，-3)
答案　C
解析　设P(0，0，z)，
则有
=，解得z=3.
二、利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点， P为侧棱BB1上的动点.
(1)求证：平面AMP⊥平面BB1C1C；
(2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.
(1)证明　∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，AM 平面ABC，
∴AM⊥BB1，
∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC，
∵BC∩BB1=B，BC，BB1 平面BB1C1C，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵AM 平面AMP，
∴平面AMP⊥平面BB1C1C.
(2)解　以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，2，0)，C1(2，0，3)，A(0，0，0)，
设PB=t(0≤t≤3)，则P(0，2，t)，=(2，-2，3)，=(0，2，t)，
若BC1⊥AP，则·=0-4+3t=0，
解得t=<3，
∴存在点P，使得直线BC1⊥AP，此时PB=.
反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
跟踪训练2　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.
(1)证明　在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因为=(-3，0，0)，=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥，
即AC⊥BC1.
(2)解　假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设=t=(-3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
则E(3-3t，4t，0)，=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)，=(-3，0，4)，
又因为=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，m(4t-4)-4n=0，
-4m-4n=4，解得t=.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
这时点E为AB的中点.
三、利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为=(a·u)u，则点P到直线l的距离为(如图).
(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图).
2.利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.
(1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离；
(2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积.
解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B1(1，1，2)，F(1，1，1).
=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，故∥，故FC1∥AE.
=(1，1，0)，设点F到直线AE的距离为d，又||=，||=，·=-1，
d===，
则点F到直线AE的距离为.
(2)设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，由(1)可知，=(-1，0，1)，=(-1，-1，-1)，=(0，1，0)，
则
即
令x=1，则y=-2，z=1，所以n=(1，-2，1).
设点A1到平面AB1E的距离为d1，
所以d1===，
则点A1到平面AB1E的距离为.
又==·AD=××1×2×1=，
即三棱锥A1-AB1E的体积为.
反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
跟踪训练3　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　.
答案　
解析　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4)，
∴=(2，2，0)，=(-2，0，4)，
易知平面AMN∥平面EFBD，
故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.
设n=(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则解得
取z=1，则x=2，y=-2，
得n=(2，-2，1)是平面AMN的一个法向量.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d==.
四、利用空间向量求空间角
1.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
(1)证明　因为AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，所以BC⊥PA，
连接AC，因为AB⊥BC，所以AC==2，
因为PA2+AC2=PC2，所以AC⊥PA，
因为AC∩BC=C，AC，BC 平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)解　过点A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=DE=1，AE=，由(1)知PA，AB，AE两两垂直，如图，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，-1，0)，C(，1，0)，P(0，0，1)，
=(0，-1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，=(，-1，0)，
设平面PBC的法向量为 m=(x1，y1，z1)，
则
令y1=1，可得m=(0，1，1)，
设平面PAD的法向量为n=(x2，y2，z2)，
则
令x2=1，可得n=(1，，0)，
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，所以 cos θ====，
即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
(2)应用空间向量求空间中的角时，往往要转化成元素的特征向量的夹角问题，并要注意特征向量的夹角与所求角的关系.
跟踪训练4　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，点E，F分别是底面A1B1C1D1、侧面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成角的大小；
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解　(1)由题意得A(2，0，0)，F，
B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0).
∴=，=(-1，-1，)，
∴·=1-2+1=0.
∴异面直线AF和BE所成角的大小为90°.
(2)设平面BEC的法向量为n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)，=(-1，-1，)，
则
∴x=0，取z=1，则y=，
∴平面BEC的一个法向量为n=(0，，1).
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈，n〉|===.
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.(共42张PPT)
章末复习课
第一章　
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内容索引
01
02
03
利用空间向量证明位置关系
利用空间向量计算距离
空间向量的概念及运算
04
利用空间向量求空间角
01
空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力.
　(1)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是
A.(-)-
B.(+)-
C.(-)-
D.(-)+
√
例1
√
解析：
(-)-=-=，A正确；
(+)-=-=+=，B正确；
(-)-=-=-=≠，C错误；
(-)+=(-)+=+≠，D错误.
(2)如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为2，则·等于
A.2 B.
C.2 D.0
√
解析：
由题意可知·=·(-)=·-·=2×2×-2×2×=0.
(1)向量的线性运算，实质上是在正确进行数乘运算的基础上，运用平行四边形法则或三角形法则进行向量求和或求差运算，其关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
(2)涉及空间向量的数量积的应用时，主要用到以下三个重要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=，|a|2=a2.
反思感悟
　(1)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近C1的三等分点，设=a，=b，=c，则用a，b，c表示为
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b-c D.-a-b+c
跟踪训练1
√
解析：
=++=--++)=-b-c+(a+b)
=a-b-c.
(2)在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||=||，则P点坐标为
A.(0，0，2) B.(0，0，-2)
C.(0，0，3) D.(0，0，-3)
√
解析：
设P(0，0，z)，
则有
=，解得z=3.
02
利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点， P为侧棱BB1上的动点.
(1)求证：平面AMP⊥平面BB1C1C；
例2
∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，AM 平面ABC，
∴AM⊥BB1，
∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC，
∵BC∩BB1=B，BC，BB1 平面BB1C1C，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵AM 平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C.
证明：
　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点， P为侧棱BB1上的动点.
(2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.
例2
解：
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，2，0)，C1(2，0，3)，A(0，0，0)，
设PB=t(0≤t≤3)，则P(0，2，t)，=(2，-2，3)，=(0，2，t)，
　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点， P为侧棱BB1上的动点.
(2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由.
例2
解：
若BC1⊥AP，则·=0-4+3t=0，
解得t=<3，
∴存在点P，使得直线BC1⊥AP，此时PB=.
利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
反思感悟
　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求证：AC⊥BC1；
跟踪训练2
证明：
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，
CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角
坐标系.
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因为=(-3，0，0)，=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥，即AC⊥BC1.
　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.
跟踪训练2
假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设=t=(-3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
则E(3-3t，4t，0)，=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)，=(-3，0，4)，
又因为=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，m(4t-4)-4n=0，
解：
　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.
跟踪训练2
-4m-4n=4，解得t=.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
这时点E为AB的中点.
解：
03
利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是
直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量
在直线l上的投影向量为=(a·u)u，则点P到直线l的距离为
(如图).
(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外
一点，则点P到平面α的距离为 (如图).
2.利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC
=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.
(1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离；
例3
解：
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，
B1(1，1，2)，F(1，1，1).
=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，故∥，故FC1
∥AE.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC
=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.
(1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离；
例3
解：
=(1，1，0)，设点F到直线AE的距离为d，又||=，
||=，·=-1，
d===，
则点F到直线AE的距离为.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC
=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.
(2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积.
例3
解：
设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，由(1)可知，=(-1，0，1)，=(-1，-1，-1)，=(0，1，0)，
则
即
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC
=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点.
(2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积.
例3
解：
令x=1，则y=-2，z=1，所以n=(1，-2，1).
设点A1到平面AB1E的距离为d1，
所以d1===，则点A1到平面AB1E的距离为.
又==·AD=××1×2×1=，
即三棱锥A1-AB1E的体积为.
利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
反思感悟
　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为
A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　.
跟踪训练3
解析：
如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，
M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4)，
∴=(2，2，0)，=(-2，0，4)，
易知平面AMN∥平面EFBD，
故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.
设n=(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则解得
取z=1，则x=2，y=-2，得n=(2，-2，1)是平面AMN的一个法向量.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d==.
04
利用空间向量求空间角
1.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
例4
因为AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，所以BC⊥PA，
连接AC，因为AB⊥BC，所以AC==2，
因为PA2+AC2=PC2，所以AC⊥PA，
因为AC∩BC=C，AC，BC 平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
证明：
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
例4
解：
过点A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=DE=1，AE=，由
(1)知PA，AB，AE两两垂直，如图，以A为坐标原点，
AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
标系，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，-1，0)，C(，1，0)，P(0，0，1)，
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
例4
解：
=(0，-1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，
=(，-1，0)，
设平面PBC的法向量为 m=(x1，y1，z1)，
则
令y1=1，可得m=(0，1，1)，
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
例4
解：
设平面PAD的法向量为n=(x2，y2，z2)，
则
令x2=1，可得n=(1，，0)，
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=.
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
例4
解：
所以 cos θ====，
即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
(2)应用空间向量求空间中的角时，往往要转化成元素的特征向量的夹角问题，并要注意特征向量的夹角与所求角的关系.
反思感悟
　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，点E，F分别是底面A1B1C1D1、侧面BCC1B1的中心.以D为
坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成角的大小；
跟踪训练4
由题意得A(2，0，0)，F，B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0).
∴=，=(-1，-1，)，
∴·=1-2+1=0.
∴异面直线AF和BE所成角的大小为90°.
解：
　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，点E，F分别是底面A1B1C1D1、侧面BCC1B1的中心.以D为
坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
跟踪训练4
设平面BEC的法向量为n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)，=(-1，-1，)，
则
∴x=0，取z=1，则y=，
解：
　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，点E，F分别是底面A1B1C1D1、侧面BCC1B1的中心.以D为
坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
跟踪训练4
∴平面BEC的一个法向量为n=(0，，1).
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈，n〉|===.
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
解：
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