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高考大题解读(一)　导数在函数中的应用
命题分析　本题以由三角函数构成的复杂函数为载体，考查函数的最值、函数的对称性与导数的综合应用、恒成立求参问题的内容，体现了综合性“四翼”要求．通过化归与转化和分类讨论的数学思想，重点考查学生的数学抽象能力、数学推理能力、数学运算能力与深刻性、灵活性、独创性、敏捷性的思维品质．
思路探求
关键步骤 思维要点
(第1问)求导数，求极值点
(第1问)求最值
(第2问)解不等式 由cos y≤cos θ得2kπ＋θ≤y≤2kπ＋2π－θ
(第2问)集合关系
第(3)问求参数b 设h(x)＝5cos x－cos (5x＋φ)，求函数的最小值


考教衔接　
求解函数最值问题是一类非常重要的题型，熟练应用导数的运算法则正确求解导函数．由函数单调性求参数的取值范围问题关键在于明确函数单调性与导函数的关系，实现问题之间的转化与化归．不等式证明问题可以构造函数法来证明不等式成立．恒成立、有解问题通过构造函数求最值的方法求参数的取值范围．
本题源于人教A版选修二第93页例6.
关键步骤
思维要点
fx)=-5sinx十5sim5x,当x∈(0，时，令/(x)=
(第1问)求导数，求极值点
0,x=
(第1问)求最值
计算0)，沿，，比较大小
(第2问)解不等式
由cosy≤cos0得2km十0≤y≤2m+2π-0
(第2问)集合关系
[2kc+0,2km+2π-0n(a-0,a+6)≠0
第(3)问求参数b
设h()=5cosx一cos(⑤x十9)，求函数的最小值
评分细则（满分17分）
解析：(1)方法-f(x)=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,2分
因为x∈(0，，故2x∈(0，，故sin2x>0,
当00,即fx)>0,
当g子时，cos3r0,印0.
故x)在区间(0，上单调递增，在区间，上单调递减
故)在区间0，马上的最大值为爱-5cos-c0s0=3V3.2分
(3)因为-x)=5cos(-x)-cos(-5x)=x),x+2元)=fx)
所以x)是以2π为周期的偶函数.2分
由(I)进一步可得)在区间(0，？上单调递增，在区间(G,马)上单
调递减，在区间，)上单调递增，)=-4<3V3,
由对称性和周期性可知x)≤3v3.1分
h(x)=5cos x -cos (5x+p),
当p=0时，h(x)=x)≤3V3,此时bmin=3W3.1分高考大题解读(一)　导数在函数中的应用
例 (2025·全国Ⅰ卷)(1)设函数f(x)＝5cos x－cos 5x，求f(x)在[0，]的最大值；
(2)给定θ∈(0，π)，设a为实数，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]，使得cos y≤cos θ；
(3)若存在φ使得对任意x，都有5cos x－cos (5x＋φ)≤b，求b的最小值．
命题分析　本题以由三角函数构成的复杂函数为载体，考查函数的最值、函数的对称性与导数的综合应用、恒成立求参问题的内容，体现了综合性“四翼”要求．通过化归与转化和分类讨论的数学思想，重点考查学生的数学抽象能力、数学推理能力、数学运算能力与深刻性、灵活性、独创性、敏捷性的思维品质．
思路探求
关键步骤 思维要点
(第1问) 求导数，求极值点 f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x，当x∈(0，)时，令f′(x)＝0，x＝
(第1问) 求最值 计算f(0)，f()，f()，比较大小
(第2问) 解不等式 由cos y≤cos θ得2kπ＋θ≤y≤2kπ＋2π－θ
(第2问) 集合关系 [2kπ＋θ，2kπ＋2π－θ]
第(3)问 求参数b 设h(x)＝5cos x－cos (5x＋φ)，求函数的最小值
评分细则(满分17分)
解析：(1)方法一　f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x＝10cos 3x sin 2x，2分
因为x∈(0，)，故2x∈(0，)，故sin 2x>0，
当00，即f′(x)>0，
当故f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间()上单调递减．
故f(x)在区间[0，]上的最大值为f()＝5cos －cos ＝3.2分
方法二　，1分
当x∈(0，)时，由f′(x)＝0，得.1分
因为f(0)＝4，f()＝3，f()＝3，且3>3>4，
所以f(x)在区间(0，)上的最大值为3.2分
(2)证明：由余弦函数的性质得cos y≤cos θ的解为[2kπ＋θ，2kπ＋2π－θ]，k∈Z，2分
若任意[2kπ＋θ，2kπ＋2π－θ]，k∈Z与[a－θ，a＋θ]交集为空，
则a－θ>2kπ＋2π－θ且a＋θ<2kπ＋2π＋θ，此时a无解，2分
所以存在k∈Z，使得[2kπ－θ，2kπ＋θ]
故存在y∈[a－θ，a＋θ]，使得cos y≤cos θ.1分
(3)因为f(－x)＝5cos (－x)－cos (－5x)＝f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，
所以f(x)是以2π为周期的偶函数．2分
由(1)进一步可得f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间()上单调递减，在区间(，π)上单调递增，f(π)＝－4<3，
由对称性和周期性可知f(x)≤3.1分
令h(x)＝5cos x－cos (5x＋φ)，
当φ＝0时，h(x)＝f(x)≤3，此时bmin＝3.1分
当φ≠0时，由(2)可知 x∈[－]，5x＋φ∈[φ－，φ＋]，
使得cos (5x＋φ)≤cos ，1分
此时即
即5cos x－cos (5x＋φ)≥3，即b≥3.2分
综上所述，b的最小值为3.1分
考教衔接　
求解函数最值问题是一类非常重要的题型，熟练应用导数的运算法则正确求解导函数．由函数单调性求参数的取值范围问题关键在于明确函数单调性与导函数的关系，实现问题之间的转化与化归．不等式证明问题可以构造函数法来证明不等式成立．恒成立、有解问题通过构造函数求最值的方法求参数的取值范围．
本题源于人教A版选修二第93页例6.

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