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(共47张PPT)
第三节　导数中的构造问题

答案：D
跟踪训练　(1)已知x，y∈(0，＋∞)，x，y满足x2－y>ln y－2ln x，则(　　)
A．y－2x>0 B．y－x2>0
C．2x－y>0 D．x2－y>0
答案：D
答案：D
视角二　含导函数的抽象函数的构造
题型1　构造f(x)±g(x)型可导函数
例2 (2026·唐山模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意x∈R都有f′(x)<2，f(2)＝3，则使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是________．
(ln 2，＋∞)
解析：设g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2<0，g(2)＝f(2)－2×2＝－1，可知g(x)在R上单调递减，由f(ex)<2ex－1，得f(ex)－2ex<－1，即g(ex)2，则x>ln 2，即使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是(ln 2，＋∞)．
学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
跟踪训练　定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)>3，f(2)＝6，则f(x)>3x的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：D
解析：令函数g(x)＝f(x)－3x，求导得g′(x)＝f′(x)－3，而f′(x)>3，则g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，又f(2)＝6，则g(2)＝f(2)－6＝0，不等式f(x)>3x f(x)－3x>0 g(x)>g(2)，解得x>2，所以所求解集为(2，＋∞)．故选D.
题型2　构造f(x)·g(x)型可导函数
例3 (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足f(x)＋f′(x)>0(f′(x)为f(x)的导函数)，设a＝ef(1)，b＝e3f(3)，c＝e2f(2)，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．a>c>b
答案：B
解析：令g(x)＝exf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为1<2<3，所以b>c>a.故选B.
答案：A
学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x)·g(x)＋f(x)·g ′(x)”时，可联想、逆用“f ′(x)·g(x)＋f(x)·g ′(x)＝[f(x)·g(x)] ′”，构造可导函数y＝f(x)·g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
答案：D
答案：B
跟踪训练　已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(x)>ex的解集为_________．
(－∞，1)
1．设函数f(x)，g(x)在[a，b]上的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则当x∈(a，b)时，下列各式一定成立的是(　　)
A．f(x)＋g(x)>0 B．f(x)C．f(x)>g(x) D．f(x)＋g(x)<0
答案：C
解析：由题可知f(x)，g(x)的正负无法判断，所以f(x)＋g(x)与0的关系无法判断，故AD错误；设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，所以F(x)在[a，b]上单调递增，因为f(a)＝g(a)，所以F(a)＝0，所以当x∈(a，b)时，F(x)>F(a)＝0，即f(x)>g(x)，故B错误，C正确．故选C.
答案：A
3．(2026·泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝1，对任意x∈R，f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，又g(2)＝2f(2)＝2，由(x＋1)f(x＋1)>2，即g(x＋1)>g(2)，所以x＋1<2，解得x<1，所以不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(－∞，1)．故选A.
4．(2026·邯郸模拟)已知函数f′(x)是定义域为R的奇函数f(x)的导函数，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，且f(2)＝4，则不等式f(x)≤2x的解集为(　　)
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪[2，＋∞)
答案：C
5．(2026·盐城模拟)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)>f′(x)＋1且y＝f(x)－2为奇函数，则不等式f(x)－ex<1的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，e)
C．(e，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：D
6．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“ea－eb>a－b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由题意设f(x)＝ex－x(x>0)，对其求导得f′(x)＝ex－1，则当x>0时，f′(x)＝ex－1>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．充分性判断：因为a>b>0，所以f(a)>f(b)，即ea－a>eb－b，移项得ea－eb>a－b，所以“a>b”可推出“ea－eb>a－b”，充分性成立．必要性判断：因为a>0，b>0且ea－eb>a－b，得ea－a>eb－b，即f(a)>f(b)，根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得a>b，所以“ea－eb>a－b”可推出“a>b”，必要性成立．因此，“a>b”是“ea－eb>a－b”的充要条件．故选C.
答案：C
8．已知x∈(1，＋∞)，则(　　)
A．2x＋1>ex＋ln (x＋1)
B．2x＋1≥ex＋ln (x＋1)
C．2x＋1D．2x＋1≤ex＋ln (x＋1)
答案：C
9．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＋2f(x)>0，e为自然对数的底数，则(　　)
A．f(1)>e2f(2) B．e2f(－1)>f(－2)
C．f(2)f(－3)
答案：BCD
解析：令g(x)＝e2xf(x)，由题可知g(x)在R上可导，g′(x)＝e2x[f′(x)＋2f(x)]，当x∈R时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增；由g(1)g(－2)，得e2f(－1)>f(－2)，故B正确．由g(2)g(－3)，得e4f(－1)>f(－3)，故D正确．故选BCD.

答案：AC
答案：AC

13．(2026·常德模拟)已知实数x，y满足ex ln y＝xey(x>e，y>e)，则y____x．(在“>”“≥”“＝”“<”“≤”中选一个填在横线处)
<
[1，＋∞)第三节　导数中的构造问题
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　同形构造
例1 (2026·昆明模拟)若0A.>ln x2－ln x1
B.C.
D.
学霸笔记：(1)乘积型，如aea≤b ln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex.
(2)比商型，如＜可以构成＜，进而构造函数f(x)＝.
(3)和差型：如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x．
跟踪训练　(1)已知x，y∈(0，＋∞)，x，y满足x2－y>ln y－2ln x，则(　　)
A．y－2x>0 B．y－x2>0
C．2x－y>0 D．x2－y>0
(2)(2026·盐城模拟)已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，e] B．(－∞，e)
C．(－∞，) D．(－∞，)
视角二　含导函数的抽象函数的构造
题型1　构造f(x)±g(x)型可导函数
例2 (2026·唐山模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意x∈R都有f′(x)<2，f(2)＝3，则使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是________．
学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
　跟踪训练　定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)>3，f(2)＝6，则f(x)>3x的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
题型2　构造f(x)·g(x)型可导函数
例3 (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足f(x)＋f′(x)>0(f′(x)为f(x)的导函数)，设a＝ef(1)，b＝e3f(3)，c＝e2f(2)，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．a>c>b
(2)(2026·驻马店模拟)定义在R上的奇函数f(x)(f(x)不是常数函数)的导函数为f′(x)，当x≥0时，恒有3f(x)＋xf′(x)≥0，则不等式x3f(x)<(3x－1)3f(3x－1)的解集为(　　)
A．(－∞，，＋∞)
B．()
C．(－∞，)
D．(，＋∞)
学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x)·g(x)＋f(x)·g ′(x)”时，可联想、逆用“f ′(x)·g(x)＋f(x)·g ′(x)＝[f(x)·g(x)] ′”，构造可导函数y＝f(x)·g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
　跟踪训练　已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0成立，则(　　)
A．f()>f() B．f(1)sin 1C．f()>f() D．f()题型3　构造型可导函数
例4 (2026·萍乡模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为其导函数，若xf′(x)－2f(x)>0恒成立，且f()＝，则不等式f(x)A．(0，1) B．(0，)
C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x)·g(x)－f(x)·g ′(x)”时，可联想、逆用“＝[] ′”，构造可导函数y＝，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
　跟踪训练　已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(x)>ex的解集为________．
提示：请完成课时作业17
第三节　导数中的构造问题
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：设f(x)＝ex－ln x，可得f′(x)＝ex－，令h(x)＝ex－，则h′(x)＝ex＋>0，所以f′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，且f′＝－2<0，f′(1)＝e－1>0，所以存在x0∈(0，1)，使f′(x0)＝0，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增，所以f(x)在(0，1)上不是单调函数，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故AB错误；设g(x)＝，可得g′(x)＝，当x∈(0，1)时，g′(x)＝<0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，又因为0，所以，故C错误，D正确．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：(1)设g(x)＝x＋ln x，x>0，所以g′(x)＝1＋上单调递增，因为y>0.故选D.
(2)当x2>x1>0时，不等式<成立，令函数g(x)＝xf(x)，x>0，则函数g(x)＝xf(x)＝ex－ax2在(0，＋∞)上单调递增，因此 x>0，g′(x)＝ex－2ax≥0 2a≤恒成立，令函数h(x)＝，x>0，求导得h′(x)＝，当01时，h′(x)>0，函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(x)min＝h(1)＝e，则2a≤e，解得a≤，所以a的取值范围是.故选D.
答案：(1)D　(2)D
视角二
例2　解析：设g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2<0，g(2)＝f(2)－2×2＝－1，可知g(x)在R上单调递减，由f(ex)<2ex－1，得f(ex)－2ex<－1，即g(ex)2，则x>ln 2，即使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是(ln 2，＋∞)．
答案：(ln 2，＋∞)
跟踪训练　解析：令函数g(x)＝f(x)－3x，求导得g′(x)＝f′(x)－3，而f′(x)>3，则g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，又f(2)＝6，则g(2)＝f(2)－6＝0，不等式f(x)>3x f(x)－3x>0 g(x)>g(2)，解得x>2，所以所求解集为(2，＋∞)．故选D.
答案：D
例3　解析：(1)令g(x)＝exf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为1<2<3，所以b>c>a.故选B.
(2)根据题意可构造函数g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，因为当x≥0时，3f(x)＋xf′(x)≥0，则g′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]≥0，所以g(x)＝x3f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，又由于y＝x3为奇函数，f(x)为奇函数，所以g(x)＝x3f(x)为偶函数，则g(x)＝x3f(x)在区间(－∞，0]上为减函数，又x3f(x)<(3x－1)3f(3x－1)，即g(x)，则不等式x3f(x)<(3x－1)3f(3x－1)的解集为∪.故选A.
答案：(1)B　(2)A
跟踪训练　解析：令h(x)＝f(x)sin x，x∈，则h′(x)＝f(x)cos x＋f′(x)sin x>0，从而h(x)在上为增函数．对于A，hh f(1)sin 1>fsin f(1)sin 1>f，故B错误；对于C，h答案：D
例4　解析：令g(x)＝，则g′(x)＝，因为在(0，＋∞)上，xf′(x)－2f(x)>0恒成立，可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f＝，所以g＝＝1，当f(x)答案：B
跟踪训练　解析：令函数g(x)＝，由f′(x)－f(x)<0，得g′(x)＝<0，因此函数g(x)在R上单调递减，而g(1)＝＝1，不等式f(x)>ex >1 g(x)>g(1)，解得x<1，所以不等式f(x)>ex的解集为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)

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